专题01 解直角三角形应用与特殊几何图形问题的五种模型（高效培优专项训练）数学北师大版九年级下册

专题01 解直角三角形应用与特殊几何图形问题的五种模型 目录 题型一：解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题 1 题型二：解直角三角形应用与平行四边形的综合问题 9 题型三：解直角三角形应用与矩形的综合问题 17 题型四：解直角三角形应用与菱形的综合问题 25 题型五：解直角三角形应用与正方形的综合问题 30 题型一：解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图①，这是一个绿道休息凉棚，其侧面示意图大致为图②，点、、在一条直线上，，，与地面平行．求点到地面的距离（参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，平行的性质，三角形外角性质，掌握知识点的应用是解题的关键．过C作于点M，由平行可求得，又，在中，，然后代入求值即可求出． 【详解】解：过C作于点M， ． ， ． 与地面平行， ． ， ． 在中， ， ． ． 答：点C到地面的距离为． 2．（2022·安徽滁州·一模）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备厢开启侧面示意图，具体数据如图所示（单位：）且，，，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，，的位置，弹簧活塞杆随之伸长．已知直线，． (1)求的长度． (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，过点作于，解，得出，进而得出，根据图示数据即可求解； （2）设，则，，，根据勾股定理得出，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作于P，过点作于H， 则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 由旋转一定角度后得到可知：旋转角度为，即，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，则，，， ∵， ∴， ∴， 解得，或（舍）， ∴． 3．（2025九年级·全国·专题练习）空间观念如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上．观测者用望远镜观测物体时，眼睛（点）到水平地面的距离，沿方向观测物体的仰角，望远镜前端（点）与眼睛之间的距离（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）．求： (1)点到水平地面的距离的长． (2)在水平地面上的正投影的长． 【答案】(1)点到水平地面的距离的长约为173.6cm (2)在水平地面上的正投影的长约为128.5cm 【分析】本题考查了正投影，解直角三角形的应用--仰角和俯角问题，熟悉仰角和俯角的概念，构造出直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点．构造，利用三角函数求出的长，进而求出的长； （2）由图形可知在地面的正投影长即的长，所以求出问题得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，， ， ． 故点到水平地面的距离的长约为173.6cm． （2）解：在中，， ， ． 故在水平地面上的正投影的长约为128.5cm． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）图①是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分结构几何示意图，车架的长为60cm，且，座杆的长为，点在同一条直线上，．求： (1)车架的长； (2)车座点到车架的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)45cm． (2)63cm． 【分析】（1）在中，利用正切定义即可求解； （2）过点E作于点，由（1）得出的长，进而求出的长，在中，利用正弦的定义即可求解． 【详解】（1）解： ， 即， （cm）， 答：车架的长约为45cm． （2）解：过点作于点，如图． 在中， ， ，得：， 答：车座点到车架的距离约为63cm． 【点睛】本题考查了利用三角函数的实际应用，掌握三角函数定义是解题的关键． 5．（2025九年级·全国·专题练习）图①是一款多功能折叠椅，图②是其打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度）．支架相交于点，支架可绕点旋转，支架可绕点旋转，同时支架的端点可在椅面上左右滑动，为桌面的支撑臂．为桌面的托杆，点分别固定在桌面和支撑臂上，两托杆可以绕连接点转动．现折叠椅为完全打开状态，已知与地面平行，，，，，． (1)求两支架底端，之间的距离． (2)已知将折叠椅完全打开成桌子时，桌面的倾斜角（桌面与水平方向的夹角，在水平方向上方）为，支架与椅面的夹角为，求此时桌面左上角顶点到地面的距离（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)两支架底端之间的距离为54cm (2)此时桌面左上角顶点到地面的距离约为69cm 【分析】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）先求出的长度，然后证明，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可求解； （2）如图，过点作于点，过点作，过点作交于点．在中，可求出的长度，在中，可求出的长度，接着根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：， ． ， ， ， ， ． 故两支架底端之间的距离为54cm． （2）解：如图，过点作于点，过点作，过点作交于点． ， ， 在中，． ， 在中，， 桌面左上角顶点到地面的距离． 故此时桌面左上角顶点到地面的距离约为． 6．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）2025年春节联欢晩会上，我们看到了机器人跳舞的场景，随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中，（图中点线在同一个平面内）． (1)经过实验发现，当取最大值，且点、、三点共线时（如图2），抓手距离地面高度最大，则抓手距离地面的最大高度是 米．（结果保留根号） (2)设抓手到直线的水平距离为． ①当时，求的值． ②当时，则的最大值为 米（结果保留两位小数，参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)米 (2)①；②2 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F， 求出，解得到（米），解得到（米），据此求出的长即可得到答案； ②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H，根据，可推出当时，有最大值，即此时有，则可求出，，即r的最大值为2． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得米， ∴米 ∴机械臂机器人抓手距离地面的最大高度为米； （2）解：①如图，过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F， ∴， 由题意得：， ∴， 在中，米，， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴； ②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H， ∵， ∴当点E和点H重合，且最小时，有最大值， ∴当时，有最大值，即此时有， ∴此时，， ∴， ∴， ∴r的最大值为2． 题型二：解直角三角形应用与平行四边形的综合问题 7．（2025·陕西咸阳·三模）如图1，这是某红色群雕主题园内的一座雕像，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点E，B，C在同一条直线上，，m，B是的一个三等分点（），四边形是矩形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若m，求雕塑的高（点E到的距离）．（结果精确到m，参考数据：，，） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高约为m 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，解直角三角形，掌握知识点是解题的关键． （1）分别证明，，即可解答； （2）过点E作，交的延长线于点P，求出m，m，在中根据三角函数，求出，可求出雕塑的高，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）如图，过点E作，交的延长线于点P． 由（1）可知四边形是平行四边形， ∴m． ∵， ∴m， ∴m， ∴m 在中，m，，， ∴m． ∵m， ∴雕塑的高约为m． 8．（2025九年级下·江西·专题练习）如图（1）是一座塑像，图（2）是它正面的抽象示意图，它是由三个全等的平行四边形组成的（部分重叠），已知水平地面，，，，， (1)求此塑像正面抽象示意图的周长（含段）； (2)求此塑像的高．（结果保留1位小数）（参考数据： ，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用和平行四边形的判定与性质，利用辅助线构造出对应的平行四边形和直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点T，延长交的延长线于点R，由此可得四边形是平行四边形，再由，可得，根据，，，可得，即可求解出此塑像正面抽象示意图的周长； （2）过点G作于点M，则，由可得，由（1）易得，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点T，延长交的延长线于点R， 塑像由三个全等的平行四边形组成， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ，，    ，， ， ， ，，， ， ， 此塑像正面抽象示意图的周长为； （2）如上图，过点G作于点M，则， ， ， ， 由（1）可知：，， ， ， 答：此塑像的高约为． 9．（24-25九年级下·全国·单元测试）图①是一个书桌，将其侧面抽象成如图②所示的示意图．已知，M，N分别是的中点，点F是点A的正投影，． (1)求桌面到地面的距离； (2)若，求的值． （结果保留一位小数，参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、平行四边形的判定与性质，理解正投影的性质，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解答本题的关键． （1）如图，连接，根据正投影和平行线的性质得到，然后解直角三角形即可求解； （2）如图，过点N作于点G．证明四边形是平行四边得到，进而得到，解直角三角形求得、即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接． 点F是点A的正投影，， ． 在中，， ． 故桌面到地面的距离约为． （2）解：如图，过点N作于点G． ， ，四边形是平行四边形， ． 是的中点， ． 在中，， ，， ， ． 10．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图 1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形 ，其中，，此时它与出入口 等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． (1)求点到地面的距离； (2)一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)汽车能安全通过 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作 于点， 交于点，根据解直角三角形的知识进行解答即可； （2）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作 于点，交于点，则， ， ， ； （2）在上取，作于点， 交于点， 交于点，当汽车与保持安全距离时， ∵汽车宽度为， ， ， ， ， ， ∴汽车能安全通过. 11．（2024·河南平顶山·一模）下图是某篮球架的侧而示意图，四边形为平行四边形．其中为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱连接（垂直于，垂足为H），在B，C处与篮板连接，旋转点F处的螺栓可以调节长度，使支架绕点A旋转，进而调节篮板的高度，已知．    (1)如图1，当时，测得点C离地面的高度为，求的长度； (2)如图2，调节伸缩臂，将由调节为时，请判断点C离地面的高度是升高了还是降低了？并计算升（或降）的距离．（参考数据，） 【答案】(1)； (2)点离地面的高度升高了，升高了． 【分析】本题考查的是平行四边形性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，根据四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，即可求得； （2）当时，则，解直角三角形得，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，延长与底面交于点，过作于，则， 四边形为矩形， ∴，      ∵四边形是平行四边形， ∴， 当时，则， 此时，， ∴； （2）解：当时，则， ∴， 而，， ∴点离地面的高度升高了，升高了． 12．（2025·安徽合肥·三模）综合实践 在一次综合实践活动中，九年级某实践小组对如何设计平开窗的窗户限位器位置进行了探究，经历了以下过程： 【问题背景】平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 【数学抽象】把上述实物图抽象成如图示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点，，三点固定在同一直线上．推拉窗户时，点随之移动．当窗户关闭时点与点重合，和均落在上，此时有．在点向点滑动过程中，四边形始终为平行四边形，其中． 【安全规范】窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． 【任务1】滑撑支架中的长度为___________，滑动轨道的长度是___________． 【任务2】确定安装方案为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器，控制平开窗的开启角度，当点滑动到点时，则限位器应装在离点多远的位置？（结果保留根号） 【答案】任务1：10，56；任务2：限位器应装在离点的位置． 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 任务1：根据题意，可得，从而得到结果； 任务2：作，在中，求出，从而得到长，即可得到结果． 【详解】解：任务1：四边形始终为平行四边形，， ， 当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上， ， 故答案为：10，56； 任务2：过点作交于点，依题意得， 四边形为平行四边形， ， ， 在中，， 又， 根据勾股定理可得， ， 限位器的位置离点， 答：限位器应装在离点的位置． 题型三：解直角三角形应用与矩形的综合问题 13．（24-25九年级上·安徽池州·期末）拉杆旅行箱为人们的出行带来了极大的方便，下图是一种拉杆旅行箱的侧面示意图，箱体可视为矩形，其中为，为，点A到地面的距离为，旅行箱与水平面成角，求箱体的最高点C到地面的距离．     【答案】箱体的最高点C到地面的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形．过点作交直线于点，过点作交直线于点，交地面于点，在中，利用正切函数的定义求得，推出，在中，利用正弦函数的定义求得，据此计算即可求解． 【详解】解：过点作交直线于点，过点作交直线于点，交地面于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴箱体的最高点C到地面的距离为． 14．（2025·河南驻马店·三模）堆垛是一种常见的存储方式．某数学实践小组想借助所学的知识，测量一座玉米垛（如图1）的高度，分析玉米垛的形状特点后画出如图2所示的示意图，其主视图为轴对称图形，四边形为矩形．现测得玉米垛的顶部E到支点C的距离，垛体高，垛体顶角．求玉米垛的顶部E到地面的距离．（结果精确到0.1．参考数据：）         【答案】3.4 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，等腰三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点，作出合理的辅助线，是解题的关键； 过点E作，交于点O，交于点H，在中，求出的长，再证四边形为矩形，得，再计算． 【详解】解：如图，过点E作，交于点O，交于点H． 玉米垛的主视图为轴对称图形， 为等腰三角形． ， ， 四边形CDGF为矩形， ，， ， ， 在中，， 又， 四边形为矩形， ， ． 答：玉米垛的顶部E到地面的距离约为3.4． 15．（2025九年级下·全国·专题练习）如图①所示的是某校安装的红外摄像机，图②为其抽象示意图．四边形中，，，在直线与水平地面所成的角为，． (1)求的长； (2)若点C离地面，求点A到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质及三角函数的实际应用，熟练运用其性质是解决问题的关键． （1）通过作辅助线，构造直角三角形，利用平行线的性质和三角形内角和求出角度，再结合矩形的性质求解的长； （2）通过作辅助线，将点到地面的距离转化为几个线段长度之和，利用三角函数求解各线段长度，进而得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为E． ， ， 四边形是矩形， ． ， ， ． （2）解：如图，过点B作垂直于点C所在的水平线于点G，过点A作垂直于点B所在的水平线于点F， 则 ． 所在直线与水平地面所成的角为， ， ， ． 点C离地面， ∴点A到地面的距离为． 16．（2025·河南许昌·二模）某数学研究小组在老师的指导下，利用课余时间测量湖中亭子的边长．已知亭子的底座为矩形，在湖外取一点E，使得D、A、E在同一条直线上，过点E作，沿方向前进到点F，测得的长为8米，并用测角仪测得．（） (1)求线段的长； (2)求矩形的面积． 【答案】(1)线段的长度是14米，的长度是6米 (2)72平方米 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解； （2）过点B作于点M，则四边形是矩形，继续利用正切函数确定米，即可求解面积． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， ， ， 即线段的长度是14米，的长度是6米； （2）过点B作于点M，则四边形是矩形， ． 在中，， ， ， ， ∴矩形的面积为（平方米）． 17．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图①是一款订书机，其平面示意图如图②所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，， 压杆，，使用过程中矩形可以绕点E 旋转． (1)订书机不使用时，如图②，，求压杆端点F 到底座的距离； (2)使用过程中，当点B 落在底座上时，如图③，测得，则压杆端点F到底座的高度约为 ．(参考数据：，，结果精确到) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，则，再由直角三角形的性质可得，即可得解； （2）过点作于，过点作于，过点作于，则四边形为矩形，，，解直角三角形求出，的长，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，则， ， 在中，，， ∴， ∴， 故压杆端点F 到底座的距离为； （2）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于， ， 则， ∴，四边形为矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即压杆端点F到底座的高度约为． 18．（2025·吉林延边·模拟预测）延吉作为网红城市，吸引了很多研学团队．某中学研学团队来到了延吉民俗园，欣赏特色朝鲜族民族建筑的同时开展了如下实践活动： 研学一：如图①，在电子测量不发达的时代，工人师傅在等腰三角形的房屋框架即等腰三角形的顶角顶点处用绳子系一个重物，如果系重物的绳子正好经过底边中点，则说明底边横梁是水平的．这种测量方式主要应用了等腰三角形的什么性质？绳子系上重物，受重力影响，始终竖直向下，称为铅垂线，铅垂线与水平线互相垂直        研学二：地理学称这种房顶结构为斜顶房屋，如图①，由等腰三角形和矩形构成，这种设计不仅有利于排水，还增加了内部架构的挑高屋顶最高点到地面的垂直高度，使内部空间看起来更开阔．老师鼓励同学们利用铅垂线和量角器自制测角仪，并设计测量房顶的最高挑高方案，如图②．        (1)将量角器的圆心点与方案中的点重合，直径与线段在一条直线上，如图③，此时铅垂线恰好过刻度线，如图④所示．在图③中，若为水平线，____． (2)经测量可知：米，米，如图②，过点作于点，交线段于点，求房顶最高点距离地面的高度结果保留到小数点后一位．参考数据：，， 【答案】研学一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(等腰三角形的三线合一)；研学二：（1）；（2）房顶最高点A距离地面的垂直高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，构造直角三角形是解题的关键； 研学一：根据等腰三角形的三线合一的性质，即可求解； 研学二：（1）根据为水平线，则，进而根据铅垂线恰好过刻度线，即可求解； （2）由题意得四边形为矩形，为水平线，四边形是矩形，在中，得出，四边形是矩形，求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：研学一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合等腰三角形的三线合一． 研学二：（1）为水平线，则 ∵铅垂线恰好过刻度线， ∴ 故答案为：． ②由题意得四边形为矩形，为水平线， ， ，， ，四边形是矩形，． ，，， ． 在中，， ， ． 四边形是矩形，， ， ． 答：房顶最高点距离地面的垂直高度为米． 题型四：解直角三角形应用与菱形的综合问题 19．（2024·吉林·二模）如图1是汽车内常备的千斤顶，图2是它的平面示意图，四边形是菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变线段的长度，同时改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即点与点之间的距离）．经测量，． (1)当时，求的长（结果保留整数）． (2)从增加到时，这个千斤顶高度升高了______cm（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】(1)的长约为 (2)13 【分析】（1）连接，交于点O，根据四边形是菱形，得到，根据，解答即可． （2）连接，交于点O，根据四边形是菱形，当得到，根据，当得到，根据，解答即可． 本题考查了菱形的性质，正弦函数的应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握菱形的性质，正弦函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）连接，交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴． （2）连接，交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴． 故千斤顶升高了， 故答案为：13． 20．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A，D，F，G四点始终在同一条直线上，图形关于直线对称． (1)如图1，若B，C，D，E四点在同一条直线上，连接，__________； (2)如图2，若菱形的边长为，，求点N到点G的距离，（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，进而得出，，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）连接交于点P，首先得出，然后根据对称的性质得到，，，然后解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵五个菱形两两全等， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点P ∵菱形的边长为， ∴， ∵A，D，F，G四点始终在同一条直线上， ∴， ∵图形关于直线对称， ∴点N和点G关于直线对称， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了解直角三角形，菱形的性质，轴对称性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21．（22-23九年级上·广西柳州·阶段练习）“新冠疫情”期间学校在校门口搭建如图1所示的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块可分别沿等长的立柱上下移动，，．（参考数据：，，，）    (1)若移动滑块使，求棚宽的长（精确到）． (2)在遮阳棚内安装如图4所示的红外线测温门（门高），门的顶端应与点持平或低于点，试问此时最大为多少度？ 【答案】(1) (2)的最大值为 【分析】（1）根据题意可知是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可求出的值，根据，由此即可求解； （2）如图所示，，过点作于点，根据三角函数的计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴在中，，， ∵，， ∴，且， ∴， ∴． （2）解：如图所示，，过点作于点，    ∴， ∴， ∴， ∴，即的最大值为． 【点睛】本题主要考查直角三角形，勾股定理，三角函数的计算的综合，掌握直角三角形与勾股定理，三角函数的计算方法是解题的关键． 22．（2024·江西南昌·模拟预测）图1是某折叠资料架，图2为其侧面示意图，已知，，M，N，P，Q四点分别是的中点（N，P两点也分别在和上），底座，垂足为O，经测量，，，． (1)求证：四边形为菱形． (2)求折叠资料架的高（点A到底座HI的距离）．（参考数据：．结果保留一位小数） 【答案】(1)见解析 (2)折叠资料架的高约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据线段中点的定义可得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形可得四边形为菱形，即可解答； （2）先利用线段中点的定义可得，然后根据题意可得：，再在中，利用锐角三角函数的定义求的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵M是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：如图： ∵点Q是的中点， ∴， 由题意得：，，， 在中，， ∴， ∴， ∴折叠资料架的高约为． 题型五：解直角三角形应用与正方形的综合问题 23．（2025·吉林松原·模拟预测）图①是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图②，并测得正方形与正方形的面积相等，且，，求的长（参考数据：0.91，）． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质以及解直角三角形，解题的关键是利用正方形的性质和三角函数来求解线段长度． 根据正方形与正方形的面积相等，得到，由于，证明四边形是平行四边形，得到，，作于点，在中，根据三角函数的定义，求得，从而计算出的长度． 【详解】解：正方形与正方形的面积相等， ，， 四边形是平行四边形， ， 作于点，则， 在中， ， ， 解得， 24．（2026·江西·模拟预测）如图（1）是一景区的标语牌，将其抽象成如图（2）所示的示意图，垂直于地面，点A，B，C，E在一条直线上，四边形是正方形，，，． (1)求的度数． (2)求点M到地面的距离（结果保留整数．参考数据：）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，正方形的性质，平行线的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． （1）连接，利用正方形的性质得出，得出，利用平行线的性质即可求出角的度数； （2）连接，过点B作，过点M作，H为垂足，利用锐角三角函数逐步进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点A，B，C，E在一条直线上，四边形是正方形， ∴， ∴. 又∵， ∴， ∴. （2）解：如图，连接，过点B作，过点M作，H为垂足. ∵， ∴.     ∵在中，， ， ∴， ， ∴在中，， ∴ 答:点M到地面的距离约为． 25．（2025·山东济宁·一模）综合与实践 一天，某校九年级数学兴趣小组开展了项目式主题学习，具体如下： 项目名称 测量底部无法到达的物体高度 问题情境 某校园内有一座孔子雕像（如图1所示），雕像底座的底面是一个正方形． 九年级数学兴趣小组利用所学知识，测量这座雕像的高度（含底座的高度）．    数学建模 如图2，设雕像底座的底面是正方形，它的中心为，雕像的顶端为点，过点作底座底面（正方形）的垂线恰好经过它的中心，则线段的长即为这座雕像的高度．    测量工具 足够长的卷尺  测角仪 测量步骤 该校九年级数学兴趣小组提供了下面的测量方法，并绘制了如图3所示的测量示意图．   第一步，数学兴趣小组用卷尺测得雕像底座底面（正方形）的边长为米； 第二步，数学兴趣小组用卷尺在雕像底座底面所在平面上取一适当的点，使，此时用卷尺得点到雕像底座底面（正方形）边的距离（的长）为米； 第三步，某同学继续站在E处（表示测角仪到底座底面所在平面的距离）用测角仪测得此时雕像顶端的仰角为； 第四步，用卷尺测得米． 计算结果 根据上面的测量方法，若，，，，求的长（精确到）． 参考数据：，，． 【答案】米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形中边和角的关系求出雕像的高度．过点作于点，可知四边形是矩形，根据矩形的性质可得:米，米，在中利用的正切求出的长度，即可得到雕像的高度． 【详解】解：，， ， 点在的垂直平分线上． 点是正方形的中心， 点在的垂直平分线上， 点，，在同一条直线上， 米， （米），    过点作于点， ，， ， 四边形是矩形， 米，米， 在中，， （米）， （米）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01解直角三角形应用与特殊几何图形问题的五种模型 题型归纳 目录 题型一：解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题 ..1 题型二：解直角三角形应用与平行四边形的综合问题…。 题型三：解直角三角形应用与矩形的综合问题.17 题型四：解直角三角形应用与菱形的综合问题.25 题型五：解直角三角形应用与正方形的综合问题… ..30 题型专练 题型一：解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题 1.(25-26九年级上·吉林长春期中)如图①，这是一个绿道休息凉棚，其侧面示意图大致为图②，点C、 D、E在一条直线上，LCDG=110°，CD=6DE=3m,DG与地面平行.求点C到地面的距离（参考数据： sin70°≈0.94，c0s70°≈0.34，tan70°≈2.75). G D EF 地面 图① 图② 2.(2022安徽滁州一模)如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备厢开启侧面示意图，具体数据如图 所示（单位：Cm)且AC=BD,AF∥BE,sin/BAF=0.8,箱盖开起过程中，点A,C,F不随箱盖转 动，点B,D,E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B,D,E的位置，弹簧活塞杆CD随之伸 长CD'.己知直线BE⊥BE',CD'=2CD. B'E 图1 图2 (I)求AB的长度. 1/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求CD'的长度 3.(2025九年级全国专题练习)空间观念如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上.观测者用望远镜观 测物体时，眼晴（点A)到水平地面的距离AD=91cm,沿AB方向观测物体的仰角α=33°，望远镜前端（点 B)与眼晴之间的距离AB=153cm(结果保留小数点后一位，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84， tan33°≈0.65).求： B C D (I)点B到水平地面的距离BC的长 (2)AB在水平地面上的正投影CD的长. 4.(2025九年级下·全国专题练习)图①是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分结构几何示意图， 车架CD的长为60Cm,且CD⊥AC,LD=37°，座杆CE的长为20cm,点A,C,E在同一条直线上， ∠CAB=75°.求： 图① 图② (1)车架AC的长： (2)车座点E到车架AB的距离.（结果精确到1cm,参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75 ,sin75°≈0.97，c0s75°≈0.26，tan75°≈3.73) 5.(2025九年级全国·专题练习)图①是一款多功能折叠椅，图②是其打开时的侧面示意图（忽略材料的厚 度).支架AB,CD相交于点O,支架AB可绕点A旋转，支架CD可绕点C旋转，同时支架CD的端点C可 在椅面AQ上左右滑动，AN为桌面EF的支撑臂.HG,HM为桌面EF的托杆，点G,M分别固定在桌面和 支撑臂上，两托杆可以绕连接点H转动.现折叠椅为完全打开状态，已知AO:BO=1:2,AQ与地面BD平行， AN LA0,A0=EF=32cm,NE=CO=5cm,AB =66cm,AN 27cm. E B 图① 图② 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求两支架底端B,D之间的距离 (②)已知将折叠椅完全打开成桌子时，桌面的倾斜角（桌面与水平方向的夹角，在水平方向上方）为15°，支 架AB与椅面AQ的夹角为32°，求此时桌面左上角顶点F到地面的距离（参考数据：sinl5°≈0.26， c0s15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin32°≈0.53，c0s32°≈0.85，tan32°≈0.62). 6.(25-26九年级上·江苏常州阶段练习)2025年春节联欢晚会上，我们看到了机器人跳舞的场景，随着科 技的进步，人工智能得到了巨大的发展.如图是一款机械臂机器人，基座AB与地面垂直，基座AB=1米， 大臂BC=2米，小臂CD=3米，大臂与水平线的张角为a,小臂与大臂的张角为B，,其中30°≤a≤60°， 15°≤B≤90°（图中点线在同一个平面内）. D D D G BA4-- G A 图1 图2 图3 (I)经过实验发现，当B取最大值，且点D、B、A三点共线时（如图2），抓手D距离地面高度最大，则抓 手D距离地面的最大高度是米.（结果保留根号） (2)设抓手D到直线AB的水平距离为r. ①当a=40°，B=73°时，求r的值 ②当a=60°时，则r的最大值为_米（结果保留两位小数，参考数据：sin40°≈0.64，c0s40°≈0.77， tan40°≈0.84，sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65). 题型二：解直角三角形应用与平行四边形的综合问题 7.(2025陕西咸阳·三模)如图1，这是某红色群雕主题园内的一座雕像，将其抽象成如图2所示的示意图.已 知点E,B,C在同一条直线上，∠A=∠ADM=∠BCD=63°，AD=11.6m,B是CE的一个三等分点 (BE<BC),四边形MNGF是矩形 E G 图1 图2 (I)求证：四边形ABCD是平行四边形， (2)若FG=2.5m,求雕塑的高（点E到NG的距离）.（结果精确到0.1m,参考数据：sin63°≈0.89， c0s63°≈0.45，tan63°≈1.96) 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(2025九年级下江西·专题练习)如图(1)是一座塑像，图(2)是它正面的抽象示意图，它是由三个全 等的平行四边形组成的（部分重叠），已知水平地面PQ‖BC‖DE‖FG,∠G=115°，FG=3m,GH=6m CD=EF= BC-DE-FG 图(1) 图(2) (I)求此塑像正面抽象示意图的周长（含AN段）： (2)求此塑像的高.（结果保留1位小数）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47) 9.(24-25九年级下·全国单元测试)图①是一个书桌，将其侧面抽象成如图②所示的示意图.已知 AE∥FC,AB∥CD,M,N分别是AB,CD的中点，点F是点A的正投影，∠A=55°，AE=60cm,AB=88cm. B 图① 图② ()求桌面AE到地面FC的距离； (2)若AD=20cm,求tanE的值. (结果保留一位小数，参考数据：sin55°心0.82，cos55°≈0.57) 10.(23-24九年级下·江苏苏州阶段练习)如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示 的矩形ABCD,其中AB=3m,AD=1m,此时它与出入口OM等宽，与地面的距离A0=0.2m;当它抬 起时，变为平行四边形AB'CD,如图3所示，此时，A'B与水平方向的夹角为60°. B B 60° 图1 图2 图3 (1)求点B到地面的距离； (②)一辆高1.6m,宽1.5m的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持0.4m的安全距离，此时，汽车能否安 4/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由， 11.(2024河南平顶山一模)下图是某篮球架的侧而示意图，四边形ABCD为平行四边形.其中 BE,CD,GF为长度固定的支架，支架在A,D,G处与立柱AH连接(AH垂直于MN,垂足为H),在B, C处与篮板连接，旋转点F处的螺栓可以调节EF长度，使支架BE绕点A旋转，进而调节篮板的高度，已 知DH=209cm. B B C C 篮板 篮板 E D 伸缩臂 伸缩臂 地面 H 地面 H M M 图1 图2 (1)如图1，当LGAE=60°时，测得点C离地面的高度为289cm,求CD的长度； (2)如图2，调节伸缩臂EF,将∠GAE由60°调节为54°时，请判断点C离地面的高度是升高了还是降低了？ 并计算升（或降）的距离.（参考数据sin54°≈0.8，cos54°≈0.6，tan54°≈1.4） 12.(2025·安徽合肥三模)综合实践 在一次综合实践活动中，九年级某实践小组对如何设计平开窗的窗户限位器位置进行了探究，经历了以下 过程： 【问题背景】平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物 展示图. F D D B 【数学抽象】把上述实物图抽象成如图示意图.已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边，EF固定在 窗页底边，点B,C,D三点固定在同一直线上，推拉窗户时，点O随之移动.当窗户关闭时点E与点A重 合，DE和DB均落在AB上，此时有AB=OE+OC+CB.在点O向点B滑动过程中，四边形OCDE始终为 平行四边形，其中0E=10cm,DE=20cm,BC=26cm. 【安全规范】窗户打开一定角度后，OC与AB形成一个角LCOB.出于安全考虑，部分公共场合的平开窗 有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在30°以内（即∠C0B≤30°） 【任务1】滑撑支架中CD的长度为 cm,滑动轨道AB的长度是 cm 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【任务2】确定安装方案为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器P, 控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时∠CPB=30°，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果 保留根号) 题型三：解直角三角形应用与矩形的综合问题 13.(24-25九年级上·安微池州期末)拉杆旅行箱为人们的出行带来了极大的方便，下图是一种拉杆旅行箱 的侧面示意图，箱体ABCD可视为矩形，其中AB为50cm,BC为30cm,点A到地面的距离AE为4cm, 旅行箱与水平面AF成60°角，求箱体的最高点C到地面的距离. 14.(2025河南驻马店·三模)堆垛是一种常见的存储方式.某数学实践小组想借助所学的知识，测量一座 玉米垛（如图1）的高度，分析玉米垛的形状特点后画出如图2所示的示意图，其主视图为轴对称图形，四 边形CDGF为矩形.现测得玉米垛的顶部E到支点C的距离EC=1.95m,垛体高CF=2.3m,垛体顶角 ∠CED=114°，求玉米垛的顶部E到地面FG的距离.（结果精确到0.1m,参考数据： sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65) B 图1 图2 15.(2025九年级下·全国·专题练习)如图①所示的是某校安装的红外摄像机，图②为其抽象示意图.四边 形ABCD中，AD∥BC,LA=90°，∠D=75°，BC在直线与水平地面所成的角为15°， AB =16cm,AD =40cm B D 图① 图② (I)求BC的长； (2)若点C离地面400cm,求点A到地面的距离.（结果保留一位小数，参考数据： cos15°≈0.97，sinl5°≈0.26，tanl5°≈0.27) 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16.(2025河南许昌·二模)某数学研究小组在老师的指导下，利用课余时间测量湖中亭子的边长.已知亭 子的底座为矩形ABCD,在湖外取一点E,使得D、A、E在同一条直线上，过点E作GH⊥DE,沿EG方 向前进到点F,测得EF的长为8米，并用测角仪测得∠DFH=60.3°，∠AFE=45°，∠BFH=21.8°. (sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40) GF (I)求线段DE、DA的长： (2)求矩形ABCD的面积. 17.(24-25八年级下·吉林长春期末)如图①是一款订书机，其平面示意图如图②所示，其主体部分矩形 ABCD由支撑杆GE垂直固定于底座MN上，其中BC=3cm,GE=2cm,压杆CF=7cm,∠FCD=150°， 使用过程中矩形ABCD可以绕点E旋转. D B 图① 图② 图③ (I)订书机不使用时，如图②，AB∥MN,求压杆端点F到底座MN的距离： (②)使用过程中，当点B落在底座MN上时，如图③，测得∠GBE=15°，则压杆端点F到底座MN的高度约 为_cm.(参考数据：sinl5°≈0.26，cos15°≈0.97，结果精确到0.1cm) 18.(2025·吉林延边·模拟预测)延吉作为网红城市，吸引了很多研学团队.某中学研学团队来到了延吉民 俗园，欣赏特色朝鲜族民族建筑的同时开展了如下实践活动： 研学一：如图①，在电子测量不发达的时代，工人师傅在等腰三角形的房屋框架（即等腰三角形ABC)的顶 角顶点A处用绳子系一个重物，如果系重物的绳子正好经过底边BC中点，则说明底边横梁是水平的.这种 测量方式主要应用了等腰三角形的什么性质？（绳子系上重物，受重力影响，始终竖直向下，称为铅垂线， 铅垂线与水平线互相垂直) G--- D E D H 图① 图② 研学二：地理学称这种房顶结构为斜顶房屋，如图①，由等腰三角形ABC和矩形BCDE构成，这种设计不 仅有利于排水，还增加了内部架构的挑高（屋顶最高点到地面的垂直高度），使内部空间看起来更开阔.老 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 师鼓励同学们利用铅垂线和量角器自制测角仪，并设计测量房顶的最高挑高方案，如图②. A、M A M G 图③ 图④ (I)将量角器的圆心O点与方案中的点O重合，直径MN与线段AC在一条直线上，如图③，此时铅垂线OH 恰好过70°刻度线，如图④所示.在图③中，若0G为水平线，∠G0C= (2)经测量可知：ED=12米，CD=3.5米，如图②，过A点作AF⊥DE于点F,交线段BC于点P,求房顶 最高点A距离地面的高度（结果保留到小数点后一位）.（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94， tan20°≈0.36) 题型四：解直角三角形应用与菱形的综合问题 19.(2024吉林·二模)如图1是汽车内常备的千斤顶，图2是它的平面示意图，四边形ABCD是菱形，中 间通过螺杆BD连接，转动手柄可改变线段BD的长度，同时改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而 改变千斤顶的高度（即点A与点C之间的距离）.经测量，AD=20cm. 手柄 图1 图2 (I)当∠ADC=20°时，求AC的长（结果保留整数）. (2)∠ADC从20°增加到60°时，这个千斤顶高度升高了cm(结果保留整数).（参考数据： sin10°≈0.17，c0s10°≈0.98，tan10°≈0.18) 20.(24-25九年级下·辽宁抚顺阶段练习)某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型， 如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A,D,F,G四点始终在同一条直线上，图形 关于直线AM对称， 图1 图2 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)如图1，若B,C,D,E四点在同一条直线上，连接MF,∠AMF= (2)如图2，若菱形的边长为5cm,∠CAD=53°，求点N到点G的距离，（结果精确到0.1cm,参考数据： 0389啊060Z0w'g057s‘4E吧‘方Ls0装网 21.(22-23九年级上·广西柳州阶段练习)“新冠疫情”期间学校在校门口搭建如图1所示的遮阳棚，图2、图 3是遮阳棚支架的示意图.遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E,H可分别沿等长的 立柱AB,DC上下移动，AF=EF=FG=1m,AB=2.4m,(参考数据：2≈1.414，sin17.5°≈0.30， c0s17.5°≈0.95，tan17.5°≈0.32) 图1 图2 图3 图4 (1)若移动滑块使LAFE=90°，求棚宽BC的长（精确到0.01m). (2)在遮阳棚内安装如图4所示的红外线测温门（门高1.8m),门的顶端应与E点持平或低于E点，试问此时 ∠AFE最大为多少度？ 22.(2024江西南昌·模拟预测)图1是某折叠资料架，图2为其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF∥GH, MC∥BE∥DG∥FO,M,N,P,Q四点分别是AB,CD,EF,GH的中点(N,P两点也分别在BE和DG上)， F0⊥底座H,垂足为O,经测量，AB=CD=EF=GH=44cm,MC=NE=PG=22cm,∠GH1=48°. D P o/G HOI 图1 图2 (I)求证：四边形MBNC为菱形. (2)求折叠资料架的高（点A到底座HI的距离).（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11.结 果保留一位小数) 题型五：解直角三角形应用与正方形的综合问题 23.(2025·吉林松原·模拟预测)图①是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化 为平面图形得到图②，并测得正方形ABCD与正方形EFGH的面积相等，且AB=I00cm, 9/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD∥EF,∠CDE=140°，∠CGF=25°，求CG的长（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）. B 图① 图② 24.(2026江西模拟预测)如图(1)是一景区的标语牌，将其抽象成如图(2)所示的示意图，AB垂直于 地面，点A,B,C,E在一条直线上，四边形CDEF是正方形，MN∥DE,MN⊥BG, AB=48cm,MN 42cm,BN =56cm. G 售青花草 请勿践酷 图(1) 图(2) (1)求LABG的度数， (2)求点M到地面的距离（结果保留整数.参考数据：tan37°≈0.75，sin82°≈0.99，cos82°≈0.14，tan82°≈7.12）. 25.(2025山东济宁，一模)综合与实践 一天，某校九年级数学兴趣小组开展了项目式主题学习，具体如下： 项 月 测量底部无法到达的物体高度 名 称 某校园内有一座孔子雕像（如图1所示），雕像底座的底面是一个正方形. 九年级数学兴趣小组利用所学知识，测量这座雕像的高度（含底座的高度） 问 题 情 境 图1 数 如图2，设雕像底座的底面是正方形ABCD,它的中心为O,雕像的顶端为点P, 10/12