精品解析：山西省太原新力惠中学校2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试题

山西省太原新力惠中学校2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求两个集合，再求交集. 【详解】因为集合， , 所以. 故选：D． 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法和复数的分类即可得到方程，解出即可. 【详解】， 因为其为纯虚数，则且，解得. 故选：B. 3. 若直线：​与直线：平行，则​的值为 （ ） A. 或 B. ​ C. ​或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行时斜率相等，列出方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到答案. 【详解】因为直线：​与直线：平行 则，解得：或， 当时，两直线重合，舍去；当时，验证满足. 故选:B. 4. 已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得. 【详解】依题意，在方向上的投影向量为，则，而， 所以. 故选：A 5. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出导函数，再应用赋值法得出，最后代入计算求解函数值. 【详解】函数，则， 再令，得，化简得， 所以， 则. 6. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 7. 数列满足，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，根据裂项相消法计算即可求解. 【详解】因为， 所以， 设数列的前项和为， 则. 故选：B 8. 三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到三棱锥的外接球的球心，在三角形中求得球半径，从而求得表面积. 【详解】取的外接圆圆心为，过点作底面， 为三棱锥外接球球心，设该球半径为， 由平面，则，连接、、， 由是正三角形，，故， 由，，则， 故有， 故该球的表面积. 故选：D. 二、多选题 9. 已知事件，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 如果，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项. 【详解】A选项：当与相互独立时，，A选项错误； B选项：若，则，B选项正确； C选项：与互斥，那么，C选项正确； D选项：如果与相互独立，那么，D选项正确； 故选：BCD. 10. 已知直线l：，点P为⊙M ：上一点，则（ ） A. 直线l与⊙M相离 B. 点P到直线l距离的最小值为 C. 与⊙M关于直线l对称的圆的方程为 D. 平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和 【答案】AC 【解析】 【分析】利用圆心到直线l的距离与半径的关系可以判断A正确；点P到直线l距离的最小值为，判断B错误；求出圆心关于直线l对称点，进而求出圆的方程，判断C正确；利用圆心到直线的距离，求出其切线方程，判断D错误. 【详解】⊙M ：，圆心，半径， 圆心到直线l：的距离为：， 所以直线l与⊙M相离，故A正确； 点P到直线l距离的最小值为，故B错误； 设圆心关于直线l对称点为， 则，解得， 则与⊙M关于直线l对称的圆的方程为，故C正确； 设平行于l且与⊙M相切的直线方程为， 则，解得或， 平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和，故D错误. 故选：AC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线与直线和围成的三角形的面积为 B. 函数与函数的图象在点处的切线相同，则实数 C. 曲线在点处的切线方程为，则点的坐标是 D. 直线上的点到曲线距离的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，结合三角形的面积公式，可得判定A错误；求得，，得到，求得的值，可判定B正确；设切点 ，求得，得出方程，求得，进而得到点的坐标，可判定C正确；求得，求得切线方程为，结和平行线间的距离，可判定D错误. 【详解】对于A，由可得，所以， 所以曲线在点 处的切线方程为，即. 令 解得 ，令 解得 ，， 所以切线与直线和围成的三角形的面积为 ，所以A错误； 对于B，由，，可得，， 因为函数与函数 的图象在点的切线相同， 所以，可得，所以，所以B正确； 对于C，设切点 ，由，可得， 则切线的斜率为， 因为切线方程为，即，即切线的斜率为， 所以，解得，所以，解得， 所以点的坐标是，所以C正确； 对于D，由函数 得， 令，解得，则，， 所以函数在处的切线方程为，即， 又由直线与之间的距离为， 即直线上的点到曲线距离的最小值为，所以D错误. 故选：BC. 三、填空题 12. 已知是等比数列的前项和，且，，则_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据等比数列的片段和的性质及等比中项求解即可. 【详解】由已知，显然公比， 所以成等比数列， 所以，即，解得或者， 因为，所以舍去， 故答案为：9 13. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，再把函数的单调性问题转化为导函数的恒成立问题，结合分离参数法求解即可. 【详解】由知， 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即，， 令，，则在上单调递增，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知是椭圆的右焦点，点在椭圆上，，且，则椭圆的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由向量垂直关系得到，连接进而得到，再由椭圆的定义得到在中，代入数值后由离心率的定义解出离心率即可. 【详解】设的中点为， 则，由， 即．所以， 连接可得，所以， 因为，即，即． 所以， 在中，，即，又， 所以，所以，即， 解得， 故答案为：． 【点睛】关键点点睛： （1）在有向量乘积为零的关系时，可想到向量垂直的充分必要条件； （2）解决离心率问题时可根据几何关系构造的等式与椭圆的性质相结合，解方程组. 四、解答题 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求实数的值； （2）求的单调区间. 【答案】（1） （2）的递增区间为、，递减区间为 【解析】 【分析】（1）求导，根据两直线垂直得到切线斜率，由导数几何意义得到方程，求出； （2）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间. 【小问1详解】 ， 则， 由题意可得， 解得. 【小问2详解】 由，故，定义域， 则，， 由0得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为、，的递减区间为. 16. 设的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，的面积为，为边上一点，满足， （i）求 （ii）求的长． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）结合诱导公式及辅助角公式化简即可求角； （2）（i）根据三角形的面积公式及余弦定理求得；（ii）由（i）可解得，即为等边三角形，再根据余弦定理求． 【小问1详解】 由，可得， 即，即，又， 则，即. 【小问2详解】 （i）因为，所以. 由余弦定理得：， 则，即， 所以， （ii），， 故为等边三角形，则， 由，所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以． 17. 已知数列的前项和为，，数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）运用关系式，得到，再用等比数列公式计算即可； （2）先求出，再用错位相减求和. 【小问1详解】 当时，，则； 当时，，整理得， 因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为； 由得，即，所以数列是常数列，，所以数列的通项公式为 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ，所以. 18. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证， 翻折后，则有，， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 所以平面平面. （2）存在；，理由如下： 因为平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以，， 平面的一个法向量为，，， 则，令，可得， 则，整理可得， 因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且. 【解析】 【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出， 利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，为与的一个公共点. （1）求，的方程； （2）过点的直线交于两点，交于两点，若，求的方程. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入方程即可求出焦点坐标为，进而求出椭圆方程； （2）当直线斜率为0时，不合要求，故直线的斜率不为0，设方程为，分别联立方程组，利用根于系数的关系化简条件，即可得解. 【小问1详解】 将代入得，则的方程为， 其焦点坐标为，因为也是椭圆的一个焦点，所以① ； 又过点，所以② ，联立① ② 得， 所以，故的方程为． 【小问2详解】 当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求， 故直线的斜率不为0，设方程为， 联立与，可得，， 设，故， 则， 故， 联立与，可得，， 设，则， 则， 所以，解得，所以直线方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省太原新力惠中学校2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 若直线：​与直线：平行，则​的值为 （ ） A. 或 B. ​ C. ​或 D. 4. 已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 6 D. 12 5. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ） A. B. C. D. 7. 数列满足，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知事件，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 如果，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 10. 已知直线l：，点P为⊙M ：上一点，则（ ） A. 直线l与⊙M相离 B. 点P到直线l距离的最小值为 C. 与⊙M关于直线l对称的圆的方程为 D. 平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和 11. 下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线与直线和围成的三角形的面积为 B. 函数与函数的图象在点处的切线相同，则实数 C. 曲线在点处的切线方程为，则点的坐标是 D. 直线上的点到曲线距离的最小值为 三、填空题 12. 已知是等比数列的前项和，且，，则_________． 13. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为_____ 14. 已知是椭圆的右焦点，点在椭圆上，，且，则椭圆的离心率为__________． 四、解答题 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求实数的值； （2）求的单调区间. 16. 设的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，的面积为，为边上一点，满足， （i）求 （ii）求的长． 17. 已知数列的前项和为，，数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 19. 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，为与的一个公共点. （1）求，的方程； （2）过点的直线交于两点，交于两点，若，求的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $