第1章 直角三角形的边角关系综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）陕西专版

综合评价答案 第一章综合评价 1.A2.D3.D4.C5.D6.D7.C8.C9.410.13° 1.专12.142913.(6,12)14.2515解：原式=2× 专+号+（停）=2.16.解：在R△AC中，BC=12,nB =是AC=BC·mB=5.AB=VAC+BC=13. asA-治-=是17解：在△BDC中，∠C=90, ∠BDC=45°，BD=10W2,∴.BC=BD·sin∠BDC=10.:'在 R△AC巾，∠C=90AB=20,smA=%=子18.解： 在Rt△ADE中，∠ADC=90°，a=25°，∴.DE=AE·sina≈30 ×0.42=12.6(cm).:CE=2.4cm,∴.CD=CE+DE=2.4+ 12.6=15(cm).答：在此次实验中，小物件的铅垂高度CD约为 15cm.19.解：如图，∠ABD即为所求. 20.解：由题意，得∠A=∠ACE=37°，∠ADB=53°.∠CBD =∠A+∠ADB=90°..∠ABD=180°-∠CBD=90.在 R△BCD中，CD=100m,∠BDC=90°-∠ADB=37°，.BD =CD·cos∠BDC≈100X0.80=80(m).:在Rt△ABD中， ∠A=37,AB=D六2≈107m.答A,B两点同的距 离约为107m.21.解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9, asA=号AB=C=15.:D是边AB的中点，CD= BD=合AB=9.:∠BCD=∠ABC÷Sim∠BCD= sm∠AC-器=号：BC=Vm-aC=1B,BE1cD. BE=iC·sm∠BCD=:o∠DnE=器=芸 22.解：过点F作FH⊥DE于点H.∠CDF=30°，DF= 24cm,∠DCF=45°，.DH=DF·cos∠CDE=12√5cm,FH FH =DF·sin∠CDF=12cm.CH=tan ZDCF=12cm.CD =CH+DH=(12+12√3)cm.CE:CD=1:2,.DE= CD-(18+18/3)cm.AB-BC-DE.:AC=2DE-36+ 36√3≈98(cm).答：AC的长度约为98cm.23.解：(1)过点D 作DG⊥AB,垂足为G.由题意，得四边形DGBF是矩形，∴.DG =BF=12cm,BG=DF=l6cm.在Rt△DGB中，tan∠BDG= 瓷9=专∴∠BDG8.∠PDH=∠BDG5,人 射角a的度数约为53°.(2)：BG=16cm,BC=7cm,.CG= BG-BC=9cm.在Rt△CDG中，DG=12cm,∴.DC= 第13页( VCG+DG=15cmsn=sn∠GDC-%-号.由(1)得 ∠PDH=53,sin∠PDH=sina≈告.光线从空气射入水 中的折射率n品g会、24.解：1)过点D作DF⊥BC于 点R.:AELC,.DF∥AE.△CDF△CAE,g= 器CD=2aD,0-号AE=.5=号DF= 6在R△BDF中，n∠CBD=孺=是，脚高=是BD= 8.(2)由(1)知DF=6,BD=8,∠DFB=90°，.BF= √BD-DF=2√7.，BD=CD,DF⊥BC,.CF=BF=2√7 :DF∥AE,CD=2AD,∴CF=2EF.∴EF=2CF=万.∴BE =F-EF=Rm∠BAE=能- .25.解：任务一：由 题意，得AB=BG=7X10=70(m).在Rt△ABG中，tan∠AGB =能=1.∠AGB=6,DGLAG,.∠AGD=90, .∠DGF=180°-∠AGB-∠AGD=45°.答：从点G处看塔尖 D的俯角的度数为45°.任务二：延长ED交BG的延长线于点 F.由题意，得EF⊥BG,EF=AB=7X10=70(m).设FG= xm,则BF=BG+FG=(x十70)m.:在Rt△DFG中，∠FGD =45°，.DF=FG·tan45°=xm.在Rt△DBF中，∠DBF= 20°，.DF=BF·tan20°≈0.36(x+70)m.,.x=0.36(x十 70),解得x≈39.∴.DF=FG=39m..DE=EF-DF=70-39 =31(m).答：太平寺塔DE的高度约为31m.26.(1)证明：过 点C作CE⊥AB于点E.在Rt△ACE中，sin∠CAE=CE, ∴CE=b·sim∠CAE.同理，在Rt△BCE中，sinB=CE,.CE =a·sinB.b·sin∠CAE=a·sinB.sin∠BAC=sinB (2)解：AC⊥CD,∴.∠ACD=90°.∠ADC=45°，∴.∠CAD =90°-∠ADC=45°，∴.AC=CD=6√2 n mile...∠ABC=75 30=45°，∠BAC=180°-75°-45°=60°，由(1)知、nA -C即品得-0C=65nml答，乙 BC 由B处到达C处航行的路程为6W3 n mile. 第二章综合评价 1.C2.B3.A4.B5.A6.C7.B8.B9.1(答案不 唯一，a>0即可)10.y=(x-4)2-211.-312.(2,-4) 13.214.1<1<号15.解：“y=-2x+4红-1=-2(x 1)2+1,.该函数图象的开口向下，对称轴为直线x=1, 16.证明：由题意，得△=m2一4(m一2)=(m-2)2十4..(m 2)2≥0，∴.(m-2)十4>0，即△>0..无论m取何实数，抛物 线与x轴总有两个交点.17.解：由题意，得a=2,.抛物线的 共24页)第一章综合评价 （时间：120分钟满分：120分) 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 题号 1 3 5 6 7 8 新 答案 1.tan60°的值为 A.√3 a号 c停 D. 1 2 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,则cosA的值为 A.3 .3 C. D. 4 5 do i B9B (第2题图)》 (第4题图) (第5题图) (第7题图) 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= 3 会 ，BC=6,则AB的长为 A.4 B.6 C.8 D.10 4.如图，为测量一河两岸相对两电线杆A,B间的距离，在距点A15m的点C(AC⊥BA)处测得 ∠C=50°，则点A,B间的距离为 ( ) 15 A.15sin50°m B.15c0s50°m C.15tan50°m D.tan50° 5.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线.已知CD=2,AC=3,则cos∠BCD的值是( ) a B号 2 6.在△ABC中，锐角∠A,∠B满足 sin A- 1 2 =0,则△ABC是 ( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 7.如图，某梯子长10，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙 部 面上的点A处，底端落在水平地面上的点B处.现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角 为A已知sin。=60s合，则梯子顶端上升了 A.1m B.1.5m C.2m D.2.5m 8.第14届国际数学教育大会(ICME一14)会标中心的图案来源于我国古代数学家赵 墨 爽的“弦图”.如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF:AH=1:3,则sin∠ABE的值为( 5 c D.25 5 第1页（共6页） 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tanB=2,BC=2,那么AC的长为 40m 10m ■ B B (第9题图) (第11题图) (第12题图) 10.若a是锐角，且sina=cos77°，则a的度数是 11.如图，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠ACB的值为 12.如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在10高的天桥两端分别修建了40m长的斜道，用 科学计算器计算这条斜道的倾斜角∠A的度数为 (精确到1'). 13.如图，在平面直角坐标系中，点P在射线OA上，OP-13,cosa=吕则点P的坐标为 B 图① 图② (第13题图) (第14题图) 14.图①为《天工开物》记载的用于春(chong)捣谷物的工具-一“碓(dui)”,图②为其平面示意图. 已知ABI CD于点B,AB与水平线1相交于点O,OE⊥I,CF⊥l.若BC=4dm,OF= 8后msn∠B0E-2,则CF dm. 三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程） 15.(本题满分5分)计算：2sin30°+cos60°+cos245°. 16,(本意满分5分)如图，在R△ABC中，∠C=S0,BC=12.anB=是求cosA的值。 17.(本题满分5分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠BDC=45°，BD=10√2， AB=20,求sinA的值. 人45 D 第2页（共6页） 18.(本题满分5分)在某次物理实验中，小红将一个试验小物件静止地放在斜面AB上，其受力情 况分析如图所示，重力G的方向竖直向下，其方向线交AB于点E,交水平面AM于点D,支持 力F的方向垂直于AB,摩擦力P的方向线与AB平行，已知斜面的坡角α=25°.若在此次实 验中，AE=30cm,CE=2.4cm,求小物件的铅垂高度CD.(结果精确到1m,参考数据： sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47) B M 19.(本题满分5分)如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=4,BC=5.请用尺规作图法，求作∠ABD, 使得tan∠ABD=子，且点D在边AC上.（保留作图痕迹，不写作法） 20.(本题满分5分)如图，为了测量河对岸A,B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观 测点C,测得点A,B均在点C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走100至观测点D,测得 点A在点D的正北方向，点B在点D的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离.（结果精确 到1m,参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 北 →东 B 37 21.(本题满分6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD,交CD的延 长线于点E.已知AC=9,osA=号，求线段CD的长及os∠DBE的值， 第3页（共6页） 22.（本题满分7分)如图所示分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得 了如下信息：滑杆DE,箱长BC,拉杆AB的长度都相等，即DE=BC=AB,点B,F在线段AC 上，点C在DE上，支杆DF=24cm,CE:CD=1:2,∠DCF=45°，∠CDF=30°，求AC的长 度.（结果精确到1cm,√3≈1.73） 23.(本题满分7分)【学科融合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如 图①)，我们把m=sing称为折射率（其中a代表入射角，B代表折射角）. sin 8 【观察实验】为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验，即通过细管MN可以看见水 底的物块C,但不在细管MN所在直线上，图③是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A, C,B在同一直线上，测得BF=12cm,DF=16cm. (1)求入射角a的度数； (2)若BC=7cm,求光线从空气射入水中的折射率n. (参考数据：sim53≈号，c0s53≈号，tan53学)】 入射角a一法线 人介质 折射角B 图① 图② 图③ 第4页（共6页） 24.（本题满分8分)如图，D是△ABC的边AC上一点，CD=2AD,AE⊥BC,垂足为E,AE=9, sin∠CBD= (1)求BD的长； (2)若BD=CD,求tan∠BAE的值. 25.(本题满分8分)太平寺塔，又名岐山塔，因塔建于太平寺内而得名，为陕西关中地区遗存的标 准宋塔之一，更有“古塔凌空”为“岐山八景”之一. 活动名称 测量太平寺塔的高度 G 如图，测量小组使无人机在点A处以10m/s的速度竖直上 20 图示及测 升7s后，飞行至，点B,在，点B处测得塔尖D的俯角为20°， 量方案 然后沿水平方向向左飞行7s至，点G 测量说明 点A,B,G,D,E均在同一竖直平面内，且，点A,E在同一水平线上，DE⊥AE,DG⊥AG 任务一 求从，点G处看塔尖D的俯角的度数 任务二 求太平寺塔DE的高度（结果精确到1m.参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 第5页（共6页） 26.（本题满分12分)【阅读材料】 (1)如图①，在锐角三角形ABC中，∠BAC,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,作AD⊥BC于点 D,在Rt△ABD中，sinB=AD.AD=c·sinB.在Rt△ACD中，sinC=.:AD=b b sinC,即c·sinB=b·sinC.s6Bs。C请根据上述方法，求证：aB4CsB 【问题解决】 (2)如图②，甲船以36 n mile/h的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南 偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东30°方向匀速直线航行.当甲船航行20in到达 D处时，乙船航行到达甲船的南偏西45°方向的C处，此时两船之间的距离为6√2 n mile,若 此时AC与CD恰好互相垂直，求乙船由B处到达C处航行的路程.（结果保留根号） 北 十东 45 B D a 759 图① 图② 第6页（共6页）