基本功专练(1)三角函数的实际应用-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）陕西专版

基本功专练（一）三 (时间：40分钟 1.(8分)如图，沿AC方向开山修路，为了加 快施工进度，要在山的另一边同时施工. 从AC上的一点B作∠ABD=140°，BD= 520m,∠D=50°，另一边开挖点E在直 线AC上，求BE的长.（结果精确到1m, 参考数据：sin50°≈0.77，c0s50°≈0.64， tan50°≈1.19) A B 1409 520m 50 2.(8分)某大桥采用H型斜拉桥结构，平面 图如图所示，测得拉索AB与水平桥面的 夹角是45°，拉索CD与水平桥面的夹角 是65°，两拉索顶端的距离AC为2m,两 拉索底端的距离BD为I0m,求立柱AH 的高.（结果精确到0.1m,参考数据： sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈ 2.14) 652 45>B 3 角函数的实际应用 满分：60分) 3.(10分)某数学兴趣小组用无人机测量小 雁塔AB的高度，测量方案如图所示.无 人机在距水平地面100m的点D处测得 小雁塔顶端A的俯角为22°，再让无人机 沿水平方向飞行41.5m到达点C,测得 小雁塔底端B的俯角为45°（点A,B,C,D 在同一平面内)，求小雁塔AB的高度. (结果精确到0.1m,参考数据：sin22°≈ 0.37,cos22°≈0.93，tan22°≈0.40) V45 22 4.(10分)如图，灯塔A周围9 n mile内有暗 礁，一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔 A在北偏西58°方向上，继续航行6 n mile 后到达C处，测得灯塔A在西北方向上.如 果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触 礁的危险？（参考数据：sin32°≈0.530， cos32°≈0.848，tan32°≈0.625) 北 十东 5.(12分)我国在公元前2世纪就制成了世 界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《准 南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高 悬，置水盆于其下，则见四邻矣.”如图①， 其工作方法主要利用了光的反射原理.在 图②中，AB呈水平状态，AE,CD为法 线，∠BCD=∠ACD=41°，∠CAE=37°， AELAB,已知AB=11√2m,求镜面上点C 到水盆A的距离.（结果精确到0.1m,参考 数据：sin82°≈0.99，cos82°≈0.14， tan82°≈7.12) 大镜。 C镜面 图① 图② 4 6.(12分)滕王阁（图①）位于江西省南昌市 东湖区沿江路，是南昌市的地标性建筑， 因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而闻名 于世.滕王阁与湖南岳阳楼、湖北黄鹤楼 并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大 名楼之一，世称“西江第一楼”.如图②，在 被誉为“西江第一楼”的滕王阁前，有一段 风景优美的斜坡AB,斜坡AB的坡度i= 1：√3，全长恰好为12m.为了计算滕王 阁的高度，游客们使用高科技测角设备， 利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖 点D处的仰角∠DBE为60°，在斜坡顶的 点A处测得塔尖点D的仰角为45° 图① 图② (1)求斜坡的高度AC; (2)求滕王阁的高度DE周测小卷答案 阶段微测试（一） 1.C2.D3C4D5.B6.B7.60°8.号 9.1 0专1解：1)原式=()+号×-+=1 2原式=号×()-9- 8 .12.解：在R△ABC 中，∠C=90°，a=10,∠A=45°，.∠B=90°-∠A=45°.，.b= a=10.∴.c=√a+b=10√2.13.解：在Rt△ABD中， ∠ABD=45°，AB=10m,.AD=BD=AB·cos∠ABD≈ 1.05m在R△AcD中，∠C-1,CD=≈27m .BC=CD-BD=l5.65≈16(m).答：改造后的斜坡式扶梯的 水平距离增加的长度BC约为16m.14.解：(1)：AD是BC 边上的高，∴.AD⊥BC.∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD 中，AD=12mB=青AB=品=15.BD √/AB-AD=9.BC=14,∴.CD=BC-BD=5.(2)在 Rt△ACD中，AD=12,CD=5,∴.AC=√AD+CD=13.:E 是AC的中点，∴DE=CE.∴.∠EDC=∠C.∴.sin∠EDC= s血C-是-号15，解：I:CDAB.∠ADC=∠BDC =902在R△BCD中，BD=6,anB=号CD=BD·mB =4.在Rt△ACD中，AD=2,∴.AC=√CD+AD=2√5. (2)过点E作EF⊥AB于点F,则∠AFE=90°.E是BC的中 点，∴BE=号BC.:CD⊥AB,EF⊥AB,∴CD∥ER.△BEF △nCD,器既既=子∴DF=BF=BD=3,EF =号CD=2.AF=AD十DF=5.在R△AFE中，AE VAF+EF=V29.∴cos∠EAB=AE=5=5V2四 AE-2丽29 基本功专练（一）三角函数的实际应用 1.解：：∠ABD=∠E+∠D,∠E=∠ABD-∠D=90°， ,在Rt△BED中，BD=520m,∠D=50°，∴BE=BD·sinD ≈400m.答：BE的长约为400m.2.解：设AH=xm,则CH =一2在R△ABH巾，∠B=5,BH==m .DH=BH-BD=(x-l0)m..在Rt△CDH中，∠CDH= 65°，.CH=DH·tan∠CDH..x-2≈2.14(x-10),解得x ≈17.0.答：立柱AH的高约为17.0m.3.解：延长BA,交 DC于点H.由题意，得BH⊥DH,BH=100m,CD=41.5m. 在Rt△BCH中，∠BCH=45,CH=, BH tan∠BC万=100m. .DH=CD+CH=141.5m.在Rt△ADH中，∠ADH= 第19页( 22°，∴.AH=DH·tan∠ADH≈56.6m..AB=BH-AH= 43.4m.答：小雁塔AB的高度约为43.4m.4.解：过点A作 AD⊥BC,交BC的延长线于点D.设AD=xn mile..由题意，得 ∠ABD=90°-58°=32°，∠ACD=90°-45°=45°，BC= 6 n mile.在Rt△ACD中，CD= tan∠ACD=n mile.在 AD R△ABD中n∠ABD-品“千≈0.625，解得=10 .AD=10 n mile..:10>9,∴.渔船不改变航线继续向西航行， 没有触礁的危险.5.解：过点A作AF⊥BC于点F,则∠AFB =∠AFC=90°.AE⊥AB,.∠EAB=90°.·∠CAE=37 ∴.∠CAB=∠EAB-∠CAE=53°.：∠BCD=∠ACD=41, .∠ACB=82°..∠B=180°-∠CAB-∠ACB=45°.在 Rt△ABF中，∠B=45°，∴.AF=AB·sinB=11m.在Rt△ACF AF 中，∠ACB=82AC=sn之ACB≈1.1m.答：镜面上点C 到水盆A的距离约为11.1m.6.解：(1)由题意，得AC⊥BC, :斜坡AB的坡度i=1:厅，C-气.：在R△ABC中， Ian∠ABC-号，∠ABC=302.在R△ABC中，n∠ABC -6-子∴AC=AB=12×专-6m.答：斜坡的商度 AC为6m.(2)过点A作AF⊥DE,垂足为点F.由题意，得AC =EF=6m,AF=CE.:在Rt△ABC中，AB=12m,∴.BC= AB·cos30°=6√3m.设BE=xm,则AF=CE=BC+BE= (x+63)m.在Rt△BED中，∠DBE=60°，.DE=BE· tan60°=W3xm.'在Rt△ADF中，∠DAF=45°，..DF= AF·tan45°=(x+65)m.DF+EF=DE,.x+6V5+6= √3x.解得x=12十65..DE=√3x=(18十12√3)m.答：滕王 阁的高度DE为(18+12√3)m. 阶段微测试（二） 1.B2.D3.A4.B5.D6.C7.-28.y1>y29.y= x2-2x-310.①②③11.解：(1)把(5,0)代入y=-x2+(k 十1)x-k,得0=-52+5(k十1)-k,解得k=5.∴.抛物线的函 数表达式为y=一x2十6x一5=-(x一3)2+4.∴.抛物线的对称 轴为直线x=3.(2)解：把(0,0)代入y=(a-1)x2+a2-2a-3, 得a-2a-3=0,解得a=3或a=-1.:函数图象开口向下， ∴a-1<0,解得a<1.a=-1.12.解：(1)把(3,0)，(4,3) 9a十3b+3=0, 1a=1, 代入y=ax2+bx+3,得 解得 二 16a+4b+3=3, b=-4. 次函数的表达式为y=x2一4x十3.(2)如图所示. (3)-1≤y313.解：(1)抛物线y= 1 -2 共24页)