江苏无锡市宜兴市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

高二年级试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.直线V3x+y+1=0的倾斜角是（▲) A君 B.月 C.2 D 2.一质点A沿直线运动，位移y(单位：m)与时间（单位：s)之间的关系为y()=22+1,则质点 A在=3s时的瞬时速度为（▲) A.10m/s B.12m/s C.14m/s D.16m/s 3.“a=3”是“直线ax+y-3=0与3x+(a-2)y+4=0平行”的（▲） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.已知数列{an}满足：a1=-1，an= 1 32 ，2an+an=0,则n为（▲) A.4 B.5 C.6 D.7 5,双曲线 京=1(a>0,b>0)的焦距长为8，且渐近线方程为y=士v3x,则双曲线方程为 (▲) B.上=1 c.-上=1 D. y=1 124 1648 4816 6.正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M,N分别是AB,CD的中点，直线BN与DM 夹角的余弦值为（▲） A. 3 B.25 3 c D月 7.在等差数列{an}中，a2=-11,a5=-2.记Tn=aa2…an(n=1,2,),则数列{Tn}(▲) A.有最大项，无最小项 B.无最大项，有最小项 C.有最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项 8,.已知双曲线C:为=1@>0，b>0)的左、右焦点分别为A,,过历作与x轴不垂直的直 线与双曲线C的右支交于P,Q两点，若△PQF1是周长为10a的等腰三角形，则双曲线C的 离心率为（▲） A.25 B.21 3 3 c D.5 高二数学试卷第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.当a∈(0，π)时，方程x2cosa+y2=1表示的曲线形状可能是（▲） A.两条平行直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 10.已知等比数列{an}的公比g>0,且a1-g)<0，前n项和为Sn,前n项积为T.,那么下列 结论正确的是（▲） A.a<a2 B.存在k∈N*,使得ak>akl C.若{Sn}是递增数列，则{T}是递增数列 D.若{T}是递增数列，则{Sn}是递增数列 11·在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，点O为线段BD的中点，且点P满足 BP=BC+μBB,,则下列说法正确的是（▲） A.若2=H=1,则OP⊥面ABD B.若A=宁u=子，则DPM面48D C.若1=4=之，则点P到面4BD的距离为2y5 3 D.若=l,H∈[O,1]时，直线DP与面ABD所成角为a,则sina∈( 3’3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知数列(a,}满足4=2，a,=2-1(m≥2，则4，=▲ an- 13.已知空间向量a=(2,1,3),b=(3,1,2),c=(5,3,),若向量a,b,c共面，则实数1的值为▲ 14.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点(p,0)的直线与该抛物线交于A,B两点，若 IA9,FB3,则P=A一 高二数学试卷第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15.(13分) 已知等差数列{a}的公差为2，且a,a,-1,a,+1成等比数列. (1)求{a}的通项公式： (2)求数列 1 的前n项和Sn a-1 16.（15分) 已知圆C与直线4x-3y+7=0相切于点A(-1,1),且圆心C在直线x+3y+3=0上. (1)求圆C的方程： (2)若直线1过点(0,2)且被圆C所截得的弦长为8，求直线1的方程. 17.（15分) 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,PB⊥BC,点M在棱PD上， (1)证明：AB⊥AD: 2)若B=8C=1,AD=2,PM=5,PC和平面8CD所成角的正切值是 ,求平 3 面MAC和平面PAC夹角的余弦值， 高二数学试卷第3页共4页 18.(17分) 已知数列{a,}的首项为1，前n项和为S,且a1=6S。1 a （1)写出a2,a的值，并证明：an+2-an=6: (2)求数列{(a2m-1+2)3"-的前n项和Tn: (3)若对于任意n∈N*,，2”·≥S,.恒成立，求实数1的取值范围. 19.(17分) 已知椭圆c+=a>b>0)过点P2,,离心率为3 ,0是坐标原点，不与坐标轴垂 2 直的直线1与椭圆C交于A,B两点. (1)求椭圆C的方程： (2)若点O是△PAB的重心，求直线I的方程： (3)设线段AB的中点为M,当△OAB面积取最大值时，是否存在两定点S,T,使|MS+MT 为定值？若存在，求出这个定值：若不存在，请说明理由. 高二数学试卷第4页共4页高二年级试题 数学参考答案 1.C2.B3.A4.C5.A6.D7.A8.B 9.ACD 10.AD 11.BC 2.9 13.10 14.3 15.解(1)因为等差数列{an}的公差为2， 所以4-1=a+2d-1=a+3, a5+1=a1+4d+1=a+9," …2分 又因为a,4-1,a5+1成等比数列， 所以(a+3)2=a(a+9), …5分 解得4=3， 所以an=3+2(n-1)=2n+1.…7分 11111111 2)油(1)得2n+04m+4n4n+4An中， …10分 所以8=-片…*) 2'23'nn+1 =2a-1)= n …13分 4n+14(n+1D 16.解(1)因为圆C与直线4x-3y-7=0相切， 直线4C的斜率为-3 4…2分 直线AC的方程为3x+4y-1=0 3x+4y-1=0,「x=3, 解方程组】x+3y+3=0得y=一2，…5分 r=AC=5 所以圆的标准方程为(x-3+(y+2}=25.… …7分 (2)当直线斜率存在时，设y=十2，圆心C到直线y=女十2的距离为d=V52-42=3, 根据点到直线的距离公式得 3k+2+2 =3,…10分 Vk2+1 7 解得：k=一 4直线的方程为y=一24x+2:即7x+24y-48=0…12分 2 当直线斜率不存在时，x=0满足条件.… …14分 直线1的方程为7x+24y-48=0或x=0.… …15分 17.解：(1)因为PA⊥平面ABCD,BCc平面ABCD, 所以PA⊥BC,…l分 因为PB⊥BC,PAOPB=P,PAC平面PAB,PBC平面PAB, 所以BC⊥平面PAB,… …3分 又ABC平面PAB, 所以BC⊥AB, …4分 因为AD∥BC, 所以AB⊥AD. …5分 (2)因为PA⊥平面ABCD,所以∠PCA是PC和平面ABCD所成角， 在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√2， 在R△PAC中，AP=ACam∠PCA=V2x5=1, 2 …6分 于是，在Rt△PAD中，PD=√PAP+AD2=W5, 仅因为PM5,所以P亚专D.m心7分 由PA⊥平面ABCD和第(1)问，可知AB、AD、AP两两垂直， 故以A为原点建立如下图所示空间直角坐标系，…8分 B 则400,0,8,00)，P0,0,D0,20,c0,10,M0,2 3, …9分 于是历=02-，办=@0，c=0l0,及=Q号的 设平面PAC的一个法向量为元=（伤，，Z), 压土可路，径子0取a0-0m分 五1P 设平面MAC的一个法向量为n2=(:2,y2,22), 历1AC x2+y2=0 由 五⊥AM 可得， 2 (3+ 3名=0取=-1山…13分 ,2。 于是，|cos<n,n2= 历2.2-6 m川2531 所以平面MC和平面PAC夹角的余弦值为6 …l5分 3 6Sn-1 18.解：（1)因为4=1，a+1= 所以4=5=1=5，马=6x1=7,… …2分 1 5 由41=6S可得，0,44=68.-1(a,≠0，① a。 所以an+1a2=6Sn1-1，② 两式相减得，a1a2-a,a1=6a1’ 因为数列{a}的各项均不为0， 所以a2-0n=6,…5分 (2)由a2-an=6可知，{an-}是首项为1，公差为6的等差数列， 所以42w-1=1+(n-1)6=6n-5,… …7分 于是(a21+2)3-=(6n-3)3-=(2n-1)3”, Tn=13+332+533+…+(2n-1)3”, 37.=132+332+…+(2n-3)-3"+(2n-1)3m*1, 所以-2T,=13+232+233+…+23”-(2n-1)3m州 =3+180-3）-2n-0-3m 1-3 =3+180-3)-2m-10-3n 1-3 =(2-2m）31-6 因此，Tn=(n-1)3a+3.… …10分 (3)由(1)(2)可知，a2-=6n-5,4=6n-1, 因为a1-6S,所以3.=马。t.61-6a+0+1-6㎡，…13分 a 6 6 由2”2Sn可得，≥m 2 g则8n-g生6a9.0y-习， 令c,= 2 当n=1,2时，c1-cn>0,即G<G<g, 当n≥3时，C1-Cn<0,即G>C4>G>…,…15分 27 所以数列{c}的最大项为马3=兰 4 因此，九的取值范围是≥27. …l7分 4 19.解：(1)由题意，设焦距为2c,则 c 3 a+京=1，且a2 4.1 …2分 a2=b2+c2 a=2W5 解得， b=√2， c=V6 所以，椭圆C的方程为亡+上 82 =1.…4分 (2)设直线：y=x+m,m≠0， (xy 联立直线与椭圆的方程： +1, y=kx+m 消去y,得(1+4k2)x2+8ax+4m2-8=0, △=64k2m2-41+4k2)(4m2-8)>0,即8k2+2>m2, 8km 设A(x,),B(3,y2),则 x+为=-1+4k2 ,…6分 4m2-8 1+4k2 所以线段AB的中点为（←， 04g 4km …7分 因为点O是△PAB的重心，其中点P(2,1), 所以线段8的中点为（一均， …8分 4km =-1 于是 1+4k2 解得 k= m 2, 1+4k-2 (m=-1 因此，直线1的方程为y=一二x-1.…10分 21 8km (3)由(2)， x+名=-1+4k 4m2-8 X2= 1+4k2 所以au吃m-4分mG+--方m水i 8m子-4.4m28 1+4k2 =2mV8x2+2-m 1+4k2 ,其中8k2+2>m2， …12分 因为2mv8歌+2-m.2m8K+2-m≤，2m+82+2-m2-2, 1+4k2 1+4k2 1+4k2 2 当且仅当m2=8k2+2-m2即m2=4k2+1时等号成立， 因此，△0AB面积的最大值为2，且m2=4k2+1…14分 由(2)可知，线段AB的中点M(1+41+4坡 4km m 46m4k 所以{ w=-1+4k m 于是元+4奶=16+4-44秋+D=4, m+m m 即立+=1， 、所以点M在椭圆艾+少y=1上， …16分 由椭圆定义可知，存在两定点S,T为（仕V5,0),使MS+MT=4为定值.…17分