精品解析：山西省晋中市平遥县第二中学校2025-2026学年高一上学期1月质检数学试题

平遥二中高一年级1月质检数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（ ） A. 1或4 B. 0或4 C. 1或2 D. 0或2 3. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知函数，则的零点所在大致区间为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（，）的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 7. 关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，给出下列结论，其中正确的结论有（ ） A. B. C. D. 10. 设，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的一条对称轴 C. 在上单调递增 D. 向右平移个单位后为一个偶函数 11. 已知函数，若方程有四个不同的实数解.它们从小到大依次记为，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是奇函数,则实数的值为_____. 13. 函数在上单调递减，则的取值范围是___________． 14. 已知函数 的图象在 内恰有两条对称轴，则ω的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若角的终边过点，求； （2）若，分别求和的值． 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并给予证明； （3）求关于的不等式的解集． 18. 某太空设施计划使用30年，为了降低能源损耗，需要在其外表涂装特殊材料制作的保护层．另因技术原因，该保护层的厚度不能超过10mm，且其成本以厚度计为6万元/mm．已知此太空设施每年的能源消耗费用Q（单位：万元）与保护层厚度x（单位：mm）满足关系（p为常数），若不涂装保护层，每年能源消耗费用为10万元．设为保护层涂装成本与30年的能源消耗费用之和． （1）求p的值及的表达式； （2）当涂装保护层多厚时，总费用达到最小？并求出最小值． 19. 已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． （1）求的值； （2）求证：在R上为增函数； （3）若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平遥二中高一年级1月质检数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解两个集合中的不等式后得到对应的集合，然后进行并集的运算即可. 【详解】由，解得，所以，由，解得，所以， 因此. 故选：B. 2. 已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（ ） A. 1或4 B. 0或4 C. 1或2 D. 0或2 【答案】D 【解析】 【分析】幂函数在区间上是单调增函数，则指数为正，由此可求得，又因为，故将代入验证，为奇函数即可． 【详解】在区间上是单调增函数，， 即，又， 当时，是奇函数， 当时，是偶函数，不符合题意. 所以. 故选：D 3. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 则，解得. 故选：B 4. 已知函数，则的零点所在大致区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式求定义域并判断其单调性，再由零点存在性定理确定零点所在区间. 【详解】由解析式知，则，故函数的定义域为， 而在上均单调递增， 所以在上单调递增，而， 所以的零点所在大致区间为. 故选：C 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别次方后比较出，再结合对数函数单调性得到，从而得到答案. 【详解】因为a，c都是正数，，，所以， 因为，所以. 故选：A． 6. 已知函数（，）的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数性质确定定点，再由三角函数定义即可求解； 【详解】的图象经过定点，故 故选：D 7. 关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，利用常数代换法，结合基本不等式可得. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两根，且， 由韦达定理可得，所以，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：B 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集. 【详解】令，由题意知在上为减函数， 又为上的偶函数，所以为上的奇函数， 又在上为减函数，， 所以在上为减函数， ①当时，，即， 所以，所以，解得； ②当时，，即， 所以，所以，解得.所以或. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，给出下列结论，其中正确的结论有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意结合平方关系以及角的范围得，由此即可逐一判断每一选项. 【详解】因为，，解得或（舍去）， 所以，所以，，，故AD正确，BC错误. 故选：AD. 10. 设，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的一条对称轴 C. 在上单调递增 D. 向右平移个单位后为一个偶函数 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角函数的周期性，对称性，单调性以及图像的变换逐一验证即可. 【详解】A：由题，A正确； B：将代入得，所以不是对称轴，B错误； C：令，，解得，因为包含于解集中，所以在上单调递增，C正确； D：，所以，即平移后不是偶函数，D错误. 故选：AC 11. 已知函数，若方程有四个不同的实数解.它们从小到大依次记为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将方程的实数解个数问题转换为两个函数的交点问题，即可求出k的取值范围，并得到之间的关系，其中是方程的实数根，根据一元二次方程和韦达定理即可找到关系； 满足等式，利用对数运算即可求解范围. 【详解】当时，， 在单调递减，，在单调递增，； 当时，，在单调递减，， 在单调递增，， 若有四个不同的实数解，则，A正确； 因为，由，， 所以，B错误； ，根据韦达定理可知中，C正确； ， 所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是奇函数,则实数的值为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】由函数是奇函数可得，求出的值，再验证所求函数的奇偶性即可. 【详解】的定义域为， 且是奇函数， ， ，此时，是奇函数，符合题意，故答案为2. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性. 13. 函数在上单调递减，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据各段上的单调性和分段处函数值的大小关系可得关于的不等式组，求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，所以， 所以． 故的取值范围是. 故答案为:. 14. 已知函数 的图象在 内恰有两条对称轴，则ω的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质可得，进而即得. 【详解】因为， 所以， 因为函数的图象在 内恰有两条对称轴， 所以， 解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若角的终边过点，求； （2）若，分别求和的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得. （2）根据齐次式的知识求得正确答案. 【小问1详解】 ， 若角的终边过点，则， 所以. 【小问2详解】 若， 所以； . 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）108；（2）5；（3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可； （2）根据指数幂和对数的运算性质求解即可； （3）根据完全平方公式计算即可求解. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）由题意知， 又，所以； ，即， 所以，所以. 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并给予证明； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）奇函数，证明如下： 函数的定义域为，关于原点对称， ， ∴为奇函数； （3） 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式，列出不等式组，即可求得答案； （2）根据函数奇偶性的定义即可判断和证明； （3）讨论a的取值范围，结合函数单调性，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知函数满足，解得， 即函数的定义域为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 即， 当时，在上单调递增，有，解得； 当时，在上单调递减，有，解得； 故当时，关于的不等式的解集为； 当时，关于的不等式的解集为. 18. 某太空设施计划使用30年，为了降低能源损耗，需要在其外表涂装特殊材料制作的保护层．另因技术原因，该保护层的厚度不能超过10mm，且其成本以厚度计为6万元/mm．已知此太空设施每年的能源消耗费用Q（单位：万元）与保护层厚度x（单位：mm）满足关系（p为常数），若不涂装保护层，每年能源消耗费用为10万元．设为保护层涂装成本与30年的能源消耗费用之和． （1）求p的值及的表达式； （2）当涂装保护层多厚时，总费用达到最小？并求出最小值． 【答案】（1）， （2）涂装保护层厚度为8mm时，总费用达到最小，最小值是108万元 【解析】 【分析】（1）由题知，时，，可求出，得出，化简列出定义域即可； （2）结合换元法和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 当时，，∴，∴． ∴ ； 【小问2详解】 ， 设，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值108． 此时，的最小值为108． 即涂装保护层厚度为8mm时，总费用达到最小，最小值是108万元． 19. 已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． （1）求的值； （2）求证：在R上为增函数； （3）若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以，故，即， 故此函数为R上增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数； （3）由原不等式可化为，化为，对任意的恒成立，可得恒成立，通过对勾函数性质求解实数的取值范围 【小问1详解】 由， 故此令，则， 则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知条件得：， 故，，， ，由（2）可知在R上为增函数， ，即， 时，可得恒成立， 令， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 所以， 所以 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $