专题08分式寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题08分式寒假预习讲义(1) 1 预习目标 秒辨分式与整式，拿捏分式定义核心 掌握分式有意义、无意义、值为0的判定技巧 ● 吃透分式基本性质，会简单变形化简 能灵活用性质进行分式的约分操作 预习内容概览 1.分式的定义 2.分式的三类条件 预习必备 3.分式的基本性质 4.分式的符号法则 知识点梳理 5.分式的约分 6.易错点总结 1.分式的定义与判断 2.按要求构造分式 3.分式无意义的条件 4.分式无意义的条件 5.分式值为零的条件 6.分式的求值 常考题型 7.分式值正负时未知数范围 8.分式值为整数的未知数 精讲精炼 9.判断分式变形是否正确 10.分式变形成立的条件 11.分式值变化的判断 12.约分 13.最简分式 强化巩固 (解答题6题) 3 知识点梳理 知识点01：分式的定义 试卷第1页，共3页 形如是(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式；A是分子，B 是分母。 易错：π是常数，含π的分母不算“含字母”，如朵是整式，不是分式。 知识点02：分式的三类条件 分式有意义：分母B≠0： 分式无意义：分母B=0: 分式值为0：分子A=0且分母B≠0（二者缺一不可）。 知识点03：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示： 鲁=能，鲁=(C是整式，C≠0)。 知识点04：分式的符号法则 分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。 用式子表示：鲁=-合=合 知识点05：分式的约分（基本性质应用） 定义：约去分子和分母的公因式，把分式化为最简分式： 最简分式：分子与分母没有公因式的分式： 步骤：先找分子、分母的公因式（系数找最大公因数，字母找最低次幂），再用 基本性质约去。 知识点06：易错点总结 ·判分式误将含π的式子归为分式，或把分母为常数的整式当作分式，忽略分母 必须含未知字母的核心条件； ·求分式值为0漏验证分母0，仅看分子为0，或混淆分式有意义（分母≠0）、 无意义（分母=0）的条件： ·用分式基本性质时，忽略乘/除的整式0，或分子分母同乘整式时漏乘部分 项； ·用符号法则时仅改分子/分母/分式本身其中一个符号，或忽略分数线的括 号作用，去符号时漏给分子多项式各项变号； 试卷第1页，共3页 ·约分时找公因式出错（系数非最大公因数、字母非最低次幂），或强行约去分 子分母无公因式的项，亦或约分时漏项。 常考题型精讲精练 【题型1.分式的定义与判断】 【典例】下列代数式中，属于分式的是() A. n B.-四 C.2m-n m-n 2 .3m 2-，④x 【跟账专然】式子0子，②安，@2'。 ④π一'是分式的有 【跟踪专练2】下列式子是分式的是( B.3 C.x+1 D.2x+y 2 【题型2.按要求构造分式】 【典例】请你写出一个值恒为正数的分式」 【跟踪专练1】x千克橘子糖、y千克椰子糖、z千克奶糖混合成“什锦糖”.己知这3种糖 的单价分别为28元/千克、32元/千克、48元/千克，则这种“什锦糖”的单价用含x、y 、z的代数式表示元/千克， 【跟踪专练2】某校组织全体师生m人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车 每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租 用车辆() A.m+辆 B.m-1辆 n n D.(辆 【题型3.分式无意义的条件】 【典例】=1时，分式。无意义，则a= 【跟踪专练1】如果一个分式，当y=一2时分式无意义，当y=1时分式的值为0，则这个分 式可能是() A.业+1 B.y-1 y+2 y+2 D.y-2 v+1 y-1 【跟踪专练2】根据下表中的信息，请写出一个只含有字母x且符合表中要求的分式 .(写出一个即可) 试卷第1页，共3页 + -2 -1 分式 0 无意义 【题型4.分式有意义的条件】 【典例】分式，2有意文，则的取值范用是() A.x≠2 B.x≠-2 C.x≤2 D.x>2 【跟踪专练1】(1)若要使X有意义，则x的取值范围是 x+1 2》若要使什号无意义，侧的能是 【跟踪专练2】已对任意实数X,式了都有意义，则实数m的取值范围是（） A.m>4 B.m<4 C.m 4 D.m 4 【题型5.分式值为零的条件】 【典例】若分式的值为0，则x的值是」 x+3 【跟踪专练1】使分式2 的值等于0的条件是() x+3v A.x+3y=0且2x-1=0 B.2x=1且x≠3y C.x=2且x≠-3y D.x=且y≠- 1 2 6 【跟踪专练2】已知当x=1时，分式-b无意义；当x=2时，此分式的值为0，则 x-a (a-b)205-_ 【题型6.分式的求值】 【典例】已知-2，则代数式2少+5的值为 x-y 【跟踪专练1】当x=-3时，下列分式中，值为0的是() A B.2x-6 D. x+3 x+2 x-3 x+1 【跟踪专练2】若a”=10,b=10,ab=10,则m+” mn 【题型7.分式值正负时未知数范围】 x-2 【奥例】分式x+1 的值为负数，求x的取值范围 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】若分式1的值为正数，则x的值可以是() x-1 A.2 B.1 C.0 D.-1 【跟踪专练2】如果分式，3的值是非负数，那么x的取值范围是一 7-5x 【题型8.分式值为整数的未知数】 【典例】请写出一个满足条件的m值，使得分式 m-2的值为整数： 【跟除专练1】若表示一个整数。则整数可取位其有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【跟踪专练2】阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，C(a、c为整数)的值是整数.例 如，当a=±1或2时，2的值是整数：又如，因为3m+5=3+5,所以当m=士1或5时， m m 3m+5的值是整数。 m (1)如果分式a+8 的值是整数，那么a的正整数值是」 a+3 （2)如果分式。-4r-?的值是整数，那么x的负整数值是 x-4 【题型9.判断分式变形是否正确】 【典例】下列等式一定成立的是() A. 33+a B. 2xy 2x a ac 44+a 2 C. y bbe D. a=a b2b 【跟踪专练1】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含“一”号， ⑦2x ②2r-1 -3y -x+1 ③-r+y x2 ；④-r-1 -x2-3x+1 【跟踪专练2】下列式子从左到右的变形，正确的是() A.b b b-1 B.= aa" a a-l bm b b+1 b C. D. am a atl a 【题型10.分式变形成立的条件】 【典例】在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：(1)a+b_, (2) ab a'b 试卷第1页，共3页 x2+y_（） x2-y2x-y ：括号内应填 跟踪专练D若二二成立，则x的取值范围是一 【跟踪专练2】下列等式的右边是怎样从左边得到的？ 0员张c0: ②-≠0. xy y 【题型11.分式值变化的判断】 【典例】把分式三分子加10，要使分式的值不变，分母应该加上() A.5 B.10 C.a D.2a 【跟踪专练1】若把分式y中的x和y都封扩大到原来的3倍，则分式的值】 (①扩大 2x 到原来的3倍；②缩小到原来的；③不变)选择正确的序号. 【跟踪专练2】将分式中的y街大为聚来的2格，则分式的值《) A.不变 B.扩大为原来的2倍 C.扩大为原来的4倍 D.缩小到原来的一半 【题型12.约分】 【奥例】化简分式+的结架是〔) A.a+b 7 7 B. C. D.a-b 7 a+b a-b 7 12xy3 【跟踪专练1】约分：97 m2-m=一 m-1 【跟踪专练2】若4-女表示的是一个最简分式，则口可以是（0 x-2 A.2x B.x C.4x-x2 D.x2 【题型13.最简分式】 【典例】下列分式中，属于最简分式的是() A. 2+a 4-a7 B品 C.6 D.I-m 3x m-1 【跟踪专练1】从2，a2-4,a+2中任选两个代数式，组成一个最简分 式 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】若一☆表示的是一个最简分式，则☆可以是() x-1 A.2x B.x C.x2 D.1 强化巩固通关 1.约分： (①24a2xy2 18ar: 2a(a-1) (2)8ab21-a (3)ma+mb-mc a+b-c (402-4ab+46 a2-4b2 2.通分： (102x'3x+1 25.21 ab2’3ab3’2a2b 1 a (3) 2a+2'3a+3 (4 1 x+2'x2+4x+4 3.求当x取何值时，分式x一4 x2-4 (1)有意义？ (2)无意义？ (3)分式的值为零？ 4.我们定义两种运算“⊕”和“⊙”，对于任意两个数a,b,有a⊕b=a2+b2,a0b=2ab. (1)因式分解：(a⊕b)-(a⊙b)= 、(2)共a®b三1，求2bb2一的值： a⊙b (3)若(a⊕b)⊙2=a⊕(b⊙2)，求a,b之间满足的数量关系 5.观察下列各式： 令书4好 试卷第1页，共3页 根据你发现的规律解答下列问题： (1)第10个等式是： 1 ②)若n为正整数，请你猜想nm+一：请证明你猜想的等式成立。 6.阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这 时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式 例如：将分式-x+3拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加。 x+1 -+3-+x-2x-2+5-++2x-2+5=x-2+ x+1 x+1 x+1x+1x+1 x+1 (①请将2+5x-20拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式. x-3 ②如果分式2+5x-20的值是整数，求所有符合条件的整数x的值. x-3 试卷第1页，共3页 专题08分式寒假预习讲义(1) · 秒辨分式与整式，拿捏分式定义核心 · 掌握分式有意义、无意义、值为 0 的判定技巧 · 吃透分式基本性质，会简单变形化简 · 能灵活用性质进行分式的约分操作 预习必备 知识点梳理 1.分式的定义 2.分式的三类条件 3.分式的基本性质 4.分式的符号法则 5.分式的约分 6.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.分式的定义与判断 2.按要求构造分式 3.分式无意义的条件 4.分式无意义的条件 5.分式值为零的条件 6.分式的求值 7.分式值正负时未知数范围 8.分式值为整数的未知数 9.判断分式变形是否正确 10.分式变形成立的条件 11.分式值变化的判断 12.约分 13.最简分式 强化巩固 (解答题6题) 知识点01:分式的定义 形如（A、B是整式，且B中含有字母，B0）的式子叫做分式；A是分子，B是分母。⚠️ 易错：π是常数，含π的分母不算 “含字母”，如是整式，不是分式。 知识点02:分式的三类条件 分式有意义：分母B0； 分式无意义：分母B=0； 分式值为 0：分子A=0且分母B0（二者缺一不可）。 知识点03:分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于 0的整式，分式的值不变。 用式子表示：，（C是整式，C0）。 知识点04:分式的符号法则 分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。 用式子表示：−=。 知识点05:分式的约分（基本性质应用） 定义：约去分子和分母的公因式，把分式化为最简分式； 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 步骤：先找分子、分母的公因式（系数找最大公因数，字母找最低次幂），再用基本性质约去。 知识点06:易错点总结 · 判分式误将含π的式子归为分式，或把分母为常数的整式当作分式，忽略分母必须含未知字母的核心条件； · 求分式值为 0 漏验证分母≠0，仅看分子为 0，或混淆分式有意义（分母≠0）、无意义（分母 = 0）的条件； · 用分式基本性质时，忽略乘 / 除的整式≠0，或分子分母同乘整式时漏乘部分项； · 用符号法则时仅改分子 / 分母 / 分式本身其中一个符号，或忽略分数线的括号作用，去符号时漏给分子多项式各项变号； · 约分时找公因式出错（系数非最大公因数、字母非最低次幂），或强行约去分子分母无公因式的项，亦或约分时漏项。 【题型1.分式的定义与判断】 【典例】下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式．需逐一判断各选项分母是否含有字母． 【详解】解：选项A：，分母为，含字母和，符合分式定义． 选项B：，分母为常数2，不含字母，属于整式． 选项C：，为多项式，分母隐含为1，属于整式． 选项D：，分母为常数2，不含字母，属于整式． 综上，只有选项A的分母含字母，属于分式． 故选A． 【跟踪专练1】式子①，②，③，④，是分式的有 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据分式的定义对选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：①是分式，②是整式，③是分式，④是整式， 分式有①③， 故答案为①③． 【点睛】本题考查了分式的定义，解题关键是掌握分式和整式的区别，分母中含有未知数的为分式． 【跟踪专练2】下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断，掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义，一般地，如果（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称A为分子，称B为分母，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、 是单项式，故该选项不符合题意； B 、是分式，故该选项符合题意； C、 是多项式，故该选项不符合题意； D 、是多项式，故该选项不符合题意． 故选：B 【题型2.按要求构造分式】 【典例】请你写出一个值恒为正数的分式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据条件写出分式即可． 【详解】解：一个值恒为正数的分式为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了分式，解题的关键是注意两个条件：①值恒为正数；②是分式． 【跟踪专练1】千克橘子糖、千克椰子糖、千克奶糖混合成“什锦糖”．已知这3种糖的单价分别为28元／千克、32元／千克、48元／千克，则这种“什锦糖”的单价用含、、的代数式表示 元／千克． 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式，分别求出三种糖的价格，求和后除以三种糖的总质量即可得到答案． 【详解】解：由题意得，这种“什锦糖”的单价为元／千克， 故答案为：． 【跟踪专练2】某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 【题型3.分式无意义的条件】 【典例】时，分式无意义，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件为分母不等于零．分式无意义的条件是分母为0，由题意得，，即，解方程即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，即， 所以， 故答案为：． 【跟踪专练1】如果一个分式，当时分式无意义，当时分式的值为0，则这个分式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式无意义，分式的值为零的条件，解题的关键掌握分式代值的计算方法．先根据当时，分式无意义，排除选项B、D，然后把代入A、C选项计算即可判断． 【详解】解：当时，，则分式，无意义；，，则分式，有意义，故排除选项B、D， 当时，，，故选项C符合题意，选项A不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】根据下表中的信息，请写出一个只含有字母且符合表中要求的分式 ．（写出一个即可） 分式 无意义 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式的值为零的条件，根据题意可得分式分子可以为，分式分母可以为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：根据题意可得，分式分子可以为，分式分母可以为， ∴符合表中要求的分式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型4.分式有意义的条件】 【典例】分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不等于列式计算即可． 【详解】解：分式有意义， ， ， 故选：A． 【跟踪专练1】（1）若要使有意义，则的取值范围是 ． （2）若要使无意义，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义与无意义的条件； （1）根据分式有意义可得，再进一步求解即可； （2）根据分式无意义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）∵无意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知对任意实数，式子都有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把分母配方为，根据对任意实数，式子都有意义，列出不等式即可． 【详解】解：， ，对任意实数，式子都有意义， ， 解得． 故选：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件、配方法，解题关键是运用配方法把分母变形，再根据题意，列出不等式求解． 【题型5.分式值为零的条件】 【典例】若分式的值为0，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的基本条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据分子为零，分母不为零列式计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故答案为：2． 【跟踪专练1】使分式的值等于0的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零且分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：使分式的值等于0的全部条件是且， 解得且， 故选：D． 【跟踪专练2】已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】根据当时，分式无意义，得；当时，此分式的值为0，得到，代入解答即可． 【详解】解：根据当时，分式无意义，得，解得； 当时，此分式的值为0，得到，解得， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零，分式无意义的条件，求代数式的值，有理数的乘方，熟练掌握条件是解题的关键． 【题型6.分式的求值】 【典例】已知，则代数式的值为 ． 【答案】12 【详解】， ， ． 故答案为：12． 【跟踪专练1】当时，下列分式中，值为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求分式的值，将分别代入各个选项，进行运算，即可求解；理解分式无意义的条件，正确计算是解题的关键． 【详解】解：A.当时，分式无意义，不符合题意； B.当时，，不符合题意； C.当时，，不符合题意； D.当时，，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】若，，，则 ． 【答案】 【分析】通过变形得出，于是有，问题得解． 本题考查了分式的求值，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：，，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：1． 【题型7.分式值正负时未知数范围】 【典例】分式的值为负数，求的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 【跟踪专练1】若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求分式值为正（负）数时未知数的取值范围，熟练掌握分式的性质是解题关键．由分式的值为正数可知，分子与分母同号，故分母需满足，解得，再结合选项作答即可． 【详解】解：分式的值为正数， ， ， 只有A选项满足条件， B、C、D选项不满足， 故选：A． 【跟踪专练2】如果分式的值是非负数，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，解一元一次不等式，熟练掌握分式的定义和解一元一次不等式是解题的关键．利用分式的值是非负数，得，求解即可． 【详解】解：∵分式的值是非负数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【题型8.分式值为整数的未知数】 【典例】请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数： ． 【答案】1（不唯一） 【分析】本题主要考查了求分式的值， 将的值代入分式，求出结果为整数即可． 【详解】解：当时，，其值为整数， 所以． 故答案为：1（答案不唯一）． 【跟踪专练1】若表示一个整数，则整数可取值共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】由x是整数，也表示一个整数，可知x+1为4的约数，即x+1=±1，±2，±4，从而得出结果． 【详解】解：∵x是整数，也表示一个整数， ∴x+1为4的约数， 即x+1=±1，±2，±4， ∴x=-2，0，-3，1，-5，3． 则整数x可取值共有6个． 故选：D． 【点睛】本题考查了此题首先要根据分式值是整数的条件，能够根据已知条件分析出x+1为4的约数，是解决本题的关键． 【跟踪专练2】阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，（a、c为整数）的值是整数．例如，当或时，的值是整数；又如，因为，所以当或时，的值是整数． （1）如果分式的值是整数，那么a的正整数值是 ． （2）如果分式的值是整数，那么x的负整数值是 ． 【答案】 2 -3 【分析】（1）将分式变形得，则a+3=±1或±5，即可求解； （2）将分式变形得，则x-4=±1或±7，即可求解． 【详解】解：(1)∵， 又∵的值是整数， ∴a+3=±1或±5， ∴a=-2或-4或2或-8， ∴a的正整数值为2； （2）∵， 又∵的值是整数， ∴x-4=±1或±7， ∴x=5或3或11或-3， ∴x的负整数值为-3， 故答案为：（1）2；（2）-3． 【点睛】本题考查使分式值为整数时求未知数值的问题，理解并能应用阅读材料的解题方法将分式化简是解题的关键． 【题型9.判断分式变形是否正确】 【典例】下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意；     C. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；     D. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ① ；② ； ③ ；④ ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的三个符号（分子，分母，分式本身）任意改变其中两个不改变分式的值进行变形即可. 【详解】解：①； ②； ③； ④． 故答案为： ，，， 【跟踪专练2】下列式子从左到右的变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 【题型10.分式变形成立的条件】 【典例】在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：（1）；（2）；括号内应填 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质进行变形即可； （2）根据分式的基本性质进行变形即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． 【跟踪专练1】若成立，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式的性质及成立的条件可直接进行求解． 【详解】解：若成立，则有， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式成立的条件及性质，熟练掌握分式的成立的条件及性质是解题的关键． 【跟踪专练2】下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以，可得答案； （2）根据分式的性质：分式的分子分母都除以x，可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 【题型11.分式值变化的判断】 【典例】把分式分子加10，要使分式的值不变，分母应该加上（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时扩大相同的倍数，分式的值不变，原分式分子加10后变为原来的3倍，因此分母也需扩大3倍，从而确定需要加上的量． 【详解】解：原分式为，分子加10后变为，即分子变为原来的3倍，根据分式的基本性质，分母也需变为原来的3倍，即，原分母为，因此需要加上． 故选：D． 【跟踪专练1】若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则分式的值 （①扩大到原来的3倍；②缩小到原来的；③不变）选择正确的序号． 【答案】③ 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质将原式中的x和y都扩大到原来的3倍，然后约分即可． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大到原来的3倍得， 则分式的值不变， 故答案为：③． 【跟踪专练2】将分式中的和都扩大为原来的倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小到原来的一半 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案． 【详解】解：； 分式的值不变； 故选：A 【题型12.约分】 【典例】化简分式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据约分的方法可以化简题目中的式子，从而可以解答本题． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查约分，解答本题的关键是明确约分的方法． 【跟踪专练1】约分： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了约分，解题的关键是掌握单项式除以单项式的法则以及分子、分母的因式分解．根据分式的性质约分，即可求解． 【详解】解：； 故答案为：；． 【跟踪专练2】若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义，分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式． 【详解】解：A、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； B、当☆为x时，，是最简分式，故该选项符合题意； C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：B． 【题型13.最简分式】 【典例】下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简分式，根据分式的分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选B 【跟踪专练1】从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 【详解】解：解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式， ∴组成一个最简分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】若表示的是一个最简分式，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键，利用最简分式的定义对每个选项进行判断即可得出结论． 【详解】解：A、为时，，原式为最简分式，故选项符合题意； B、为时，，原式不是最简分式，故选项不符合题意； C、为时，，原式不是最简分式，故选项不符合题意； D、为时，，原式不是最简分式，故选项不符合题意； 故选：A． 1．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的约分，根据分式的基本性质把分子、分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分． （1）根据分式的约分法则计算即可； （2）根据分式的约分法则计算即可； （3）分子提取，根据分式的约分法则计算即可； （4）先将分子、分母因式分解，再根据分式的约分法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)，， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的通分，掌握分式的最简公分母的计算是关键． 最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化为同分母的分式的过程，叫作分式的通分，由此即可求解． （1）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （2）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （3）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （4）最简公分母是，结合分式的性质通分即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，，； （3）解： ，； （4）解： ，． 3．求当取何值时，分式： (1)有意义？ (2)无意义？ (3)分式的值为零？ 【答案】(1)且 (2)或 (3) 【分析】（1）分式有意义，分母不能等于零； （2）分式无意义，分母等于零； （3）分式的值为等于零：分子等于零，且分母不等于零． 【详解】（1）解：依题意得： ， 解得：且； （2）解：依题意得： ， 解得：或； （3）解：依题意得： 且， 解得：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可． 4．我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，分式的化简求值，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）仿照题干计算即可； （2）仿照题干计算得到，则，则因式分解为，得到，再代入进行分式的求值； （3）先由新定义计算得到，化简因式分解可得，则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ ∴， 即 ∴ （3）解：∵， ， 解得或． 5．观察下列各式： ，，， 根据你发现的规律解答下列问题： (1)第10个等式是：____________； (2)若n为正整数，请你猜想______；请证明你猜想的等式成立． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给式子可得； （2）通过观察所给的式子可得． 【小题1】解：由题可得第10个等式是， 故答案为：； 【小题2】， 右边左边， 成立， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，探索出式子的规律是解题的关键． 6．阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1) (2)x的值为2或4或16或 【分析】本题考查了分式的值，关键读懂题意，把分式表示成一个整式与分式的和的形式； （1）按照题干的拆分方法进行即可； （2）由（1）知，只要拆分后的分式的分母是分子的整数因数即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； ∵的值为整数， ∴是13的所有整数因数， 即， ∴或或或； 即x的值为2或4或16或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $