专题2 解直角三角形应用中的基本模型-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）陕西专版

专题二解直角三角 类型1单个直角三角形 1.(2025·辽宁中考)如图，为了测量树AB的 高度，在水平地面上取一点C,在C处测得 ∠ACB=51°，BC=6m,则树AB的高约为 m.(结果精确到0.1m.参考数据： sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23) 51 2.人文关怀情境化如图，某公园入口处原有三 级台阶，每级台阶高为18cm,宽为30cm,为 方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，已知台阶 的起点为A,斜坡的终点为C.现设计斜坡BC 的坡度i=1:5,则AC的长为 cm. (单位：cm) 类型2背靠背型 3.(2025·内蒙古中考)如图，因地形原因，湖 泊两端A,B的距离不易测量，某科技小组需 要用无人机进行测量，他们将无人机上升并 飞行至距湖面90m的点C处，从点C测得 点A的俯角为60°，测得点B的俯角为30 (A,B,C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两 端A,B的距离为 m.（结果保留 根号) 60℃30° ---B 4.(2025·安徽中考)某公司为庆祝新产品上 市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造 喜庆气氛.如图，甲楼和乙楼分别用与水平 地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线 段AD表示.工作人员在点A处测得点C的 俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°.已 知AB=13.20m,求AD的长.（结果精确到 15第一章直角三角形的边角关系 形应用中的基本模型 0.1m,参考数据：sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈ 0.91,tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60， cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75) A369 23.8 B地面C 类型3子母型 5.如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上， 在B处测得点P在北偏东30°方向上.若 AB=200m,则点P到直线AB的距离CP 为 m. 北 北 60 A 6.(2025·西安碑林区期末)大雁塔是西安的 标志性建筑，也是世界文化遗产，在大雁塔 南广场有一座玄奘法师铜像.五一期间，酷 爱数学的小明和小亮来西安游玩，他俩站在 玄奘法师的铜像前，想利用数学知识测量这 座铜像的高度.于是，他们找来测量工具如 图所示进行测量.小明站在点A处，用侧倾 器测得大雁塔PQ的塔顶Q的仰角为21.3°， 接着小明向前走了4m至点C处，此时视线 正好被铜像EF挡住了大雁塔（即点D,F,Q 三点共线)，小亮测得此时小明距铜像21m. 通过手机查阅大雁塔的高度约为64m,小明 的眼睛距地面高度约1.6m,请根据以上数 据求出玄奘法师铜像EF的高度.（参考数 据：sin21.3°≈0.36，cos21.3°≈0.93， tan21.3°≈0.39) 类型4拥抱型 7.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的 仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部 D处的俯角是45°.已知甲楼的高AB是 100m,则乙楼的高CD是 m. 451 甲 ◇ 楼 ◇ 30 (第7题图) (第8题图) 类型5生活中其他角度的应用（拓展视野） 8.小明家的花洒的实景图及其侧面示意图如图 所示，花洒安装在离地面高度160cm的A 处，花洒AD的长度为20cm.已知花洒与墙 面所成的角∠BAD=120°，当花洒喷射出的水 流CD与花洒AD成90°角时，水流喷射到地 面的位置点C与墙面的距离为 cm. 9.科技创新情境化中国新能源汽车为全球应 对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡 献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区 增设了充电站，矩形PQMN充电站的平面 示意图如图所示，矩形ABCD是其中一个停 车位.经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4m, CE=1.6m,GH⊥CD,GH是另一个停车位 的宽，所有停车位的长、宽均相同，按图示并 列划定.根据以上信息解答下列问题：（结果 精确到0.1m,参考数据：√3≈1.73) (1)求PQ的长； (2)若该充电站有20个停车位，求PN的长. P D H B 提示 请完成基本功专练（一）】 数学Ⅱ九年级下册(BS)16∠ABE=14°，BE=l5 n mile,.AE=BE·tan∠ABE≈ 3.75 n mile.(1)CD=5 n mile,DE=15 n mile,.'.AC=AE +DE+CD=23.75 n mile.23.75÷10=2.375(h)= 142.5(min),从14：30经过142.5min是16：52：30，.不改变航 行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A. 6利用三角函数测高 基础过关 1.A2.A3.解：(1)由题意，得BC⊥CD.在Rt△BCD中， ∠BDC=45°，CD=26m,.∴.BC=CD·tan∠BDC=26m.答： 楼高BC为26m.(2)在Rt△ACD中，∠ADC=50°，CD= 26m,.AC=CD·tan50°≈26×1.2=31.2(m)..AB=AC BC=31.2-26≈5(m).答：旗杆的高度AB约为5m.4.解： 由题意，得CG⊥AB,CD=EF=BG=1,7m,设EG=xm. .CE=DF=5.5m,..CG=CE十EG=(x十5.5)m.在 Rt△ACG中，∠ACG=16.7°，∴.AG=CG·tan16.7°≈0.3(x+ 5.5)m.在Rt△AEG中，∠AEG=22°，.∴.AG=EG·tan22°≈ 0.4xm..0.4x=0.3(x+5.5),解得x=16.5..AG=0.4x= 6.6m..AB=AG十BG=6.6十1.7=8.3(m).答：长城第一墩 的高度AB约为8.3m. 能力提升 5.解：延长DE交AB于点F,则四边形BCDF是矩形，∴.DF= CB,∠AFD=90°，BF=CD=1.4m.在Rt△ABC中， tan∠ACB=B是，∴.BC=AB an61Ag.在Rt△AFD中 m∠ADF=∴DF=5=A≈A品 tan59° 1.66 六背=6站兰，A=18m答：贞观纪念晚的商度A0约 1.66 为18m.6.解：过点C作CG⊥AB于点G,过点D作DH⊥ AB于点H,则四边形CDHG是矩形，.GH=CD=10m,CG =DH.:∠1=45°，.CG=AG.设CG=AG=DH=xm,.在 Rt△BCG中，∠2=52°，.BG=CG·tan52°≈1.3xm.在 Rt△BDH中，∠3=65°，.BH=DH·tan65°≈2.lxm. .GH=BH-BG=2.1x-1.3x=10.解得x=12.5.∴.AB= BG+AG=1.3×12.5十12.5≈29(m).答：大楼的高度AB约为 29m. 专题二解直角三角形应用中的基本模型 1.7.42.2103.120√34.解：过点A作AE⊥CD于点E. 由题意，得四边形ABCE为矩形.所以CE=AB=13.20m. :在R△ACE中，am∠CAE-是.：AE=m正 CE 13.20 an23.g≈30.0(m).在Rt△ADE中，cos∠DAE=号， os∠DAE=cos36.g≈37.5(m).答：AD的长约为 ..AD-- AE 30.0 37.5m.5.100√56.解：连接BD交EF于点G,交PQ于点 H.由题意，得AB=CD=EG=HP=1,6m,EF⊥BG,QP⊥ BH,AC=BD=4 m,CE=DG=21 m,PQ=64 m,..QH=QP -PH=64-1.6=62.4(m).在Rt△BQH中，∠QBH=21.3°， 第3页( BH=QH,≈62,4=160(m).DH=BH-BD=160 tan21.3≈0.39 4=156(m).:EF⊥BG,QP⊥BH,.∠FGD=∠QHD=90°. :∠FG=∠QDH,△FGD△QHD.-品脚 21 =i6FG=8.4m.EF=FG+EG=8.4+1.6=10(m), 答：玄类法师铜像EF的高度约为10m.7.10038.200Y3 3 3 9.解：(1)：四边形PQMN是矩形，∴∠Q=∠P=90°.在 Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4m,AQ=AB· sin∠ABQ=275m,∠QAB=30.:四边形ABCD是矩形， 10 .AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=9O. ∴.∠CBE=180°-∠ABQ-∠ABC=30°.∴.AD=BC= CE tan∠CBE =8yEm.:∠PAD=180°-∠QAB-∠BAD= 5 60,:AP=AD.cos /PAD=3 m.PQ=AP+AQ= 5 E≈6.1(m).(2)在Rt△BCE中，BE CE 2 sin∠CBE=3,2m, 在Rt△ABQ中，BQ=AB·cos∠ABQ=2,7m.,该充电站有 20个停车位，∴.PN=QM=BQ十20BE=66.7m. 第一章章末复习 思维导图 对边邻边对边斜边邻边斜边之号怎号 19合5 2 考点整合 1B2.B3.D4.-125.56.15+3(2)60 5 2.135°8259. 7 5 10.解：(1)AE=BE=AC=10,AD ⊥C,DE=DC在R△ACD中，mC-8是=号CD= ACX16.DE-DC-6.CE-DE+DC-12. BE=AE=10,.BC=BE+CE=10+12=22.(2)在 Rt△AED中，由勾股定理，得AD=√AE一DE=√I02-6 =8.又BD=BE+DE=10+6=16,∴mB-部-是=2 11.18012.1013.解：(1)由题意，得∠CBE=60°，∠CAF= 30°，∠BDM=45°，BM⊥DM,BE∥AF∥DM,∴.∠BCM= ∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°..∠ACB=∠BCM ∠ACM=60°-30°=30°.(2)：∠CBE=60°，∴∠CBM=90° ∠CBE=90°-60°=30°.由(1)得∠ACB=30°，.∠CBM= ∠ACB=30°..AB=AC=800m.在Rt△ACM中，sin∠ACM 0os∠ACM-8器.AM=AC·sn∠ACM=80× =AM sin30°=800X2=400(m),CM=AC·cos∠ACM=800× 共24页)