专题04 圆中的重要模型之圆中的翻折模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级下册

该初中数学讲义以圆中的翻折模型为核心，通过历史演进脉络与逻辑链构建知识体系，用框架图呈现模型条件与结论，清晰梳理翻折对称、垂径定理等重难点及内在联系。 讲义亮点在于真题驱动的分层练习设计，如2025江苏无锡一模题结合翻折性质求角度，培养几何直观与推理意识。模型证明过程强化逻辑链，基础题巩固应用，综合题提升空间观念，助力教师实施精准分层教学。

专题04 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 4 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 4 11 阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后，‌折痕必垂直平分对应弦‌（即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。‌中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的‌对偶性质‌：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 ‌“弧翻折必出等腰”的定性定理‌：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 （2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． （24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 例1（2025·陕西西安·一模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ） A． B． C． D． 例2（2024九年级上·重庆专题练习）如图，将沿弦翻折过圆心，交弦于点，，则长为 ． 例3（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 例4（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图，C是以为直径的半圆O上的一点，且，将沿弦折叠交于点D，E是的中点，连接恰好经过圆心O，若，则的长为 ． 例5（2024·江苏徐州·一模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则 （弧长）． 例6（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的内接三角形，把沿着折叠交弦于点，且点为的中点，若，则下列结论错误的是（   ） A． B．点为的中点 C． D． 例7（2025·吉林·一模）【驱动背景】在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． 【前情感知】（1）如图1，连接，，的度数为 ； 【问题探究】（2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，． ①的度数为 ；猜想与的数量关系 ； ②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由． 【拓展生长】（3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长． 例8（24-25九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______；(2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）方方同学将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．若点恰为弧的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·校联考模拟预测）如图，是的直径，且，点是上一点，连接，过点作于点，将沿直线翻折．若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，是弦，沿对折劣弧，交于点D，E、F分别是和的中点，令为所在圆的圆心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东广州·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则的度数等于(    )． A． B． C． D． 6．（24-25·浙江温州·九年级校考期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（    ） A． B．9 C． D． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）若直角三角形中两直角边之比是，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是上半圆上一点，将沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若是完美三角形，则为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，D、E为圆上动点，且D、E关于AB对称，将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点处，若⊙O的周长为10，则的长为（　　） A．1 B．1.25 C．1.5 D．2 9．（2025·广西·校考一模）如图，AB是的直径，点C是上一点，将劣弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，连接CD，若，则下列式子正确的是（    ）    A． B． C． D． 10．（2024·广东佛山·一模）如图，是的直径，C，D是上的两个点，将沿弦折叠，圆弧恰好与弦，分别相切于点E，A．若，则的面积为 ．    11．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦折叠交直径于点，连接，若，，则 ． 12．（2024·广东珠海·校考一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝8，将弧AB沿弦AB翻折后恰好经过弦AC的中点D，则弦BC的长为 ，⊙O的半径为 ． 13．（2025·河南新乡·一模）如图，是的直径，，°，将沿翻折，与直径交于点，则图中阴影部分面积为    14．（24-25九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，是的弦，，将沿着折叠后恰好经过点，则的长为 ． 15．（2025·山东·校考一模）【问题背景】如图1，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． (1)【探究发现】如图1，连接，并延长交于D，连接．直接写出的度数为__________，与的数量关系为__________； (2)【深入探究】如图2，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心O，在劣弧上取一点C（不与A、B重合），连接延长交于点D，连接．猜想与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若平分，，求的长．    16．（2025·安徽·校考一模）如图，已知，是的直径，点C为圆上一点． (1)如图①，将沿弦翻折，交于D，若点D与圆心O重合，，则的半径为　 　； (2)如图②，将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E． （Ⅰ）若点E恰好是翻折后的的中点，则的度数为 　 　； （Ⅱ）如图③，连接，若，，求线段的长． 17．（24-25九年级上·陕西安康·期末）在中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，的半径r为2，则AC的长为______； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，连接BC，求证：； (3)如图3，琳琳家小区有一半径13米的圆形绿化区整个绿化区被ADC和弦AC分成3块区域（两块弓形区域和一块弯月形区域）分别种植有不同颜色的花卉，其中弓形ADC与弓形AEC关于分界线AC对称，为方便居民穿越绿化区，设计师决定从直径AB处铺设一条直直的步行走道（走道宽度忽略不计，D为交点）．为配合不同区域内花卉的颜色，AD段走道和DB段走道需分别用青色和黄色砖块铺设，若铺设一米青色地砖成本39元，铺设一米黄色地砖成本26元，由原设计图纸得知AC长度为24米，请求出铺设完AB走道所需地砖费用． 18．（2024·河北沧州·一模）如图，珍珍利用一张直径为8cm的半圆形纸片探究圆的知识，将半圆形纸片沿弦折叠． (1)如图1，为的切线，当时，求证：． (2)如图2，当时，通过计算比较与弧哪个长度更长．（π取） (3)如图3，M为的中点，为点M关于弦的对称点，当时，直接写出点与点M之间的距离约为_____cm．（结果保留两位小数，参考数据：27） 19．（23-24九年级上·河北承德·期末）如图，的直径，是弦，沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．(1)如图1，当与相切于时． ①为画出所在圆的圆心，请选择你认为正确的答案 ． 甲：在上找一点，连、并分别作它们的中垂线，交点为； 乙：分别以、为圆心，以为半径作弧，除外两弧另一个交点即为圆心． A．甲正确   B．乙正确   C．甲乙都正确       D．都不正确 ②选择合适的方法做出圆心，求的长；直接写出此时的度数． (2)如图2，当经过圆心时，求的长； (3)如图3，当覆盖圆心且与直径交于点，若，直接写出的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 4 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 4 11 阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后，‌折痕必垂直平分对应弦‌（即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。‌中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的‌对偶性质‌：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 ‌“弧翻折必出等腰”的定性定理‌：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 （2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，∵是直径，∴， ∵，∴， 根据翻折可得，，，∴， ∴．故选：C． （24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵、、所在的圆是等圆，、、所对的圆周角都是，∴， ∵点E恰好是翻折后的的中点，∴，∴， 又∵，∴，∴， 如图所示，连接，在上截取，连接，∴， ∵的度数为，∴∴， ∵，∴都是等腰直角三角形，∴， 设，则，∴， ∴，故答案为：． 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 例1（2025·陕西西安·一模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点O作，如图所示，由折叠性质可知，∴， 在中，∵，∴，∵，∴， ∵，经过圆心，∴，故选：A． 例2（2024九年级上·重庆专题练习）如图，将沿弦翻折过圆心，交弦于点，，则长为 ． 【答案】 【详解】解：如下图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵，∴，∴， ∴，∴为等边三角形， ∵，∴，∴． 例3（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作点关于直线的对称轴点，连接，，如图，  为直径，，，， 四边形是圆内接四边形，， ，，故选：A． 例4（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图，C是以为直径的半圆O上的一点，且，将沿弦折叠交于点D，E是的中点，连接恰好经过圆心O，若，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接，，作于点，由折叠的性质得，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，，∵E是的中点，∴， ∵为半圆O的直径，∴，∴， ∵恰好经过圆心O，∴，是等腰直角三角形， ∴，∴，∴，故答案为：． 例5（2024·江苏徐州·一模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则 （弧长）． 【答案】 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接， 则，∵ 的度数为，∴，∴， ∴，∴， ∴的长度为，∴ 的长度为．故答案为：． 例6（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的内接三角形，把沿着折叠交弦于点，且点为的中点，若，则下列结论错误的是（   ） A． B．点为的中点 C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形， ∵是的中点，，∴，故A选项正确， ∵，∴，故C选项正确，∴， ∵，∴，又∵，，∴是等腰直角三角形， ∴，，∴矩形是正方形，∴， 又∵，∴，∴∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，故D选项正确， 则无法证明点为的中点，故B选项错误，故选：B． 例7（2025·吉林·一模）【驱动背景】在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． 【前情感知】（1）如图1，连接，，的度数为 ； 【问题探究】（2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，． ①的度数为 ；猜想与的数量关系 ； ②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由． 【拓展生长】（3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）①；； ②成立；理由见解析；（3） 【详解】解：（1）如图，连接，交于点N，则则， ∴，故答案为：； （2）①如图2，，设翻折前点C对应的点为T，连接、， ∵折叠，∴，∵， 即， ∵四边形是的内接四边形，∴，∴， 即；故答案为：，； ②成立，理由如下：设折叠前点C的对应点为点，连接，．由折叠可知，， ∵四边形是的圆内接四边形，，∴， ∵，∴，∴； （3）补出第一次折叠后上面的弧所在圆，补出第二次折叠后从A到E到C的N所在圆， 由题意得：上述两个圆和圆O是等圆，圆O的之间， 故设圆直径均为10，半径均为5，过B作于H， 由（2）知，∴，∴，， 则，，则，， ∵，∴， ∴，即，∴， 则（负值已舍去），∴，则（负值已舍去）， 作圆的直径，则，在圆中，，则， ∵，则，则． 例8（24-25九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______；(2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；或；(2)；(3)． 【详解】（1）解：根据折叠了2次，则， 如图（1）所示，当点C在优弧上时，， 当点C在上时，，故答案为：；或．       （2）解：如图（2）所示，作交于点E，交于点D，连接，，， 由折叠可知，，， ，，， ，和是等边三角形，， ∴弓形的面积等于弓形的面积，∴扇形的面积等于扇形的面积， ∴阴影部分的面积即为的面积；，则，， ，∴阴影部分面积，故答案为：； （3）解：如图（3），连接，过点C作于H，   ， ，，， ∵E是的中点，，，， 设，则，， 是直径，，，，， ，，，则是等腰直角三角形， ，，， ， ，∴弓形，的面积相等， ∴阴影部分面积为． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示：作线段关于的对称线段，交圆于点 为圆的直径，，， 由对称轴的性质可知：，，，， 由割线定理可知：，即，解得：，，故选：C． 2．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）方方同学将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．若点恰为弧的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设圆的半径为，连接，，，，，，，，如图所示： 由题中折叠性质可知， ，， ，，， 在等腰中，，则由勾股定理可得，， 如图④所示：，．故选：． 3．（2024·安徽·校联考模拟预测）如图，是的直径，且，点是上一点，连接，过点作于点，将沿直线翻折．若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接OC，BC．可得OB=OC=4， ∵∠CAO=∠CAB，∴，∴OC=BC=OB，∴∠COB=60°，∴∠AOC=180°-60°=120°， ∵，∴∠COD=60°，∴， ∴，故选：A． 4．（2024·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，是弦，沿对折劣弧，交于点D，E、F分别是和的中点，令为所在圆的圆心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，交于点，如图所示： ∵点E、F分别是和的中点，∴∴， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵，，∴，，∴，∴， ∵折叠，∴，∴，在中，， ∴，∴；故选：A． 5．（2025·广东广州·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则的度数等于(    )． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， 是直径，，，． 根据翻折的性质，所对的圆周角为，优弧所对的圆周角为， ，， ，故选:B． 6．（24-25·浙江温州·九年级校考期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【详解】取点D在上的对应点E，连接、、、，过C点作于F点，如图， ∵四边形内接于，∴， ∵点D在上的对应点为点E，∴根据折叠的性质有：， ∵，∴， ∵，∴，∴是等腰三角形， ∵，，∴， ∵，∴，∵，∴是直角三角形， ∵，∴在中，， ∵在中，，∴， ∴，（负值舍去），故选：C． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）若直角三角形中两直角边之比是，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是上半圆上一点，将沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若是完美三角形，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作交于，连接， ∵弧是由部分沿折叠得到的，且，∴， 又∵，∴，∵是完美三角形， ∴，， 设，则，∴，∴， ∴，∴，故选：． 8．（2024·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，D、E为圆上动点，且D、E关于AB对称，将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点处，若⊙O的周长为10，则的长为（　　） A．1 B．1.25 C．1.5 D．2 【答案】B 【详解】解：连接 为圆的直径，点C为的中点， 将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点处，是的垂直平分线， D、E关于AB对称，垂直平分 设的圆心为,则与关于对称， 连接 则在上， 而 的周长为10，的半径为： 的长为： 故选B 9．（2025·广西·校考一模）如图，AB是的直径，点C是上一点，将劣弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，连接CD，若，则下列式子正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连，    ∵是的直径，∴，由折叠，和所在的圆为等圆， 又∵，∴和所对的圆周角相等， ∴，∴，在中，，故选：B． 10．（2024·广东佛山·一模）如图，是的直径，C，D是上的两个点，将沿弦折叠，圆弧恰好与弦，分别相切于点E，A．若，则的面积为 ．    【答案】 【详解】解：设所在的圆的圆心为Q，连接、、，      ∵恰好与弦，分别相切于点E，A， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，∴， ∴，∴的面积为， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦折叠交直径于点，连接，若，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示： 连接，，过C点作于E点， ∵是的直径， 由折叠知，和所在的圆为等圆， 又∵，，， ，∴， 又，，，设，则， ，，，， ，又， ，解得，，．故答案为：． 12．（2024·广东珠海·校考一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝8，将弧AB沿弦AB翻折后恰好经过弦AC的中点D，则弦BC的长为 ，⊙O的半径为 ． 【答案】 【详解】设点D关于AB的对称点为点E，连接AE，BE，BD， 则△ABD≌△ABE，BD=BE，∠BAD=∠BAE，∴BC=BE，  ∴BC=BD，∴∠C=∠BDC， ∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∴∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴， ∵D是AC的中点，AC=8，∴,∴，∴ 连接BO，过点A作AF⊥BC，则， ∴AF过圆心O，， 设圆的半径为R，则OB=R，OF=AF-AO=-R， ∵,∴，∴ 13．（2025·河南新乡·一模）如图，是的直径，，°，将沿翻折，与直径交于点，则图中阴影部分面积为    【答案】 【详解】解：如图，连接，,过点作于点，则， ∵是的直径，∴，在中，，， ∴，，， ∵，，∴是的中位线，∴， =，故答案为：．    14．（24-25九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，是的弦，，将沿着折叠后恰好经过点，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， ，由折叠得：， ，，在中，， ，解得：或（舍去），，故答案为：． 15．（2025·山东·校考一模）【问题背景】如图1，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． (1)【探究发现】如图1，连接，并延长交于D，连接．直接写出的度数为__________，与的数量关系为__________； (2)【深入探究】如图2，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心O，在劣弧上取一点C（不与A、B重合），连接延长交于点D，连接．猜想与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若平分，，求的长．    【答案】(1)；(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：如图，连接，          ∵将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． ∴，∴与都是等边三角形， ∴，∴, 由折叠的性质可知，，∴， ∵是的内接四边形，∴，∴， ∴，∴；故答案为：； （2），理由如下：设折叠前点C的对应点，连接、，如图， 由折叠可知，，∵四边形是的圆内接四边形，∴， ∵，∴，∴； （3）在（2）的条件下，，则， 延长交于点E，连接，过点B作于点F，如图， 则，在中，由勾股定理得，， ∵，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∴，设，则,∴， 在中，由勾股定理得，，即， 解得（不合题意，舍去），∴，即的长为 16．（2025·安徽·校考一模）如图，已知，是的直径，点C为圆上一点． (1)如图①，将沿弦翻折，交于D，若点D与圆心O重合，，则的半径为　 　； (2)如图②，将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E． （Ⅰ）若点E恰好是翻折后的的中点，则的度数为 　 　； （Ⅱ）如图③，连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)2(2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【详解】（1）解：如图①，过点O作，垂足为M，交圆于点N，则， ∵将沿弦翻折，交于D，点D与圆心O重合，∴， 在中，，∴， ∴，∴的半径为2，故答案为：2； （2）（Ⅰ）如图②，连接、、，∵点E恰好是翻折后的的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵是直径，∴，∴，∴，∴，故答案为：； （Ⅱ）如图③，连接连接、、， ∵，，∴，， 由（Ⅰ）知，，则， 又∵，则，∴，，∴， ∴，即，∴，∴． 17．（24-25九年级上·陕西安康·期末）在中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，的半径r为2，则AC的长为______； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，连接BC，求证：； (3)如图3，琳琳家小区有一半径13米的圆形绿化区整个绿化区被ADC和弦AC分成3块区域（两块弓形区域和一块弯月形区域）分别种植有不同颜色的花卉，其中弓形ADC与弓形AEC关于分界线AC对称，为方便居民穿越绿化区，设计师决定从直径AB处铺设一条直直的步行走道（走道宽度忽略不计，D为交点）．为配合不同区域内花卉的颜色，AD段走道和DB段走道需分别用青色和黄色砖块铺设，若铺设一米青色地砖成本39元，铺设一米黄色地砖成本26元，由原设计图纸得知AC长度为24米，请求出铺设完AB走道所需地砖费用． 【答案】(1)(2)见解析(3)铺设完AB走道所需地砖费用是914元 【详解】（1）解：如图1， 作点D关于AC的对称点E，连接DE交AC于F，∴，， ∵，∴，故答案是：； （2）证明：∵，∴，∴； （3）解：如图2， 作点O关于AC的对称点，连接，交AC于I，则与AC互相垂直平分，以为圆心，半径13作圆，作于F，连接，在中，，， ∴，∴，∵，， ∴，∴，∴，∴， 在中，，，∴，∴， ∴铺设完AB走道所需地砖费用为：39AD＋26BD＝39AD＋26（AB－AD）＝，∴铺设完AB走道所需地砖费用是914元． 18．（2024·河北沧州·一模）如图，珍珍利用一张直径为8cm的半圆形纸片探究圆的知识，将半圆形纸片沿弦折叠． (1)如图1，为的切线，当时，求证：． (2)如图2，当时，通过计算比较与弧哪个长度更长．（π取） (3)如图3，M为的中点，为点M关于弦的对称点，当时，直接写出点与点M之间的距离约为_____cm．（结果保留两位小数，参考数据：27） 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：连接，∵为的切线，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）连接，∵为直径，∴， ∵，∴，∴， 连接，则：，∴，∴； （3）连接，交于点， ∵为的中点，∴，∵为点M关于弦的对称点，∴，∴三点共线， 在中，，∴， ∵，∴，∵对称，∴；故答案为：． 19．（23-24九年级上·河北承德·期末）如图，的直径，是弦，沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．(1)如图1，当与相切于时． ①为画出所在圆的圆心，请选择你认为正确的答案 ． 甲：在上找一点，连、并分别作它们的中垂线，交点为； 乙：分别以、为圆心，以为半径作弧，除外两弧另一个交点即为圆心． A．甲正确   B．乙正确   C．甲乙都正确       D．都不正确 ②选择合适的方法做出圆心，求的长；直接写出此时的度数． (2)如图2，当经过圆心时，求的长； (3)如图3，当覆盖圆心且与直径交于点，若，直接写出的度数． 【答案】(1)①C②，(2)(3) 【详解】（1）①甲：在上找一点，连、并分别做它们的中垂线，即做的外心，故甲正确； 乙：由切线长定理可知，为切线，且，故也为的切线，易知为正方形（证明见②），故乙正确；故选：C； ②如图，连接、，∵，∴四边形为菱形， 而，∴四边形为正方形，∴，； （2）作于，交劣弧于，如图， ∵沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为，即∴， ∵，∴，在中，，， ∴，∴； （3）连接，作关于的对称轴点在上，并连接、，如图， ∵是的直径，∴，又∵，∴， 由圆内接四边形的性质得到，可得：， ∴ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $