第1章 直角三角形的边角关系章末复习-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）陕西专版

第一章 章末复习 【思维导图 ◆··构建知识体系 一正切：∠A的 与 的比 锐角三角函数 -正弦：∠A的 与 的比 余弦：∠A的 的比 sin30°= ,c0s30°= ,tan30°= 特殊角的三 直角三角形 角函数值 sin45°= ,c0s45°= -tan45°= 的边角关系 sin60°= ,c0s60°= ,tan60°= 解直角三角形 三角函数的应用 方向角，仰角，俯角，坡度 考点整合 ●》直击核心要点 考点1锐角三角函数 5.如图，A,B,C是正方形网格中的 1.(2025·广西中考)在Rt△ABC中，∠C 格点（小正方形的顶点），则 90°，AB=7,AC=3,则sinB的值为( sin∠ACB的值为 A B. c n.月 考点2特殊角的三角函数值及解直 角三角形 2.如图，AD是△ABC的高.若BD=2CD=4, 6.(1)计算：（π-5）°+tan60°-2sin30°+|-3= tanC=3,则△ABC的面积为 A.12 B.18 C.24 D.36 (2)在△ABC中，∠C=90°，AB=8,AC= 4√3，则∠B的度数为 7.把一块直尺与一块三角尺如图放置，若 D C (第2题图) (第3题图) sim∠1=5，则∠2的度数为 2 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ AB于点D.下列说法错误的是 ( CD A.sin B= BC B.cos B-AB E (第7题图) (第9题图) C.tan B= AD CD D.cos B= CD AD 8.在△ABC中，∠C=90°，tanA=2,则sinA 4.(易错题)如图，点P在反比例 的值为 函数y=(<0)的图象上， 9.(2025·西安莲湖区期未)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AC于 PH⊥x轴于点H.若OP= 5,sin∠POH= ，则的值为 点E.若ian∠DEA=青，BC=6,则CE的长 为 17第一章直角三角形的边角关系 10.如图，在△ABC中，AD⊥BC,BE=AE=13.(2025·长沙中考)如图，某景区内两条互 AC-10.cos C 相垂直的道路a,b交于点M,景点A,B在 道路a上，景点C在道路b上.为了进一步 (1)求BC的长； 提升景区品质，景区管委会在道路b上又开 (2)求tanB的值. 发了风景优美的景点D.经测得景点C位 于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A 的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的 南偏西45°方向上.已知AB=800m. (1)求∠ACB的度数： (2)求景点C与景点D之间的距离.（结果 保留根号) 北 十东45布 60° a B 考点3解直角三角形的实际应用 11.(2025·武汉中考)某科技小组用无人机测 量一池塘水面两端A,B的距离，具体过程 如下：如图，将无人机垂直上升至距水面 120m的P处，测得A处的俯角为45°，B 处的俯角为22°，则A,B之间的距离是 m.(tan22°取0.4) D22 C 120m 冒 永面B D (第11题图) (第12题图) 12.(2025·西安长安区期未)如图，某校教学 楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平 地(BC∥AD),斜坡AB的长为26m,坡度 为12：5.为了防止山体滑坡，学校决定对 该斜坡进行改造.若改造时保持坡脚A不 动，则坡顶B沿BC至少应向右移大约 m.（当坡角不超过50°时可确保山 体不滑坡，tan50°≈1.19，结果保留整数) 数学Ⅱ九年级下册(BS)18 【聚焦课标 ·，强化情境任务 14.项目学习新趋势陕西泾阳崇文塔始建于明代，有着深厚的历史文化底蕴，结构坚固，造型精 美，是我国古代建筑艺术的杰出代表.某校数学学习小组成员小泽和小雅合作开展了测量崇 文塔高度的项目活动 活动名称 测量崇文塔的高度 测量工具 测倾器、平面镜、皮尺 如图，小泽在塔底的水平线FB上的点B处安装测倾器AB,测出塔顶端G的仰角；小雅在水 平线FB上的，点E处放置了一个平面镜，当她后退至点D时，恰好在平面镜中看到塔顶端G. 图示及测 量方案 440° DE 点B,D,E,F在同一条水平线上，AB⊥BF,CD⊥BF,GF⊥BF,平面镜用点E表示（大小忽略 测量说明 不计) 测倾器AB高1m,测得塔顶端G的仰角为40°，小雅和测倾器之间的距离BD=58.2m,她的 测量数据 眼睛距地面的高度CD=1.6m,平面镜放置的位置到她的距离DE=0.8m(参考数据： sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84) 请根据以上信息求崇文塔的高度GF.(结果精确到1m) 19第一章直角三角形的边角关系∠ABE=14°，BE=l5 n mile,.AE=BE·tan∠ABE≈ 3.75 n mile.(1)CD=5 n mile,DE=15 n mile,.'.AC=AE +DE+CD=23.75 n mile.23.75÷10=2.375(h)= 142.5(min),从14：30经过142.5min是16：52：30，.不改变航 行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A. 6利用三角函数测高 基础过关 1.A2.A3.解：(1)由题意，得BC⊥CD.在Rt△BCD中， ∠BDC=45°，CD=26m,.∴.BC=CD·tan∠BDC=26m.答： 楼高BC为26m.(2)在Rt△ACD中，∠ADC=50°，CD= 26m,.AC=CD·tan50°≈26×1.2=31.2(m)..AB=AC BC=31.2-26≈5(m).答：旗杆的高度AB约为5m.4.解： 由题意，得CG⊥AB,CD=EF=BG=1,7m,设EG=xm. .CE=DF=5.5m,..CG=CE十EG=(x十5.5)m.在 Rt△ACG中，∠ACG=16.7°，∴.AG=CG·tan16.7°≈0.3(x+ 5.5)m.在Rt△AEG中，∠AEG=22°，.∴.AG=EG·tan22°≈ 0.4xm..0.4x=0.3(x+5.5),解得x=16.5..AG=0.4x= 6.6m..AB=AG十BG=6.6十1.7=8.3(m).答：长城第一墩 的高度AB约为8.3m. 能力提升 5.解：延长DE交AB于点F,则四边形BCDF是矩形，∴.DF= CB,∠AFD=90°，BF=CD=1.4m.在Rt△ABC中， tan∠ACB=B是，∴.BC=AB an61Ag.在Rt△AFD中 m∠ADF=∴DF=5=A≈A品 tan59° 1.66 六背=6站兰，A=18m答：贞观纪念晚的商度A0约 1.66 为18m.6.解：过点C作CG⊥AB于点G,过点D作DH⊥ AB于点H,则四边形CDHG是矩形，.GH=CD=10m,CG =DH.:∠1=45°，.CG=AG.设CG=AG=DH=xm,.在 Rt△BCG中，∠2=52°，.BG=CG·tan52°≈1.3xm.在 Rt△BDH中，∠3=65°，.BH=DH·tan65°≈2.lxm. .GH=BH-BG=2.1x-1.3x=10.解得x=12.5.∴.AB= BG+AG=1.3×12.5十12.5≈29(m).答：大楼的高度AB约为 29m. 专题二解直角三角形应用中的基本模型 1.7.42.2103.120√34.解：过点A作AE⊥CD于点E. 由题意，得四边形ABCE为矩形.所以CE=AB=13.20m. :在R△ACE中，am∠CAE-是.：AE=m正 CE 13.20 an23.g≈30.0(m).在Rt△ADE中，cos∠DAE=号， os∠DAE=cos36.g≈37.5(m).答：AD的长约为 ..AD-- AE 30.0 37.5m.5.100√56.解：连接BD交EF于点G,交PQ于点 H.由题意，得AB=CD=EG=HP=1,6m,EF⊥BG,QP⊥ BH,AC=BD=4 m,CE=DG=21 m,PQ=64 m,..QH=QP -PH=64-1.6=62.4(m).在Rt△BQH中，∠QBH=21.3°， 第3页( BH=QH,≈62,4=160(m).DH=BH-BD=160 tan21.3≈0.39 4=156(m).:EF⊥BG,QP⊥BH,.∠FGD=∠QHD=90°. :∠FG=∠QDH,△FGD△QHD.-品脚 21 =i6FG=8.4m.EF=FG+EG=8.4+1.6=10(m), 答：玄类法师铜像EF的高度约为10m.7.10038.200Y3 3 3 9.解：(1)：四边形PQMN是矩形，∴∠Q=∠P=90°.在 Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4m,AQ=AB· sin∠ABQ=275m,∠QAB=30.:四边形ABCD是矩形， 10 .AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=9O. ∴.∠CBE=180°-∠ABQ-∠ABC=30°.∴.AD=BC= CE tan∠CBE =8yEm.:∠PAD=180°-∠QAB-∠BAD= 5 60,:AP=AD.cos /PAD=3 m.PQ=AP+AQ= 5 E≈6.1(m).(2)在Rt△BCE中，BE CE 2 sin∠CBE=3,2m, 在Rt△ABQ中，BQ=AB·cos∠ABQ=2,7m.,该充电站有 20个停车位，∴.PN=QM=BQ十20BE=66.7m. 第一章章末复习 思维导图 对边邻边对边斜边邻边斜边之号怎号 19合5 2 考点整合 1B2.B3.D4.-125.56.15+3(2)60 5 2.135°8259. 7 5 10.解：(1)AE=BE=AC=10,AD ⊥C,DE=DC在R△ACD中，mC-8是=号CD= ACX16.DE-DC-6.CE-DE+DC-12. BE=AE=10,.BC=BE+CE=10+12=22.(2)在 Rt△AED中，由勾股定理，得AD=√AE一DE=√I02-6 =8.又BD=BE+DE=10+6=16,∴mB-部-是=2 11.18012.1013.解：(1)由题意，得∠CBE=60°，∠CAF= 30°，∠BDM=45°，BM⊥DM,BE∥AF∥DM,∴.∠BCM= ∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°..∠ACB=∠BCM ∠ACM=60°-30°=30°.(2)：∠CBE=60°，∴∠CBM=90° ∠CBE=90°-60°=30°.由(1)得∠ACB=30°，.∠CBM= ∠ACB=30°..AB=AC=800m.在Rt△ACM中，sin∠ACM 0os∠ACM-8器.AM=AC·sn∠ACM=80× =AM sin30°=800X2=400(m),CM=AC·cos∠ACM=800× 共24页) cos30°=800X5=400V5(m.:.BM=BA+AM=800+400 2 =1200(m).∠BDM=45°，BM⊥DM,∴.DM=BM= 1200m..DC=DM-CM=1200-400√3(m).答：景点C与 景点D之间的距离为(1200一400√3)m. 聚焦课标 14.解：过点A作AH⊥FG于点H.'AB⊥BF,GF⊥BF,CD ⊥BF,∴.∠ABF=∠BFG=∠AHF=∠CDE=90°..FH= AB=1 m,AH=BF=BD+DE+EF=58.2+0.8+EF=(59 十EF)m.由题意，得∠GEF=∠CED.又'∠BFG=∠CDE= 90△GFEn△cDE,∴第-需即-5EF cR”∠GAH=40,m∠GAH=器=S-. GF1≈0.84.GF≈87m.答：崇文塔的高度GF约为 59+2GF 87m. 第二章二次函数 1二次函数 基础过关 1.A2.C【变式题】B3.y=-3x2+4x-7-34-7 4.C5.y=-2x2+8x6 能力提升 6.C7.B8.解：(1)由题意，得e=(300十20x)(60-40-x) =-20x2十100x十6000.(2)0≤x≤20(3)当x=5时，w=- 20×52十100×5十6000=6000..当每个商品降价5元时，商 场可获得利润6000元. 2二次函数的图象与性质 第1课时二次函数y=x2和y=一x2的图象与性质 基础过关 1.D2.B3.C4.D5.(1)-9(2)减小(3)(3,9) (-3,-9)(-3,9)(4)CB,D6.解：(1)-1(2)由 (1),得y=一x2,函数图象如图所示 顶 y2345x 点坐标为(0,0)，对称轴为y轴.7.解：·线段AB⊥y轴，且 AB=6,函数y=x2的图象关于y轴对称，∴.点B到y轴的距 离为3，.点B的横坐标为3.将x=3代入y=x,得y=9. .点B的坐标为(3,9).8.D 能力提升 9.D10.B11.212.解：(1)把点(2，n)代入抛物线y= -x2,得n=-4.把点(2，-4)代入直线y=3x十m,得m= -10.(2)存在.令3x-10=-x2,解得x1=-5,x2=2.当x= -5时，y=-(-5)2=-25..存在另一个交点，这个点的坐标 第4页( 为(-5，-25).13.解：(1)由题意，得y=x2(x>0),画出图象 如图所示。 (2)当y=1时，x=1.(3)当x≥2 时，y≥4. 思维拓展 14.解：(1)(2,4)(-2,4)(2)，四边形CDFE是正方形， ∴.CD=CE.设点C的横坐标为a,AB⊥y轴，∴.根据抛物线 的对称性，易得CE=CD=2a.CE⊥x轴，∴.点E的坐标为 (a,4-2a).点E在抛物线y=x2上，.a2=4-2a,解得a= -1-√/5（舍）或a=-1+十√5..CD=2a=-2+25. 第2课时二次函数y=ax2和y=ax2十c的图象与性质 基础过关 1.C2.C3.B4.C5.C6.D7.解：(1)当x=2时，y= 宁×4+8=4点2，)在该丽数的图象上.(2当=0时，丽 数有最小值3.(3)<8.y=3x2-29.下3 能力提升 10.A11.D12.D13.a>b>c>d14.解：(1)将A(-1,6) 代入y=ax2,得6=a×(-1)2,解得a=6.(2)由(1)知抛物线L 的函数表达式为y=6x2.将抛物线L向上平移2个单位长度得 到抛物线L'的函数表达式为y=6x2十2.点P(,n)为抛物 线L'上一点，.n=6m2十2.-1≤m<2,.当m=0时，n有 最小值2；当m=2时，n=6×2十2=26..当-1≤m<2时n 的取值范围是2≤n<26. 思维拓展 15.解：(1)x为任意实数 ②③如图所示. (3)B(4)a<b -10 第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 基础过关 1.B2.D3.B4.C5.解：(1)由题意，得h=-2,则y= a(x+2).把1，-3)代入，得-3=a1十2)，解得a=-子 “该抛物线的函数表达式为=一子(x十2)，开口向下.(2)> 6.D7.y=-2(x十4)28.解：(1)抛物线y=a(x十b)2的 对称轴为直线x=-2,∴.b=2.:抛物线y=a(x十b)2与抛物 线y=5x2的形状、开口方向相同，∴a=5.∴.该抛物线的函数 表达式为y=5(x十2).(2)当x>-2时，y随x的增大而增 大.(3)将抛物线y=5(x十2)向右平移2个单位长度可得到 抛物线y=5.x2.9.a≤3 共24页)