专题12相交线.平行线与平移寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题12相交线.平行线与平移寒假预习讲义 1 预习目标 理解平行线定义，掌握平行公理及推论，会用符号表示平行线。 能准确识别三线八角中的同位角、内错角、同旁内角。 初步掌握平行线的三种判定方法，知晓角的数量关系推导线的平行关系。 尝试用三角板和直尺过直线外一点画平行线，感知判定定理的实践依据。 能结合简单图形，尝试用几何语言表述平行线的判定推理思路 预习内容概览 预习必备 1.判断基础：三线八角的位置特征 2.核心判定定理 知识点梳理 3.常用推论 4.关键易错点 1.平面内两条直线的位置关系 2.立体图形中平行的棱 3.直尺三角板画平行线 4.平行公理的应用 常考题型 5.平行公理推论的应用 6.同位角相等，两直线平行 精讲精炼 7.内错角相等.两直线平行 8.同旁内角互补.两直线平行 9.同面内.同垂一线两线平行 10.同位角.内错角.同旁内角 强化巩固 (解答题5题) 知识点梳理 【知识点01.判定基础：三线八角的位置特征】 判定平行线的前提是识别同位角、内错角、同旁内角，均由两条被截直线和一条 截线构成，且角的顶点不重合： 同位角：在截线同侧，被截直线同一方（如℉”型角） 内错角： 在截线两侧，被截直线之间（如Z”型角) 试卷第1页，共3页 同旁内角： 在截线同侧，被截直线之间（如U”型角） 关键：仅判断位置关系，与角的大小无关。 【知识点02.核心判定定理】 核心逻辑：由角的数量关系→推直线的位置关系（同一平面内，不重合的两条 直线) 1.基本判定公理（最核心，无需证明） 同位角相等，两直线平行 符号语言：.∠1=∠2（已知），∴.a∥b(同位角相等，两直线平行) 用途：作为推导其他判定定理的依据，也是测量法判定平行线的原理。 2 2.判定定理1（由公理推导） 内错角相等，两直线平行 符号语言：.∠1=∠2（已知），∴.a∥b(内错角相等，两直线平行) 推导依据：同位角相等+对顶角相等。 C 3. 判定定理2（由公理推导） 同旁内角互补，两直线平行 符号语言：.'∠A+∠B=180°（已知），∴.L1L2(同旁内角互补，两直线平 行) 推导依据：同位角相等+邻补角定义。 试卷第1页，共3页 【知识点03.常用推论（同一平面内专属）】 符号语言：.a⊥c,b⊥c(已知)，∴.a川b(垂直于同一直线的两直线平行) 推导：由垂直得∠1=∠2-90°（同位角相等），再证平行；此推论仅适用于 同一平面内，空间中不成立。 【知识点04.关键易错点】 1.判定的前提：必须是两条被截直线被同一条截线所截形成的角，否则无法判定： 2角的关系要求：仅同位角相等、内错角相等、同旁内角互补可证平行，反之（如 同位角不等)则两直线相交： 3.与“平行公理推论”区分：平行于同一条直线的两条直线互相平行是平行公理 推论（由位置关系推位置关系），并非本节的判定定理（由角的关系推位置关系）。 常考题型精讲精练 【题型1.平面内两直线的位置关系】 【典例】如图，己知直线AB与直线CD平行，下列表示方法正确的是() A 一B b C -D A.A∥C B.A∥D C.B∥b D.a∥b 【跟踪专练1】如图，在长方体ABCD-EFGH中，与线段AB平行的线段有」 试卷第1页，共3页 D B 【跟踪专练2】下列说法中，正确的个数是() ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行： ③过两条直线a,b外一点P,画直线c,使c∥a,且c∥b; ④若直线a∥b,b∥c,则c∥a. A.4 B.3 C.2 D.1 【题型2.立体图形中平行的棱】 【典例】如图，在长方体ABCD-EFGH中，与BC平行的棱是一 H E 9 D 【跟踪专练1】观察如图所示的长方体，与棱AA,平行的棱是() D B A B A.AD B.BB C.AD D.AB 【跟踪专练2】观察如图所示的长方体，回答下列问题： H G E D (1)用符号表示下列两条棱的位置关系：ABEF,AD AB,GF EF,AD GF;（填“∥”或“⊥”) 试卷第1页，共3页 (2)EF与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们 (填“是”或“不是”)平行线. 由此可知，只有在」 内，两条不相交的直线才能叫作平行线， 【题型3.直尺三角板画平行线】 【典例】如图，已知一点A和直线1，现过点A作直线1的平行线，则可作平行线() A.1条 B.2条 C.0或1条 D.无数条 【跟踪专练1】如图，画平行线的操作中，依据是 【跟踪专练2】想一想，在方格纸中如何画平行线？在下图中，过点P分别画AB,BC的平 行线，并进行检验 【题型4.平行公理的应用】 【典例】下面关于一条直线和两条平行线的位置关系的说法中，正确的是() A.一定与两条平行线都平行 B.可能与两条平行线都相交或都平行 C.一定与两条平行线都相交 D.可能与两条平行线中的一条平行或相交 【跟踪专练1】如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图， 其中AB是地面，当∠I=∠2时，PM∥AB;∠3=∠4时，PN∥AB.同时满足上述条件 时，一定有N,P,M三点在同一条直线上，其依据是 试卷第1页，共3页 M (3 2 ② 【跟踪专练2】按下列要求画图，只能画出一条直线的是() 过点P画与直线垂直的直线 过点P画与直线相交的直线 过点P画与平行的直线 ① ② ③ A.①②③ B.②③ C.①② D.①③ 【题型5.平行公理推论的应用】 【典例】如果a∥b,b∥c,那么a∥c,这个推理的依据是() A.等量代换 B.平行线的定义 C.两直线平行，同位角相等 D.平行于同一直线的两条直线平行 【跟踪专练1】在同一平面内有2021条直线a1,a2,a,…,a2o2,如果a1a2,a2la3,a3 ⊥a4,alla5,,那么a1与a5的位置关系是_；a1与a22的位置关系是 【跟踪专练2】如图，下列条件：①∠1=∠2；②∠4=∠5；③∠2+∠4=180°；④∠1=∠3； ⑤∠6=∠1+∠2，其中能判断直线l∥1，的有() 6 人2 5 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【题型6.同位角相等：两直线平行】 【典例】如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行 线的道理： 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】如图，下列判断错误的是() A B 3 4 E A.:∠1=∠2，.AE∥BD B.:∠3=∠4，AB∥CD C.:∠1=∠2，ABII DE D.:∠5=LBDC,.AE∥BD 【跟踪专练2】如图，现给出下列条件：①∠1=∠2，②∠B=∠5，③∠3=∠4，④ ∠5=∠D,⑤∠B+∠BCD=180°，其中能够得到AD∥BC的条件是 (填序号) A D 3 4 25 C E 【题型7.内错角相等：两直线平行】 【典例】如图，在下列条件中，能判断直线α∥b的是() 3 b A.∠1=∠3 B.∠2=∠4 C.∠4+∠5=180°D.∠2+∠5=180° 【跟踪专练1】如图，有以下条件：①∠1=∠ABC;②∠2=∠C;③LABD=∠BDC;④ ∠ADB=∠CBD;⑤∠1+∠2=180°.其中能判定AB∥CD的是 (填序号)· D 2 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】数学老师在黑板上画出如图所示的图形，要求同学们添加一个条件使得 AC∥DM,同学们给出的下列条件中，能得到这个结论的是() E A.∠A=∠3 B.∠A+∠C=180°C.∠1=∠2 D.∠1=∠C 【题型8.同旁内角互补：两直线平行】 【典例】图1是艺术灯安装师傅安装灯管时使用的工具，利用这个工具能保证图2中的灯管 互相平行，依据是() 90° b90° 图1 图2 A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角相等，两直线平行 D.同旁内角互补，两直线平行 【跟踪专练1】如图，在直线MN上取两点P,Q,作射线PA和射线QB,且 ∠APQ=∠BQP=60°，固定P、Q两点，按图示方向和速度分别转动PA、QB.当PA与QB 第1次平行时，转动时间为】 3 2°/s /S M -N Q 【跟踪专练2】如图，下列给出的条件，能判断AB∥DC的是() 试卷第1页，共3页 A.∠2=∠3 B.∠1=∠4 C.∠B+∠BAD=1809D.∠D=∠5 【题型9.同面内，同垂一线两线平行】 【典例】连接伊斯兰两大圣地的高速铁路一麦麦高铁，不仅为沙特数百万国民的出行提供 便利.更是以中国铁建为代表的“中国队”在海外参与高速铁路建设的又一重要见证.在修建 铁路轨道时，工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判 断，其原理是() 铁轨工工 D 铁轨工 枕木 A.两直线平行，同位角相等 B.垂直于同一直线的两直线平行 C.平行于同一直线的两直线平行 D.垂线段最短 【跟踪专练1】下列四种说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②三条直线两 两相交，总有三个交点；③若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;④在同一平面内，若直线AB∥CD, 直线AB与EF相交，则CD与EF相交.其中，错误的是」 ·(填序号) 【跟踪专练2】已知a,b,cC是三条直线，下列结论正确的是() A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.若a⊥b,b1c,则a⊥c C.若a∥b,b⊥c,则a∥c D.若a⊥b,b∥c,则a∥c 【题型10.同位角.内错角.同旁内角】 【典例】如图，直线a,b被直线c所截，∠1与∠2是() A.同位角 B.内错角 C.同旁内角 D.对顶角 【跟踪专练I】如图，直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是 直线DE与 AC被直线AD所截得的内错角是」 ；图中∠4的内错角是 试卷第1页，共3页 1 E 4 B 3 D 【跟踪专练2】如图在同一平面内，有n条直线与直线a平行，也有n条直线与直线b平行， 直线a,b不平行，当n=4时共有多少对内错角？() =1 =2 n=3 A.200 B.96 C.72 D.60 5 强化巩固通关 1.如图，已知BD⊥AC,EF⊥AC,点D,F是垂足，∠1+∠C=90°.求证：DG∥BC. G B E 2.如图，已知∠A=∠D,∠B=∠FCB,求证：ED∥CF. B 3.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠A,试说明：BE∥CF,完善下面的解答过程， 并填写理由或数学式： E 4 D 1 C 2☒B 解：：∠3=∠4（已知）， 试卷第1页，共3页专题12相交线.平行线与平移寒假预习讲义 预习目标 理解平行线定义，掌握平行公理及推论，会用符号表示平行线。 能准确识别三线八角中的同位角、内错角、同旁内角。 初步掌握平行线的三种判定方法，知晓角的数量关系推导线的平行关系。 尝试用三角板和直尺过直线外一点画平行线，感知判定定理的实践依据。 能结合简单图形，尝试用几何语言表述平行线的判定推理思路： 预习内容概览 预习必备 1.判断基础：三线八角的位置特征 2核心判定定理 知识点梳理 3.常用推论 4.关键易错点 1.平面内两条直线的位置关系 2.立体图形中平行的棱 常考题型 3.直尺三角板画平行线 4.平行公理的应用 5.平行公理推论的应用 6.同位角相等，两直线平行 精讲精炼 7内错角相等两直线平行 8.同旁内角互补两直线平行 9.同面内.同垂一线两线平行 10.同位角.内错角.同旁内角 强化巩固 (解答题5题) 知识点梳理 【知识点01.判定基础：三线八角的位置特征】 判定平行线的前提是识别同位角、内错角、同旁内角，均由两条被截直线和一 条截线构成，且角的顶点不重合： 同位角：在截线同侧，被截直线同一方（如“F”型角） 内错角：在截线两侧，被截直线之间（如“Z”型角） 同旁内角：在截线同侧，被截直线之间（如“U”型角） ·关键：仅判断位置关系，与角的大小无关。 【知识点02.核心判定定理】 试卷第1页，共3页 核心逻辑： 由角的数量关系→推直线的位置关系（同一平面内，不重合的两 条直线) 1,基本判定公理（最核心，无需证明） 同位角相等，两直线平行 符号语言：.∠1=∠2（已知），.a∥b(同位角相等，两直线平行) 用途：作为推导其他判定定理的依据，也是测量法判定平行线的原理。 2 6 2.判定定理1（由公理推导） 内错角相等，两直线平行 符号语言：：∠1=∠2（已知），.a∥b(内错角相等，两直线平行) 推导依据：同位角相等+对顶角相等。 3.判定定理2（由公理推导） 同旁内角互补，两直线平行 符号语言：.'∠A+∠B=180°（己知)，.L1∥L2(同旁内角互补，两直线平 行)·推导依据：同位角相等+邻补角定义。 L3 试卷第2页，共3页 【知识点03.常用推论（同一平面内专属）】 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 符号语言：'a⊥c,b⊥c(已知)，∴.a∥b(垂直于同一直线的两直线平 行)·推导：由垂直得∠1=∠2=90°（同位角相等），再证平行；此推论仅适 用于同一平面内，空间中不成立。 【知识点04.关键易错点】 1判定的前提：必须是两条被截直线被同一条截线所截形成的角，否则无法判 定 2角的关系要求：仅同位角相等、内错角相等、同旁内角互补可证平行，反之 (如同位角不等)则两直线相交： 3与“平行公理推论”区分：平行于同一条直线的两条直线互相平行是平行 公理推论（由位置关系推位置关系），并非本节的判定定理（由角的关系推位 置关系)。 常考题型精讲精练 【题型1，平面内两直线的位置关系】 【典例】如图，已知直线AB与直线CD平行，下列表示方法正确的是() A —B b —D AA∥C B.A∥D B∥b a∥b C. 试卷第3页，共3页 【答案】D 【分析】本题考查了平行的符号表示，属于基础知识. 直线AB与直线CD平行，可以记作为：AB∥CD或a∥b,即可得到答案. 【详解】解：平行用符号∥表示，直线AB与直线CD平行，，可以记作为：AB∥CD或 a∥b 故选：D 【跟踪专练1】如图，在长方体ABCD-EFGH中，与线段AB平行的线段有 【答案】EF,HG,DC 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。据此解 答即可。 【详解】解：与AB线段平行的线段有：EF、HG、DC 故答案为：EF、HG、DC, 【跟踪专练2】下列说法中，正确的个数是() ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行： ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线a,b外一点P,画直线c,使c∥a,且c∥b: ∥bbPc ④若直线 则ca A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与 性质、平行公理及推论是解题的关键.根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条 直线的位置关系等知识判断求解即可. 【详解】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行， 故①正确，符合题意： 试卷第4页，共3页 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 故②错误，不符合题意： 过两条直线a,b外一点P,画直线c,使c∥a,且c‖b; 只有当a∥b时，才能画出这样的直线c,若a与b相交，则无法画出，所以原说法错误， 故③错误，不符合题意 若直线a∥b,bPc,则c∥a. 故④正确，符合题意； 综上，正确的有2个， 故选：C. 【题型2.立体图形中平行的棱】 【典例】如图，在长方体ABCD-EFGH中，与BC平行的棱是_· H 【答案】棱AD,棱EH,棱FG, 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。 【详解】在长方体ABCD-EFGH中，与BC平行的棱是棱AD,棱EH,棱FG, 故答案为：棱AD,棱EH,棱FG. 【点睛】本题主要考查平行线的定义，熟练掌握长方体的结构特点是解答本题的关键 AA 【跟踪专练1】观察如图所示的长方体，与棱平行的棱是() D A. AD B.BB C.AD D.AB 【答案】B 【分析】本题考查认识立体图形，平行线的判定；解题的关键是理解题意.根据长方体的 试卷第5页，共3页 特征，即可得到与棱 4平行的棱。 cC. 【详解】解：由图可知，与棱1M平行的棱有棱B8、 DD 故选：B. 【跟踪专练2】观察如图所示的长方体，回答下列问题： H AB EF,AD AB,GF EF,AD (1)用符号表示下列两条棱的位置关系： GF:(填“∥”或“⊥”) (2)EF与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们一（填“是”或“不是”）平行 线.由此可知，只有在一内，两条不相交的直线才能叫作平行线。 【答案】 不是 同一平面 【分析】本题考查平行线及垂线定义，熟练掌握定义及长方体的性质是解题关键， (1)由平行线及垂线定义可得答案. (2)由平行线定义可得答案。 【详解】解：(1)：该图是长方体， AB∥EF,AD⊥AB,GF⊥EF,AD∥GF 故答案为：∥；上；⊥；∥. (2):EF与BC所在的直线是两条不相交的直线，EF与BC不在同一平面内， ∴.它们不是平行线， .只有在同一平面内，两条不相交的直线才能叫做平行线. 故答案为：不是；同一平面 【题型3.直尺三角板画平行线】 【典例】如图，已知一点A和直线1，现过点A作直线1的平行线，则可作平行线() 试卷第6页，共3页 A.1条 B.2条 C.0或1条 D.无数条 【答案】C 【分析】分两种情况讨论：当A在直线！上时，过A不能作直线的平行线，所以为0条， 当A在直线！外时，根据同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行进行 求解即可. 【详解】解：当A在直线I上时，过A不能作直线I的平行线，所以为0条， 当A在直线I外时， 同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选：C 【点晴】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记同一平面内过直线外一点有且只 有一条直线与已知直线平行， 【跟踪专练1】如图，画平行线的操作中，依据是 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查利用直尺和三角板画平行线，根据作图可知∠1=∠2，根据同位角相 等，两直线平行，即可得到a∥b; 【详解】解：由作图可知，∠1=∠2， b a∥b (同位角相等，两直线平行)： 故答案为：同位角相等，两直线平行. AB.BC 【跟踪专练2】想一想，在方格纸中如何画平行线？在下图中，过点P分别画 的平 行线，并进行检验. 试卷第7页，共3页 【答案】见解析 【分析】本题考查方格纸作平行线，掌握知识点是解题的关键 根据方格纸作平行线的方法作图即可. 【详解】解：作图如图， PQ∥AB,PF∥BC 用直尺和三角板检验平行线即可，具体步骤如下： 1.固定直尺：将直尺的一条边与其中一条待检验直线（记为直线α）完全重合，并按住直 尺使其固定不动. 2.贴合三角板：将三角板的一条直角边与直尺刚才重合的边紧密贴合，确保三角板的另一 条直角边能与另一条待检验直线（记为直线b)接触. 3.平移与观察：按住三角板，使其沿着直尺的边平稳平移.若在平移过程中，三角板的直 角边与直线b始终保持完全重合（无间隙、不分离），则直线α与直线b平行；若出现分 离或无法重合，则两直线不平行 【题型4.平行公理的应用】 【典例】下面关于一条直线和两条平行线的位置关系的说法中，正确的是() A.一定与两条平行线都平行 B.可能与两条平行线都相交或都平行 C.一定与两条平行线都相交 D.可能与两条平行线中的一条平行或相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行公理和两直线的位置关系，平面内，两条直线只有平行和相 交两种位置关系，那么同一平面内，一条直线和两条平行线的位置关系要么都相交，要么 都平行，据此可得答案 试卷第8页，共3页 【详解】解：A、一条直线和两条平行线不一定都平行，原说法错误，不符合题意： B、同一平面内，一条直线和两条平行线可能与两条平行线都相交或都平行，原说法正 确，符合题意； C、一条直线和两条平行线不一定与都相交，原说法错误，不符合题意： D、一条直线不可能和两条平行线中的一条平行或相交，原说法错误，不符合题意： 故选：B. 【跟踪专练1】如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意 图，其中AB是地面，当∠I=∠2时，PM∥AB;∠3=∠4时，PN∥AB.同时满足上述 条件时，一定有N,P,M三点在同一条直线上，其依据是一 ② 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线 平行，来解答即可. 【详解】解：当∠I=∠2时，PM∥AB;∠3=∠4时，PN∥AB. ,过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， .N,P,M三点在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与己知直线平行. 【跟踪专练2】按下列要求画图，只能画出一条直线的是() 过点P画与直线垂直的直线 过点P画与直线相交的直线 过点P画与平行的直线 ① ② ③ A.①②③ B.②③ C.①② D.①③ 【答案】D 【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线 与已知直线垂直”和“过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答， 试卷第9页，共3页 【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一 条直线： 在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线 在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线： 故选：D 【题型5.平行公理推论的应用】 【典例】如果a∥b,b∥c,那么a∥c,这个推理的依据是() A.等量代换 B.平行线的定义 C.两直线平行，同位角相等 D.平行于同一直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握判定方法是解题的关键. 【详解】解：因为a∥b,b∥c, 所以a∥c: 故选：D 【跟踪专练1】在同一平面内有2021条直线a1,a2,a3,…,a202,如果 a1La2,alla3,a3⊥a4,aa5,…,那么a1与a5的位置关系是一；a,与a2的位置关系是 【答案】 平行 平行 【分析】根据平行线的性质和规律得到：4条直线的位置关系为一个循环. 【详解】如图，a⊥a2,alla, .au⊥a, :a3⊥a4, ..aia, .alas, ..aillas, …》 依此类推，au⊥a6,a⊥a,aas,alag,连续4条直线的位置关系为一个循环. .2021=505×4+1, ∴.ala2021. 故答案是：平行；平行 试卷第10页，共3页