安徽师范大学附属中学2024年高中自主招生考试数学试卷

安徽师范大学附属中学 2024年高中自主招生考试数学试题 说明： 1.全卷共5页，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名. 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案，答案不能答在试题上. 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔做答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后在写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 5.考生务必保持答题卡的整洁.考试结束时，将试卷和答题卡一并交回 一.选择题（本大题6小题，每小题5分，共30分）在每个小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1. 如图，它是由六个面积为1的正方形组成的矩形，其中有，，，，，，七点，则以这七个点为顶点能组成面积为1的三角形的个数是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 14 2. 如果关于的方程有且仅有三个整数解，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 如图，点在半圆上，直径，，点在弧上移动，连结，作于.连接，点在移动的过程中，的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 若对于任何实数，关于的方程都有实数根，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等式成立，则，，中可能为0的数有几个？（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 一条直线平分三角形的周长和面积，那么该直线必通过三角形的（） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 二.填空题（本大题9小题，每小题5分，共45分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡的相应位置上. 7. 已知是方程的一个根，那么_____. 8. 如图所示，边长为1和边长为3的两个正方形内接于一圆，则此圆的半径为_____. 9. 化简根式______. 10. 已知关于x的不等式的解是，则关于x的不等式的解集是______. 11. 如图所示，四边形，都是矩形，且，，，，则两个矩形重叠的阴影部分面积为_____. 12. 如图，，，，是等腰直角三角形，点，，…，在函数的图象上，斜边，，…，都在轴上，则点的坐标是_____. 13. 对于某一自变量为的函数，若当时，其函数值也为，则称点为此函数的不动点.若函数的图象上有两个关于原点对称的不动点，则实数应满足的条件为_____. 14. 如图所示，已知，且与的距离为2，与的距离为1，正三角形的三个顶点分别在，，上，则_____. 15. 甲、乙、丙三人做游戏：他们在三张卡片上写三个整数，，每人每次摸一张卡片，并按卡片上写的数字取等量的石子（如卡片上写就取粒石子），在每人各摸一张卡片并取出石子后算作完成一次游戏，然后再继续进行，当他们进行了次游戏后，甲得20粒石子，乙得10粒石子，丙得9粒石子，并且知道最后一次乙摸的，则第一次摸n的是_____. 三.解答题：本大题共7题，满分75分.请在答题卷相应位置上写出必要的推理计算过程. 16. 如图，已知平行四边形，于，于，证明. 17. 求方程的正整数解. 18. 如图，直线，分别切圆于，两点，为弧上任意一点，，，，求证：. 19. 实践与探究 操作一：如图（1）有正方形纸片，将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部的点处，再将纸片沿过的直线折叠，使与重合.则可得到很多有趣的性质，例如由，，三点共线，我们还可以得到_____度. 探究一：如图（2）保持的大小不变，使角的一边交于点；另一边交于点，连结，探究，，满足的数量关系为：_____，请证明. 探究二：如图（3），过，分别作与边平行的线段，，两线段相交于点，如果正方形的边长，，试求长方形与长方形的面积之比. 探究三：如图（3），，是与边平行的线段，如果保持探究二中，矩形与的面积之比不变，是否有也保持不变?请证明你的结论. 20. 对，作二次方程. （1）若方程有实数根，求证：，，不能成为一个三角形的三条边长； （2）若方程有实数根，求证：； （3）若方程有实根6，9时，求正整数，，. 21. 如图（1）所示，抛物线，经过，，三点. （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，如有请求出满足要求的所有点，如果没有，请说明理由. （3）如图（2）所示，点，为抛物线上的动点，满足，请证明直线必定通过一个定点，并求出这个定点的坐标. 22. 货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10吨，每只箱子的重量不超过1吨，为了保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重3吨的汽车? 安徽师范大学附属中学 2024年高中自主招生考试数学试题 说明： 1.全卷共5页，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名. 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案，答案不能答在试题上. 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔做答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后在写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 5.考生务必保持答题卡的整洁.考试结束时，将试卷和答题卡一并交回 一.选择题（本大题6小题，每小题5分，共30分）在每个小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 二.填空题（本大题9小题，每小题5分，共45分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡的相应位置上. 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】## 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】且， 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】丙 三.解答题：本大题共7题，满分75分.请在答题卷相应位置上写出必要的推理计算过程. 【16题答案】 【答案】∵为平行四边形， ∴，又， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【17题答案】 【答案】， 【18题答案】 【答案】 连， 因为分别为同弧上的圆周角和弦切角， 所以，   因为，， 所以， 故， 同理，， 又，， 所以， 故，又， 所以， 即. 【19题答案】 【答案】(1) (2) （3） （4）保持不变，证明： 由探究二可知长方形的面积是长方形面积的2倍， 设正方形的边长为，，， 则，， 因为面积比不变,，以长方形面积为， 长方形面积为.， 化简得， 在直角三角形中，， 化简得，， 所以有，， 因为， 所以， ， 由探究一可知，当时，. 所以保持不变. 【20题答案】 【答案】（1）证明： 由方程有实根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故，这与三角形两边之和大于第三边矛盾， 故a，b，c不能成为一个三角形的三条边长； （2）证明： 由方程有实数根， 得， 其中， 又由（1）知，， ∴， 那么有， 得， ， 故有； （3），， 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【22题答案】 【答案】需5辆汽车 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $