6.3一元一次方程的应用讲义2025-2026学年鲁教版（五四制）数学六年级下册

六年级寒假预习讲义-一元一次方程解析版 第三节 一元一次方程的应用 【考点梳理】 考点一 列一元一次方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系； ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为）； ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系； ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程； ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值； ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）。 考点二 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1、行程问题：路程=速度×时间 2、顺水逆水问题：顺水速度=船速水速；逆水速度=船速水速 3、和差倍分问题：增长量=原有量增长率 4、利润问题：商品利润=商品售价商品进价 5、工程问题：工作量=工作效率工作时间，各部分劳动量之和=总量 6、银行存贷款问题：本息和=本金利息，利息=本金利率期数 7、数字问题：多位数的表示方法：例如： 【重点题型】 题型一： 一元一次方程的应用之古代问题 【典例1】《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 【答案】小和尚有人，大和尚有人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设小和尚有人，则大和尚有人，根据个馒头列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小和尚有人，则大和尚有人， 由题意得，， 解得， （人）， 答：小和尚有人，大和尚有人． 【变式1-1】《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车． 【答案】有人，辆车． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设共有辆车，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设共有辆车， 根据题意得，， 解得， ∴人， 答：有人，辆车． 【变式1-2】《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 【答案】岁 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解． 【详解】解：设丢番图的年龄是岁， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：丢番图这一生的年龄是岁． 【变式1-3】文化情境·数学文化中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系并列出方程是解题的关键． 本题包含的等量关系为总人数不变，故可设有辆车，根据总人数列方程即可． 【详解】解：设有辆车． 每 3 人乘一车，剩余 2 辆车， 总人数为； 每 2 人乘一车，剩余 9 人无车， 总人数为； ． 故选：． 【变式1-4】我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设梨有x个，根据“每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完”，列方程即可得到答案． 【详解】解：设梨有x个， 根据题意可得：， 故选：A． 题型二： 一元一次方程的应用之销售问题 【典例2】在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． （1）第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ （2）在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值． 【答案】（1）购买绿龟挂件的单价为元，则绿龟玩偶的单价为元 （2） 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设购买绿龟挂件的单价为元，则绿龟玩偶的单价为元，然后可得方程，进而求解即可； （2）由（1）及题意易得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，然后可得方程，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设购买绿龟挂件的单价为元，则绿龟玩偶的单价为元，由题意得： 解得：； ∴绿龟玩偶的单价为元； 答：购买绿龟挂件的单价为元，则绿龟玩偶的单价为元． （2）解：由（1）及题意得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，则有： 解得：． 【变式2-1】某超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价/（元/件） 售价/（元/件） （1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品降价销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙商品的售价是多少？ 【答案】（1）购进甲商品件，购进乙商品件 （2）第二次乙商品的售价为元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，商品的打折销售问题，掌握利用一元一次方程解决商品的打折销售问题是解题的关键． （1）设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件，利用第一次购进甲、乙两种商品的总价为元，可得，再解方程可得结论； （2）设第二次购进乙种商品是按原价打折销售，可得：，解方程后可得答案． 【详解】（1）设购进甲商品件，则购进乙商品件， ， 解得：， ∴， ∴购进甲商品件，购进乙商品件． （2）第二次购进甲商品件， 第二次购进乙商品（件）， 第一次利润为（元） 设第二次乙商品售价为元， ， 解得： 第二次乙商品的售价为元． 【变式2-2】我校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个元，请认真阅读结账时老板与小明的对话． 老板 如果你再多买一个，就可以打八五折，花费比现在还省元 小明 那就多买一个吧，谢谢！ (1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计元，那么小明购买钢笔多少支？ 【答案】(1)小明原计划购买文具袋个 (2)小明购买钢笔支 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设小明原计划购买文具袋x个，则原计划的费用为元，实际费用为元，根据实际比原计划节省元建立方程求解即可； （2）设小明购买钢笔m支，则购买签字笔支，根据打八折后的总费用为元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设小明原计划购买文具袋x个， 由题意得，， 解得， 答：小明原计划购买文具袋个； （2）解：设小明购买钢笔m支，则购买签字笔支， 由题意得，， 解得， 答：小明购买钢笔支； 【变式2-3】十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销，两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，10月份，两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售，两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份，两种品牌的空气净化器各售出多少个？ (2)根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌个．“双十一”超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与无关，则的值应该为多少？ 【答案】(1)A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个； (2)的值为560 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，整式加减中的无关型问题，正确理解题意是解题的关键． （1）设A品牌的空气净化器售出个，则B品牌的空气净化器售出个，根据销售，两种品牌的空气净化器的利润相同建立方程求解即可； （2）根据利润等于实际售价减去进价后乘以销售量分别求出A、B两个品牌的利润，二者求和求出总利润，再根据总利润与的值无关列式求解即可． 【详解】（1）解：设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个； （2）解：由题意得，总利润为 ， ∵全部售出所获得的利润与无关， ∴， ∴， 答：的值应该为560． 题型三： 一元一次方程的应用之方案问题 【典例3】某游乐园有如表三种购票方式： 种类 购票方式 一次性使用门票，每张15元 年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票 年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票 （1）某游客一年中进入该游乐园共有次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含的代数式表示） （2）某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明． （3）已知甲、乙、丙三人分别按三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 【答案】（1）种购票方式：元；种购票方式：元；种购票方式：元． （2）选择种购买方式比较优惠 （3）元． 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据表格给出的购票方式即可求解； （2）将分别代入（1）中所得代数式即可求解； （3）设他们一年中进入该游乐园的次数为，根据甲所花的费用与乙所花费用相等列方程求出，再利用C种购票方式的费用即可求出丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 【详解】（1）解：种购票方式：元； 种购票方式：元； 种购票方式：元． （2）解：选择种购买方式比较优惠，理由如下： 当时，元；元． 而， 所以，选择种购买方式比较优惠． （3）解：设他们一年中进入该游乐园的次数为，根据题意得， 解之得，． ∴（元）， 答：丙在这一年中进入该游乐园所花的费用为元． 【变式3-1】某服装批发商促销一种裤子和恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件恤； 方案二：裤子和恤都按定价的付款． 现某客户要购买裤子30件，恤件（）： （1）按方案一，购买裤子和恤共需付款__________________（用含的式子表示）； （2）计算一下，购买多少件恤时，两种优惠方案付款一样？ （3）若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？ 【答案】(1) (2)购买90件恤时，两种优惠方案付款一样 (3)能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件恤，共需付款3400元 【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解． （1）根据题意“买一件裤子送一件T恤”，列出代数式即可； （2）根据“两种优惠方案付款一样”，列方程求解即可得出答案； （3）先用方案一购买裤子30件，送恤30件，再用方案二购买10件恤． 【详解】（1）解：根据题意得， 故按方案一，购买裤子和恤共需付款； （2）按方案一，购买裤子和恤共需付款， 根据题意得，， 解得， 答：购买90件恤时，两种优惠方案付款一样； （3）能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件恤，共需付款 （元）， 共需付款3400元． 【变式3-2】运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 【答案】(1)方案一：（元），方案二：（元） (2)方案二便宜 (3)时，两种方案的费用相同 【分析】本题考查列代数式、代数式求值、整式的加减应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）根据两种优惠方案结合实际费用等于数量×单价列出代数式即可； （2）将、值分别代入（1）中代数式中求解，进而比较大小做出判断即可； （3）将代入（1）中得到关于的代数式，得到关于的方程，解方程求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： 方案一：（元）， 方案二：（元）； （2）解：当，时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ， 方案二便宜； （3）解：当时，方案一：（元），方案二：（元）， ∵当时，两种方案的费用相同， ∴， 解得：， 时，两种方案的费用相同. 【变式3-3】国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张元 学生：按成人票五折优惠 团体票（人以上含人）：按成人票6折优惠 大人门票是每张元，学生门票是5折优惠，我们一共人，共需元 爸爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的个家长共人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)学生人数为4人，成人人数为8人 (2)购团体票更省钱，理由见解析 (3)买人的团体票，再买4张学生票 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设成人人数为人，则学生人数为人，由题中所给的票价单可得出关于的一元一次方程，解此方程即可得出成人与学生各有多少人数； （2）已知购个人票的价钱，再算出购团体票的价钱，哪个更低哪个就更省钱； （3）由第二问可知购团体票要比购个人票便宜，再算出购张团体票和4张学生票的价钱与全部购团体票的价钱比较，即可得最省的购票方案． 【详解】（1）解：设成人人数为x人，则学生人数为人，则： 由题中所给的票价单可得：， 解得， 学生人数为人，成人人数为8人， 答：学生人数为4人，成人人数为8人． （2）解：如果买团体票，按人计算，共需费用： 元， ， ∴购团体票更省钱． （3）解：需要分三种情况， ①若成人和学生分开买票，费用：（元）， ②若购买团体票，费用：（元）， ③人全部买团体票，费用：（元）， ∵， 最省的购票方案为：买人的团体票，再买4张学生票． 题型四： 一元一次方程的应用之配套问题 【典例4】甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 【答案】100套 【分析】根据题干，一个月按30天计算，由此可以分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，由题干分析可得可知：乙厂生产椅子的效益高，那么我们尽量的让乙厂多生产椅子，由甲厂来生产桌子，为了使生产的桌椅正好配套，所以乙生产足够数量的椅子后就转生产桌子，这里可以设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套，由此即可列出方程解决问题．根据题干分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，找出它们各自擅长的工作，进行合理安排，即可解决问题，本题考查了一元一次方程的配套问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：甲厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 乙厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套． 根据题意可得方程： ， ， ， ； （套）， （套）， 答：现在两厂每月比过去可多生产课桌椅100套． 【变式4-1】某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 【答案】应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．设应分配人生产甲种零件，人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件16个，可列方程求解． 【详解】解：设应分配人生产甲种零件，则应分配人生产甲种零件，由题意得： ， 解得， （人． 答：应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 【变式4-2】糕点店中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装2块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉． （1）若制作若干盒月饼共用了面粉，则制作了多少盒月饼？ （2）公司决定向该糕点厂定制月饼礼盒，该糕点厂给出的团购价格如下： 购买的数量（盒） 不超过60或刚好60 超过60 每盒单价（元） 200 180 若公司决定给45名员工和名客户各订购一盒月饼作为福利，用含的式子表示购买月饼的费用． 【答案】(1)制作了1200盒月饼． (2)当时，则购买月饼的费用为元：当时，则购买月饼的费用为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列出代数式与方程是解此题的关键． （1）设制作了盒月饼，根据“制作若干盒月饼共用了面粉”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）分两种情况：当时，当时，分别列出代数式即可． 【详解】（1）解：设制作了盒月饼． 根据题意得， 解得． 答：制作了1200盒月饼． （2）解：当时，则购买月饼的费用为元： 当时，则购买月饼的费用为元． 【变式4-3】某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有85名工人，平均每人每天可以加工桌面8个或桌腿10条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，该车间应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 【答案】应安排25人生产桌面，安排60人生产桌腿才能使每天生产的桌面与桌腿刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用. 设安排人生产桌面，则安排人生产桌腿，根据题意列方程求解即可. 【详解】解：设安排人生产桌面，则安排人生产桌腿， 根据题意，得， 解得， 则． 答：应安排25人生产桌面，安排60人生产桌腿才能使每天生产的桌面与桌腿刚好配套． 【变式4-4】某车间有19名工人，每人每天可以生产1200个产品或2000个产品．2个A产品与3个产品配成一套，为使每天生产的产品与产品刚好配套，应安排生产产品与产品的工人各多少名？ 【答案】应安排生产产品10名，生产产品9名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用等知识﹒设应安排x名工人生产产品，则安排名工人生产产品﹒根据“每天生产的产品与产品刚好配套”列方程，解方程即可求解﹒ 【详解】解：设应安排名工人生产产品，则安排名工人生产产品﹒ 由题意得， 解得， ﹒ 答：应安排生产产品工人10名，生产产品工人9名﹒ 【变式4-5】2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将实践三十号，，星发射升空．随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，车间内共有25名工人，车间内每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件和2个部件组成一个模型，为使每天生产的部件和部件刚好配套组成模型，应该安排生产部件和部件的工人各多少名？ 【答案】 安排生产部件的工人10名，生产部件的工人15名。 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用（配套问题），解题的关键是根据“1个部件配2个部件”的配套关系，建立部件数量是部件数量2倍的等量关系． 设生产部件的工人数，用总人数表示生产部件的工人数；分别表示出、部件的日产量，根据配套关系列方程求解． 【详解】解：设安排生产部件的工人为名，则生产部件的工人为名． 每日生产部件个，生产部件个． 由配套关系得：， ， ， ∴． 则． 答：应安排生产部件的工人10名，生产部件的工人15名． 题型五： 一元一次方程的应用之工程问题 【典例5】甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元． （1）在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？ （2）现两人合作了这项工程的，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？ 【答案】(1)在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程 (2)调走甲更合适 【分析】本题考查了一元一次方程的应用－工程问题． （1）设甲乙合作需要x天完成，建立方程求出合作时间，再与15进行比较可以得出结论； （2）先求出完成需要的时间，再求出完成剩余工作量所用的时间及完成剩余工作量的工作效率，然后与甲、乙独自完成这项工作的工作效率进行比较，可以求出结论． 【详解】（1）解：设甲、乙两人合作完成此项工程需天． 则，解得． 因为， 所以在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程； （2）解：设两人合作天完成工程的． 则 解得． 若调走甲，则乙还需（天）； 若调走乙，侧甲还需（天）． 因为（天）天， （天）天， 所以调走甲更合适． 【变式5-1】一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． （1）甲队还需多少天才能完成这项工程？ （2）若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 【答案】(1)4天 (2)36000元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，根据题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设这项工程为“1”，设甲队还需天才能完成这项工程，根据“两队的工程和等于1”列方程求解即可． （2）根据两队完成的天数和各自的报酬求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程为“1”，根据题意，甲队、乙队的工作效率分别为，， 设甲队还需x天才能完成这项工程， 根据题意，得， 解得， 答：甲队还需4天才能完成这项工程； （2）解： （元）， 答： 完成这项工程共需支付两队36000元． 【变式5-2】哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． （1）甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ （2）已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 【答案】(1)天 (2)元 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）根据甲车队每天的租金元，比乙车队少元，计算求解即可； 【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾． （2）解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天， ， 答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元． 【变式5-3】某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． (1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） (2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 【答案】(1)0.6小时 (2)不会影响按时发卷 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以求出乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间，然后再与比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：设甲乙两台印刷机同时印刷，共需要小时才能印完， ， 解得，， 即甲乙两台印刷机同时印刷，共需要小时才能印完； （2）解：乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间为：， ∵， ∴乙机单独完成剩下的印刷任务，不会影响按时发卷考试． 【变式5-4】一项工程，如果甲队单独完成需要12天，乙队单独完成所需的时间比甲队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲队先做7天，剩余部分再由甲乙两队合作，求完成这项工程需要多少天？ (3)原计划由乙队单独完成这项工程，乙队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两队合作完成．若甲队工作的天数是乙队工作天数的，乙队单独施工一天需工程款0.2万元，乙队每天工程款比甲队每天工程款的少0.01万元，求完成这项工程共需支付多少元工程款？（注：甲、乙两队施工过程中工作效率始终不变） 【答案】(1)18天 (2)10天 (3)4.32万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）由乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多，可求出乙队单独完成这项工程所需的天数； （2）设完成这项工程需要天，根据甲工程队完成的工程量乙工程队完成的工程量总工程量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设乙工程队工作的天数为天，则甲工程队工作的天数为，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量=总工程量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出y的值，设甲工程队每天施工费为万元，则乙工程队每天施工费为万元，根据乙队单独施工一天需工程款0.2万元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得：（天），所以乙队单独完成这项工程需要18天． （2）解：设完成这项工程需要天， 依题意，得：， 解得：， 答：完成这项工程需要10天． （3）解：设乙工程队工作的天数为天，则甲工程队工作的天数为天， 依题意，得：，解得， 所以， 设甲工程队每天施工费为万元，则乙工程队每天施工费为万元， 依题意，得：， 解得：， ∴完成这项工程共需支付工程款（万元）． 题型六： 一元一次方程的应用之行程问题 【典例6】小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？ 【答案】经过分钟以后小明，小杰第一次相遇 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分钟以后小明，小杰第一次相遇，根据题意，列出方程，求出，即可求解． 【详解】解：设分钟以后小明，小杰第一次相遇， 由题意可得，， 解得， 答：经过分钟以后小明，小杰第一次相遇． 【变式6-1】甲站和乙站相距，一列慢车从甲站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为． （1）若两车相向而行，慢车先开，快车开出多少小时后两车相遇？ （2）若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距？ （3）若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距（快车在慢车的后面）？ 【答案】(1)快车开出后两车相遇 (2)后两车相距 (3)后两车相距 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一问的速度和路程列出关于时间的方程式并求解是解题的关键． （1）设快车开出后两车相遇，根据两车行驶路程和为，列出方程式即可解题； （2）设后两车相距，两车行驶路程和再加上甲站和乙站的距离为，列出方程式即可解题； （3）设后两车相距，根据快车所走的路程比慢车所走的路程多，即可列出方程式，即可解题． 【详解】（1）解：设快车开出后两车相遇． ． 由题意，得， 解得． 答：快车开出后两车相遇． （2）解：设后两车相距． 由题意，得， 解得． 答：后两车相距． （3）解：设后两车相距． 由题意，得， 解得． 答：后两车相距． 【变式6-2】已知在数轴上点表示的数为，在点左侧，且两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点从点向右运动，速度为每秒个单位，同时出发，设运动时间为秒． （1）数轴上点表示的数是______；当点运动到的中点时，它所表示的数是______． （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求： ①当点和点运动多少秒时，点和点第一次相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)，1 (2)①秒；②秒或秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程． （1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可； （2）①根据相遇问题的等量关系，利用动点的运动距离加上动点的运动距离等于，两点间的距离，列方程即可求解； ②根据点与点相遇前和相遇后之间的距离为6个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【详解】（1）解∶∵数轴上点表示的数为8，在点左侧，且，两点间的距离为14． ∴点表示的数为， 当点运动到的中点时，它所表示的数是， 故答案为∶，1； （2）解∶①点和点运动t秒时，点和点第一次相遇， 则， 解得， 即点和点运动秒时，点和点第一次相遇； ②设点运动t秒 根据题意得： 当点与点相遇前，点与点距离6个单位长度时，则， 解得； 当点与点相遇后，点与点距离6个单位长度时，则， 解得， ∴当点运动秒或秒时，点与点间的距离为6个单位长度． 【变式6-3】甲、乙两地相距480千米，、两车分别从甲乙两地开出，车每小时行驶72千米，车每小时行驶48千米． (1)若两车同时相向而行，求两车出发后几小时两车相遇？ (2)若、两车同向而行，车在前，车在后，车先行2小时，求车出发几小时后两车相距24千米？ 【答案】(1)两车出发后4小时两车相遇 (2)车出发13小时或15小时后两车相距24千米 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设两车出发后小时两车相遇．根据甲、乙两地相距480千米列出方程，解方程即可； （2）设车出发小时后两车相距24千米．分两种情况列出方程，分别解方程即可． 【详解】（1）解：设两车出发后小时两车相遇． 则   解得： 答：两车出发后4小时两车相遇． （2）解：设车出发小时后两车相距24千米． ①相遇前相距千米，则   解得：（小时） ②相遇后相距千米，则   解得：（小时） 答：车出发13小时或15小时后两车相距24千米． 【变式6-4】某自行车队进行训练，训练时所有队员都以的速度前进，突然，号队员以的速度独自前进，行进一段路程后又调转车头，仍以的速度往回骑，直到与其他队员汇合，号队员从离队开始到与其他队员重新汇合共行进了分钟，问号队员掉转车头时离队的距离是多少千米? 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设号队员独自前进时，调转车头前行进的时间为小时，根据题意列式后，求解出的值后再进行检验，再计算1号队员掉头时与车队的距离即可． 【详解】解：设号队员独自前进时，调转车头前行进的时间为小时， 根据题意得，， 解得：， 经检验，符合题意， ∴号队员调转车头时离车队的距离是． 题型七： 一元一次方程的应用之数字问题 【典例7】一个两位数，十位数字是个位数字的倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是，原两位数是________． 【答案】63 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 根据题意得：， 解得：， ， 原两位数是63． 故答案为：63． 【变式7-1】将奇数至按照顺序排成下表： 记表示第行第个数，如表示第行第个数是． （1）__________； （2）将表格中的个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的个数之和能否等于．若能，求出个数中的最大数；若不能，请说明理由； （3）用、的式子表示__________； （4）若，求、的值． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) (4)， 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数字的变化类、列代数式， （1）根据题意可知表示第行第个数，每行都有个数，所有的数字都是奇数，然后即可计算出相应的值； （2）先判断，然后设个阴影格子中的数分别为、、、，即可列出相应的方程，然后求解即可说明理由； （3）根据表格中的数据和发现，可以用含、的代数式表示出． （4）根据题意，可以得到，然后、为整数，，即可得到、的值； 解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，找出等量关系，列出相应的方程． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）所覆盖的个数之和不能等于． 理由：设个阴影格子中的数分别为、、、， 由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴所覆盖的个数之和不能等于； （3）由题意可得， ， 故答案为：； （4）∵， ∴， ∴， ∵、为整数，， ∴，． 【变式7-2】把从1开始的连续的奇数1，3，5，…，2021，2025排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列，…． (1)①数阵中排在第6行第1列的数是______； ②数阵中共有______个数，2025在数阵中排在第______列； ③数阵中排在第行第5列的数可用表示为______． (2)按如图所示的方式，用一个“▱”形框框住四个数，设被框住的四个数中最小的数为，是否存在这样的，使得被框住的四个数的和为1308？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②，；③ (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）①由每行有8个数，可求出第6行第1列的数是第41个数，结合数列是从1开始的连续奇数，即可求出结论； ②利用数阵中数的个数，可求出数阵中数的个数，结合每行有8个数，即得出2025在数阵中排在第127行第5列； ③由每行有8个数，可求出数阵中排在第行第5列的数是第个数，结合数列是从1开始的连续奇数，即可求出结论； （2）假设存在，设被框的四个数中最小的数为，则另外三个数分别为，，，根据被框住的四个数的和为1308，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合该数在第8列，可得出假设不成立，即不存在这样的，使得被框住的四个数的和为 【详解】（1）解：①数阵中排在第6行第1列的数是第个数， 该数为 故答案为：81； ②数阵中共有个数， ，， 在数阵中排在第127行第5列． 故答案为：1013，5； ③数阵中排在第行第5列的数是第个数， 数阵中排在第行第5列的数可用表示为 故答案为：； （2）不存在这样的，使得被框住的四个数的和为1308，理由如下： 假设存在，设被框的四个数中最小的数为，则另外三个数分别为，，， 根据题意得：， 解得：， ，， 在数阵中排在第20行第8列，不符合题意， 假设不成立， 即不存在这样的，使得被框住的四个数的和为 【变式7-3】将连续的自然数按下图方式排成一个长方形，框出一个“V”形阵列，若将“V”形阵列上下左右移动，可框出另外五个数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 …… 995 996 997 998 999 1000 1001 (1)如果设其中最大的数为，可用代数式表示“V”形阵列中5个数之和； (2)要使框出的5个数之和等于2023，这是否可能？试说明理由． 【答案】(1) (2)不可能；理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据题目中数字规律，列出代数式； （2）根据题意得出，求出，再求出在第59行第7列，即可求出结果． 【详解】（1）解：设“V”形阵列中最大的数为， 则其它四个数分别为：，，，， 则“V”形阵列中五个数的和可表示为： ； （2）解：当， 解得：， ，所以，“V”形阵列中最大的数413在第59行第7列，则右上角两个数超出了表格范围， 由此可得，框出的这5个数之和不可能是2023． 【变式7-4】如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，∵，∴是“快乐数”；又如：四位数，∵，∴不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了数字问题（一元一次方程的应用），新定义下的实数运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据“快乐数”的定义，对于四位数，有，，，代入条件建立方程求解． 【详解】解：由题意，得， 即， 整理得， 解得：． 经检验，数字1、5、3、8互不相等且均不为0，符合条件． 故答案为：3． 题型八： 一元一次方程的应用之比赛问题 【典例8】“办学互助”是萧红中学办学特色之一．七年班的第一组名同学，自行组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是名同学的得分情况： 参赛者 答对题数 20 19 18 14 10 答错题数 0 1 2 6 10 得分 100 94 88 64 40 （1）由表格知，答对一题得________分，答错一题得________分； （2）第名同学得了分，请你帮他算一算，答对了几道题？ 【答案】(1)5， (2)17 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用； （1）根据表格中参赛者的成绩和参赛者的成绩即可求出每答对一道题得分和每答错一道题扣分； （2）设答对了道题，则答错了道题，根据题意列一元一次方程即可求出结论． 【详解】（1）解：由表格中参赛者的成绩可知：每答对一道题得分， 由表格中参赛者的成绩可知：每答错一道题扣分， 故答案为：5，； （2）解：设答对了道题，则答错了道题， 根据题意，得， 解得， 答：答对了17道题． 【变式8-1】在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 【答案】九（1）班获胜7场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设九（1）班获胜场，则平场，根据九（1）班开局11场共积25分，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设九（1）班获胜场，则平场， 根据题意得：， 解得：． 答：九（1）班获胜7场． 【变式8-2】某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 18 2 88 64 10 10 40 （1）参赛者说他错了个题，得分为分，请你判断可能吗？并说明理由： （2）参赛者答对了几道题？请你通过计算说明． 【答案】(1)不可能，详见解析 (2)14 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意发现答对一道得5分、答错一道扣1分成为解答本题的关键． （1）由参赛者可得答对1题得5分，设答错1题扣分，，然后根据题意列方程求解即可； （2）根据共作答20道，可补全参赛者、D；设参赛者答对题，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）不可能， ∵参赛者答对20题答错0题得100分， ∴答对1题得5分， 设答错1题扣分， 由参赛者的得分可得，． 解得， ∴答错1题扣1分 ∴参赛者说他错了10个题，不可能得50分； （2）∵共有20题，参赛者答错2题， ∴答对18题， ∵参赛者答对10题， ∴答错10题， 设参赛者答对题， 由题意得，， 解得． 故参赛者答对14题． 【变式8-3】阳光体育季，赛场展风采．七年级组织迎新拔河比赛，每班代表队都需比赛10场，如表是此次拔河比赛积分榜的部分信息，请解决下列问题： 积分榜 班次 比赛场次 胜场 负场 积分 5班 10 10 0 30 4班 10 24 6班 10 0 10 10 1班 10 3班 10 2班 10 (1)由积分榜可知，胜一场得______分，负一场得______分； (2)已知积分榜中4班的积分是24分，求4班胜了几场比赛． 【答案】(1)3；1 (2)4班胜了7场比赛 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）先由6班的胜和负场情况，得出负一场得1分，接着由5班的胜和负场情况，胜一场得3分，即可作答； （2）设4班胜了场比赛，则负了场，根据积分24分，列出方程，解方程，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，负一场得分：（分）； 胜一场得分：（分）； 故答案为：3；1； （2）解：设4班胜了场比赛，则负了场比赛，根据题意得： ， 解得：， 答：4班胜了7场比赛． 【变式8-4】一次篮球比赛共17轮（即每队均赛17场），胜一场记4分，平一场记0分，负一场记分，某中学篮球队获胜的场数是负场数的3倍，结果共得33分，则该中学篮球队平的场数是______场． 【答案】5 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设负场数为x场，则胜场数为场，平场数为场，根据得分规则，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设负场数为x场，则胜场数为场，平场数为场，由题意，得 ，解得， ∴（场）； 故答案为：5． 【变式8-5】12月4日为全国法制宣传日，学校组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答错或不答均扣分，下表记录了其中2名参赛学生的得分情况． 参赛者 答对题数 答错或不答题数 得分 小王 20 0 100 小李 16 4 72 根据以上信息，请你解答下列问题： (1)答对一题得___________分，答错一题或不答得___________分； (2)若参赛学生小刘得了65分，他答对了几道题？ 【答案】(1)5， (2)15 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据小王答对20道题得100分可求出答对一道题的得分，再根据小李的答题情况可求出答错一题得的分数； （2）设他答对了x道题，则答错或不答道题，根据总得分为65分建立方程求解即可． 【详解】（1）解：分， ∴答对一题得5分； 分， ∴答错一题或不答得分； （2）解：设他答对了x道题，则答错或不答道题， 由题意得，， 解得， 答：他答对了15道题． 题型九： 一元一次方程的应用之几何问题 【典例9】如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．若设点运动的时间是，若的面积等于．那么值是（） A． B． C．或 D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积公式的运用以及一元一次方程的应用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键，同时要注意分类讨论．分当点在上时，当点在上时，两种情况讨论，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：，点是的中点， ， ①如图1，当点在上，， ，的面积等于， ， 解得：； ②如图2，当点在上时，， ， ， 解得：t； 综上所述，值是或， 故选：C． 【变式9-1】如图，张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为米，则长方形展板的面积是________平方米． 【答案】130 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，先第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米，根据长方形展板上下对边相等，列出相应的方程，从而可以求得x的值，然后即可计算出展板的长和宽，再根据长方形的面积长宽，代入数据计算即可． 【详解】解：设第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米， 根据长方形展板上下对边相等，得， 解得， 展板的长是（米） ，展板的宽是（米）， 长方形展板的面积是（平方米）． 故答案为：130． 【变式9-2】综合与实践 某中学的劳动实践基地“校园农场”给每班都划分了小菜园，由班级负责管理． 如何设计班级菜地？ 素材1 如图是一个长，宽的长方形菜园．中间种植区域（阴影部分）是长方形，且长是宽的2倍，四周过道的宽度相等． 素材2 如图，为了实现班上6个小组种植区域均匀分配，现将种植区域分割成6块大小相等的长方形菜地（图中阴影部分），相邻两块菜地的间距相等． 素材3 上图中每块菜地的长比宽多． 问题解决 任务1 分析数量关系 （1）设过道宽度为，用含x的代数式表示种植区域的长与宽． 任务2 确定过道宽度 （2）求过道宽度． 任务3 确定每块菜地的大小 （3）求每块菜地的长与宽． 【答案】任务1：长为，宽为；任务2：过道宽度为；任务3：每块菜地的长为，宽为 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，能根据题意表示出种植区域的长与宽及每块菜地的长与宽是解题的关键． 任务1：根据题意用含的代数式表示出种植区域的长和宽即可． 任务2：根据种植区域的长是宽的2倍建立方程即可解决问题． 任务3：设菜地与菜地之间的间距为，根据每块菜地的长比宽多建立方程，求出即可解决问题． 【详解】解：任务1：因为过道宽度为， 所以种植区域的长为，宽为． 任务2：因为种植区域的长是宽的2倍， 所以， 解得， 答：过道宽度为． 任务3：由任务2知， 种植区域的长为，宽为． 设菜地与菜地之间的间距为， 则， 解得， 所以，， 答：每块菜地的长为，宽为． 【变式9-3】对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 ．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为． (1) 设“边的宽”为， 则天头长为 ， 地头长为 ．（用含x的式子表示） (2)若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长． 【答案】(1) (2)边的宽为，天头长为 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确地列出方程是解题的关键： （1）根据宽为天头长与地头长的和的，得到和为，再根据天头长与地头长的比是，即可得出结果； （2）根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵“边的宽”为，宽为天头长与地头长的和的， ∴天头长与地头长的和为， ∵天头长与地头长的比是， ∴天头长为，地头长为， 故答案为：，， （2）设“边的宽”为，由（1）可知：天头长为，地头长为，由题意，得， 解得， ∴， 答：边的宽为，天头长为． 【变式9-4】如图，是将一个大长方形平均分成上下两个长方形，再将上面这个长方形平均分成两份，将下面这个长方形平均分成三份，若图中阴影部分的面积为，求这个大长方形的面积．（列方程解答） 【答案】这个大长方形的面积是． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设这个大长方形的面积是，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个大长方形的面积是， ， 解得：． 答：这个大长方形的面积是． 题型十： 一元一次方程的应用之分段计费问题 【典例10】某市出租车收费标准是：起步价元，可乘；到时，超过的部分按的标准收费；超过时，超过的部分按的标准收费．（不足的按计算） （1）若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； （2）若某人乘坐了（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为___________； （3）若某人乘坐出租车共花了元，问出租车行驶了多少公里？ 【答案】(1)元 (2)元 (3) 【分析】本题主要考查列代数式及求代数式的值，理解题意，列出相应代数式是解题关键． （1）首先起步价覆盖前，费用为10元．剩余的在到的范围内，按元收费，即元．然后相加即可得出答案 （2）对于（的整数）千米的路程：起步价覆盖前，费用为10元．接下来的按元收费，即元．超过的部分按2元收费，即元．然后相加即可 （3）首先扣除起步价和到的费用，剩余的费用为超过的部分产生的，按2元计算，即可解答． 【详解】（1）， ； 故答案为：元 （2）解： ， 故答案为：元． （3）解：设出租车行驶了公里，根据题意得； 元， ， ， ， ， ， 答：共行驶了6公里． 【变式10-1】我市某小区居民使用自来水年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 （1）某户月份用了的水，求该户月份应缴纳的水费；（用含的式子表示） （2）设某户月用水量为，当，时，该户应缴纳的水费为多少元？（用含的式子表示） （3）当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费．（可用含的式子表示） 【答案】(1)元 (2)元 (3)当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元 【分析】(1) 根据费用=，列式计算即可． (2)根据题意，得，费用=，得出的结论． (3) 分和，两种情况计算即可． 本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，当时，每费用为 元，当时，每费用为元， 故本月总费用为：（元）． 故该用户4月份应缴纳的水费为元． （2）解：根据题意，得，， 故不超过12的部分费用为：（元）； 超过12但不超过20的部分费用为：（元）； 超过20的部分费用为：（元）， 故该户应缴纳的水费为： (元)． 答：应交电费元． （3）解：根据题意，得，且元， 根据题意，得甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水， 故； 当时，甲户用水量超过12但不超过20，乙户用水量不少于12但少于20， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： （元）． 当时，甲的用水量超过20乙的用水量不超过12， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： 元． 综上所述，当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元． 【变式10-2】为鼓励居民节约用电，某市实行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量/（千瓦·时） 执行电价/[元/（千瓦·时）] 第一档 小于或等于240 0.5 第二档 大于240且小于或等于400时，超出240的部分 0.6 第三档 大于400时，超出400的部分 0.8 某户居民6月、7月共用电520千瓦·时，用电费用为268元．已知该用户7月的用电量大于6月的用电量，且6月、7月的用电量均小于400千瓦·时．那么该用户6月、7月的用电量分别是多少千瓦·时？ 【答案】6月用电200千瓦·时，7月用电320千瓦·时 【分析】本题考查一元一次方程的应用，由题意，6月份在第一档消费，7月份在第二档消费．设6月份用电x千瓦·时，则7月份用电千瓦·时．构建方程求解． 【详解】解：∵已知6、7月总用电量520千瓦·时，7月用电量月，且两月用电量均千瓦·时， ∴6月用电量千瓦·时（因为），7月用电量千瓦·时， 设6月份用电千瓦·时，则7月份用电千瓦·时． ①当时，根据题意得： ， 解得， 则7月份用电量：（千瓦·时）． ②当时，根据题意得： ， 整理后得：（不合题意，此情况不成立） 答：该用户6月份用电200千瓦·时，则7月份用电320千瓦·时． 【变式10-3】为节约用水，政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过立方米 超过立方米且不超过立方米的部分 a 超过30立方米的部分 (1)若小明家今年2月份用水量是立方米，则小明2月份应交的水费______元（用含a的代数式表示）． (2)在（1）的条件下，若小明今年2月份缴费元，请列方程求出上表中a值． (3)在（2）的条件下，若小明家3月份用水量增大，他家3月份的用水量是b立方米，共缴费元，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是解题的关键． （1）因为立方米超过立方米但不超过立方米，按两部分计算出水费值即可； （2）由缴费元，可列方程，解出该方程即可； （3）由（2）中的结果计算立方米的水费，以此判断缴费元属于第几个阶梯，再列方程求解． 【详解】（1）解：∵立方米超过立方米但不超过立方米， 故水费为元． （2）由（1）中可得方程， 解得． （3）当用水量为30立方米时，可得对应水费为（元）， ∵， 故实际用水量超过立方米，处于第三级阶梯， 可得方程， 解得． 【变式10-4】某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为元，请用含的代数式表示； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 【答案】(1)267，1698 (2) (3)甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为，乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为 【分析】本题主要考查代数式的运用，理解数量关系正确列式计算即可求解． （1）根据题意，结合表格分别按照不同阶梯的计费方式，列式求解即可； （2）根据阶梯收费方式列出数量关系即可； （3）根据题意，当甲户用气量为时，得到，结合（2）的计算即可求出甲户的情况；根据乙户的人口得到阶梯收费的计算方法，当乙用户用气量达到时，得到，由此得到乙户在第二阶梯，根据其收费方式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴按第一阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， ∵， ∴按第二阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， 故答案为： （2）解：一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元， ∴按照第三阶梯收费， ∴ ， ∴该年此户需缴纳燃气费用为元； （3）解：甲户家庭人口为3人， ∴收费方式将按照表格提供的阶段收费方法计算， 当甲户用气量为时，， ∴甲户用气量达到第三阶梯， ∴结合（2）得，， 解得，， ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为， 乙户家庭人口为5人， ∴收费方式为：超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、， ∴该户第一阶梯为：，元， 第二阶梯为：，元， 第三阶梯为：以上的部分，元， ∴当乙户用气量达到时，， ∴乙户用气量达到第二阶梯， ∴设乙户用气量为， ∴， 解得，， ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为． 课后练习 【基础训练】 1、如图，这是某超市电子表的价格标签，一导购员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮助算一算，该电子表的原价是（   ） 　 A．15.36元 B．19.6元 C．20元 D．24元 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解．设该电子表的原价为元，根据现价＝原价×折扣率，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该电子表的原价为元， 依题意，得： ， 解得：． 故选：D． 2、在排成每行七天的日历表中取下一个方块，若所有个日期数之和为，则最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设最中间的数为，则它数分别为，，，，，，，，根据题意列出方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设最中间的数为，则它数分别为，，，，，，，， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴最大的数是， 故选：． 3、一艘轮船从港顺流行驶到港，比从港返回港少用小时．若船速为千米/时，水速为千米/时，求港和港相距多少千米．设港和港相距千米．根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 顺流行驶的速度为（千米时），逆流行驶的速度为：（千米时）．根据“轮船沿江从港顺流行驶到港，比从港返回港少用3小时”，得出等量关系：轮船从港顺流行驶到港所用的时间它从港返回港的时间小时，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题意，可列出的方程是：． 故选：D． 4、检修一台机器，甲、乙两组单独检修分别需小时、小时完成，如果甲组先检修小时，然后两组合作，还需几小时才能完成这台机器的检修任务？设两组合作还需小时才能完成这台机器的检修任务，根据题意列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据甲单独完成的工作量+甲、乙合作完成的工作量，列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 5、甲、乙两个旅行团共人，甲团人数比乙团人数的倍多人．甲、乙两个旅行团各有多少人？若设乙旅行团的人数是人，则可列一元一次方程为_____________________．（方程不需要化简） 【答案】 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，用含x的式子表示相关的量，再根据甲乙两团的人数之间的关系列方程即可． 【详解】解：设乙旅行团的人数是人， 根据甲、乙两个旅行团共80人，可得甲团人数为：， 根据甲团人数比乙团人数的2倍多5人，可得甲团人数为：， 所以可列一元一次方程为 故答案为：． 6、袁隆平，“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，“中国杂交水稻之父”，一生致力于对水稻的研究．现有两块试验田各亩，块试验田种植普通水稻，块试验田种植杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的倍，两块试验田单次共收获水稻千克，求杂交水稻的亩产量是多少千克？ 【答案】杂交水稻的亩产量是千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设普通水稻的亩产量是千克，则杂交水稻的亩产量是千克，根据两块试验田单次共收获水稻56100千克，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设普通水稻的亩产量是千克，则杂交水稻的亩产量是千克， 根据题意得：， 即， 解得：， ∴． 答：杂交水稻的亩产量是千克． 7、自上海迪士尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配一副手套．如果某车间有名工人，每人一天平均能生产手套个或米老鼠玩具个．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 【答案】应分配16名工人生产手套，则12名工人生产玩具． 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题，得到手套和米老鼠玩具的等量关系是解决本题的关键． 设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设应分配名工人生产手套，则名工人生产玩具， 根据题意得，， 解得， ∴（名）， ∴应分配16名工人生产手套，则12名工人生产玩具． 8、《孙子算经》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？译文为：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺．问：木头多长？（一尺等于十寸） 【答案】6.5尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据拉直后绳子还多四尺五寸，将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设木头长尺， 根据题意，得， 解得， 答：木头长6.5尺． 9、一只电子蚂蚁以的速度从地爬往地，规定沿方向爬行为向前，沿方向爬行为向后，已知这只电子蚂蚁第一次向前爬行，第二次向后爬行，第三次向前爬行，第四次向后爬行…… （1）第次爬行后，电子蚂蚁距离地多远？第次爬行后呢？ （2）若两地相距，求电子蚂蚁爬到地需要的时间． 【答案】(1)第10次爬行后，电子蚂蚁距离地5m；第次爬行后，电子蚂蚁距离地或 (2)或 【分析】（1）根据正负数的意义，向左爬行用负数表示，向右爬行用正数表示，列式计算即可； （2）根据（1）中结论，分当是奇数与是偶数时两种情况解答． 【详解】（1）解：第10次爬行后电子蚂蚁距离地：， m； 第次爬行后电子蚂蚁距离地m， 当为奇数时，=， 当为偶数时，=， 综上，第次爬行后，电子蚂蚁距离地或； （2）解：当时，解得， 此时电子蚂蚁爬到地需要的时间为 当时，解得， 此时电子蚂蚁爬到地需要的时间为， 综上，若，两地相距50，求电子蚂蚁爬到地需要或 【点睛】本题考查了数轴的知识，有理数的混合运算，仔细研读题目，找准规律是解题的关键． 10、某市招标建设一段无桥梁的高速公路路基，现有两家公司竞标这项工程．若公司每天能修建路基，公司每天能修建路基，若单独修建这段路基，公司比公司要多用天，在修建路基过程中，该市要付公司每天费用万元，付公司每天费用万元． （1）求这段高速公路路基一共有多少千米？ （2）若先由两家公司合作一段时间后，公司停工了，公司单独完成剩余部分．且公司的全部工作时间是公司的工作时间的倍少天，求公司共修建多少天？ （3）现设置三个方案：方案一：由公司单独完成；方案二：由公司单独完成；方案三：按（2）的方式完成；你认为该市选择哪一种方案最省钱，并说明理由． 【答案】(1)千米 (2)天 (3)方案一，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）设这段高速公路路基一共有千米，根据单独修建这段路基，公司比公司要多用10天，列出方程进行求解即可； （2）设公司共修建了天，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）分别求出三种方案所需费用，进行判断即可． 【详解】（1）解：设这段高速公路路基一共有千米，由题意，得：， 解得：； 答：这段高速公路路基一共有10千米； （2）设公司共修建了天，则公司共修建了天，则： ， 解得：， ∴； 答：公司共修建8天； （3）方案一最省钱，理由如下： 公司单独修建需要：（万元）； 公司单独修建需要：（万元）； 按照（2）中方案需要：（万元）； ∵， ∴方案一最省钱． 【巩固训练】 1、《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？设共有个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键； 根据“鸡的价钱人数；鸡的价钱人数”即可列出方程； 【详解】解：共有个人共同出钱买鸡， 根据题意，则有； 故选：C 2、如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第个至第个台阶上依次标着，，，，且任意相邻四个台阶上数的和都相等，则从下到上前第个台阶上数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法，一元一次方程，解题的关键是理解题意．根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得：前个台阶上数的和是， 任意相邻四个台阶上数的和都相等，从下到上前第个台阶上数， ， 解得：， 则第个台阶上的数是； 故选：A． 3、有一饮料瓶如图，其容积为，现在它里面装一些饮料，正放时饮料高度为，若将饮料瓶倒立时，空余部分的高度为，则瓶内现有饮料为______．    【答案】24 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设饮料瓶瓶底的面积为，根据瓶内饮料的体积不变，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设饮料瓶瓶底的面积为，依题意得： ， 解得：， ∴． 即瓶内现有饮料24． 故答案为：24． 4、社会劳动情境·加工生产 某服装厂加工车间有工人人，每人每天可以加工上衣件或裤子条，为使每天生产的上衣和裤子配套，应分配_______人生产上衣，_______人生产裤子． 【答案】 30 24 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．设安排人生产上衣，人生产裤子，根据每天生产的上衣和裤子配套列方程求解即可． 【详解】解：设安排人生产上衣，人生产裤子， 根据题意，得， 解得， 则（人）． 故答案为：30，24． 5、（列一元一次方程解决问题）甲、乙两个车站相距，一列货车从甲站开出，每小时行驶，一列客车从乙站开出，每小时行驶． （1）两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？ （2）货车从甲站开出后，客车从乙站开出，两车同向行驶，客车开出几小时后两车相距？ 【答案】(1)两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇； (2)两车同向行驶，客车开出小时或小时后两车相距 【分析】本题考查一元一次方程的应用； （1）设两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇，可得，即可解得答案； （2）设客车开出小时后两车相距，根据题意得：或，即可解得答案． 【详解】（1）解：设两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇， 根据题意得：，解得；， ∴两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇； （2）设客车开出小时后两车相距， 根据题意得：或， 解得或， ∴两车同向行驶，客车开出小时或小时后两车相距． 6、观察下列三列数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…；③ （1）第①行第个数是 第②行第个数是________； （2）第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ （3）若在每行取第个数，这三个数的和正好为，求的值． 【答案】(1)； (2)第②行中的数是第①行中相应的数；第③行中的数是第①行中相应的数 (3)50 【分析】本题主要考查了数字规律，一元一次方程的应用，解题的关键是找出数字规律． （1）根据第①和②行规律进行解答即可；（2）根据给出的数字，得出规律进行解答即可； （3）设所选第一行的数为x，则第二行的数为，第三行的数为，根据题意列出方程进行解答即可． 【详解】（1）解：根据规律可得，第①行第10个数是； 第②行第10个数是； （2）解：第②行中的数是第①行中相应的数；第③行中的数是第①行中相应的数； （3）解：设所选第一行的数为x，则第二行的数为，第三行的数为，根据题意得： ，解得：， 令，解得：． 7、酒泉市消费品以旧换新政策开展以来，各县市积极响应，出台配套措施，补贴优惠加速落地，居民消费获得了实实在在的优惠．为了更好地落实以旧换新政策，某地方政府决定：凡居民购买家电和摩托车享受政府的补贴（凭购物发票到当地财政部门按领取补贴）．居民王大爷家购买了一台电视机和一辆摩托车共花去元，且该辆摩托车的单价比所买电视机的单价的倍还多元． （1）王大爷可以到财政部门领到的补贴是多少元？ （2）求王大爷家所买的摩托车与电视机的单价各是多少元？ 【答案】(1)王大爷可以到财政部门领到的补贴是780元 (2)王大爷家所买的摩托车的单价是4200元，电视机的单价是1800元 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用； （1）由总价乘以优惠的百分率即可得到答案； （2）设王大爷家所买的电视机的单价是元，则摩托车的单价，根据购买了一台电视机和一辆摩托车共花去6000元，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：王大爷可以到财政部门领到的补贴是780元． （2）解：设王大爷家所买的电视机的单价是元，则摩托车的单价， 根据题意列方程得：， 解得：， ， 答：王大爷家所买的摩托车的单价是4200元，电视机的单价是1800元． 8、制作一张桌子要用个桌面和条桌腿，木材可制作个桌面，或者制作条桌腿．现有木材用来制作桌子． （1）设用木材用来制作桌面，剩余的木材用来制作桌腿，可制作桌面_____个，制作桌腿______个； （2）最多可以制作多少张桌子？ （3）由人制作这些桌子需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起合作，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人工作？ 【答案】(1)， (2)最多可以制作200张桌子 (3)应先安排2人工作 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）根据木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿列式即可； （2）设用木材用来制作桌面，根据制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿列方程求解； （3）设先安排y人工作，根据完成的工作量完成的工作量列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵一共木材，设用木材用来制作桌面，剩余的木材用来制作桌腿， ∴用木材用来制作桌腿， ∴可制作桌面个，制作桌腿个． 故答案为：，． （2）解：设用木材用来制作桌面． 根据题意，得． 解这个方程，得． ∴．      答：最多可以制作200张桌子． （3）解：设先安排人工作． 根据题意，得． 解这个方程，得． 答：应先安排2人工作． 9、数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离表示为．如：点表示的数为，点表示的数为，则． （1）问题提出：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，两点之间的距离______． （2）拓展探究：若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发．以每秒个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒（） ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为______；点表示的数为______； ②求当为何值时，两点相遇，并求出相遇点所表示的数． （3）类比延伸：在（2）的条件下，如果两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，那么再经过多长时间两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【答案】(1)15 (2)①；②当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7 (3)所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示的数． （1）由A表示的数为，点B表示的数为13，即得； （2）①t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为； ②根据题意得：，即可解得，相遇点所表示的数为； （3）由已知返回途中，P表示的数是，Q表示的数是，即得： ，可解得，第二次相遇点所表示的数为：． 【详解】（1）解：∵A表示的数为，点B表示的数为13， ∴； （2）①t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为； ②根据题意得：， 解得， 相遇点所表示的数为；                               答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7． （3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A， 返回途中，P表示的数是，Q表示的数是， 根据题意得：， 解得， 第二次相遇点所表示的数为：， 答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1． 10、水果批发市场批发丰水梨的价格如表： 购买丰水梨（千克） 单价 不超过千克的部分 元/千克 超过千克但不超过千克的部分 元/千克 超过千克的部分 元/千克 （1）若陈阿姨第一次购买丰水梨千克，需要付费______元； 第二次购买丰水梨千克，需要付费______元； 第三次购买丰水梨千克（超过千克），需要付费______元（化简结果用含的式子表示）． （2）若陈阿姨购买丰水梨花了元，求她买了多少千克的丰水梨？ （3）若陈阿姨分两次共购买千克的丰水梨，一共支付了元，且第一次购买的数量为千克，请问她这两次购买丰水梨分别是多少千克？ 【答案】(1)45；130； (2)25千克 (3)17.5千克和32.5千克 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并采用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据总费用单价数量，第一次购买5千克按9元/千克收费，第二次购买15千克中10按9元/千克收费，5千克的部分按8元/千克收费，第三次购买千克（超过20千克）中10千克按9元/千克收费，10千克按8元/千克收费，千克的部分按6元/千克收费； （2）由陈阿姨购买丰水梨花了200元，可知买梨的千克数超过了20千克，设陈阿姨买了千克的丰水梨，则由（1）可得，解方程即可； （3）根据题意分情况讨论，当，时，可得；当，，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：5千克在“不超过10千克的部分”按9元/千克收费， （元）； 15千克中不超过10千克的部分按9元/千克收费，超过10千克但不超过20千克的部分按8元/千克收费， （元） 千克（超过20千克）中“不超过10千克的部分”按9元/千克收费，超过10千克但不超过20千克的部分按8元/千克收费，超过20千克的部分按6元/千克收费， 故答案为：45；130；． （2）解：由陈阿姨购买丰水梨花了200元，可知买梨的千克数超过了20千克， 设陈阿姨买了千克的丰水梨，则 由（1）可知，解得：（千克） 答：陈阿姨买了25千克的丰水梨． （3）解：两次共购买50千克，且第一次购买的数量为千克， 第二次购买千克， 当，时，根据题意可得， ， 解得：， ，不符合题意， 当，，根据题意可得， ， 解得： 答：陈阿姨这两次购买丰水梨分别是17.5千克和32.5千克． 【拔高训练】 1、某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是元，在这次买卖过程中，则商人（   ） A．赚了元 B．赚了元 C．赔了元 D．不赚不赔 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设赚了的商品的成本为元，则赔了的商品的成本为元，则解方程求出的值，计算出赚或赔的金额即可得答案，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设赚了的商品的成本为元，则： 解得： 设赔了的商品的成本为元，则： ， 解得： ∴总成本为：元， ∴在这次买卖过程中，商人赚了25元， 故选：B． 2、《九章算术》中记载了这样一个数学问题：“今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲乃发长安．同几何日相逢？”译文：甲从长安出发，日到齐国．乙从齐国出发，日到长安，现在乙先出发日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢．设甲经过日与乙相逢，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设甲经过日与乙相逢，则乙已出发日，根据甲行驶的路程乙行驶的路程齐国到长安的距离（单位1），即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设甲经过日与乙相逢，则乙已出发日， 依题意，得：， 故选：D． 3、整理一批数据，由一人做需要，现在先安排一些人做，然后再增加3人做4小时，刚好完成这项工作的．问先安排做的人数是多少？若设先安排人做，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系是解题的关键．利用前完成的工作量+后完成的工作量=总工作量的，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：D． 4、“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，，，，，，，填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设每个三角形的三个顶点上的数字之和为，列方程求出的值，再根据题意得出的值即可． 【详解】解：设每个三角形的三个顶点上的数字之和为， 根据题意列方程得，， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5、甲、乙两站相距，一列慢车从甲站开出，平均速度为每小时，一列快车从乙站开出，平均速度为每小时． （1）两车相向而行，若慢车比快车先出发小时，快车开出多少小时，两车相遇？（列方程解答） （2）若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，直接写出出发多少小时两车相距． 【答案】(1)小时 (2)小时或小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， （1）设快车开出小时，两车相遇，根据“慢车小时的路程快车小时的路程”列出方程求解即可； （2）设出发小时两车相距，根据“慢车小时的路程与快车小时的路程差的绝对值等于”列出方程求解即可； 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解 【详解】（1）解：设快车开出小时，两车相遇， 依题意，得：， 解得：， 答：快车开出小时，两车相遇； （2）设出发小时两车相距， 依题意，得：， 解得：或， 答：出发小时或小时两车相距． 6、哈市有甲乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． （1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）现在若甲工程队先做天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ （3）原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲､乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲､乙两队施工费共计万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 【答案】(1)30天 (2)9天 (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）由乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多，可求出乙队单独完成这项工程所需的天数； （2）设还需要天才能完成，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量=总工程量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设乙工程队工作的天数为天，则甲工程队工作的天数为，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量=总工程量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，设甲工程队每天施工费为万元，则乙工程队每天施工费为万元，根据总费用=每天的施工费×施工天数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得：（天），所以乙队单独完成这项工程需要30天． （2）解：设还需要天完成，依题意，得：， 解得：，所以还需要9天才能完成． （3）解：设乙工程队工作的天数为天，则甲工程队工作的天数为天， 依题意，得：，解得， 所以， 设甲工程队每天施工费为万元，则乙工程队每天施工费为万元， 依题意，得：， 解得：， 所以． 7、数轴是一个非常重要的数学工具 它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系．它是“数形结合”的基础．表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示与的两点之间的距离为_________；表示的点到表示的点的距离与它到表示的点的距离之和为_______________（用含的式子表示）． （2）①若，则________． ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，则所有符合条件的整数的和为_________． （3）若点表示的数分别为和，设点在数轴上表示的数为，当时，求的值． 【答案】(1)7， (2)①或；② 0 (3)或4 【分析】本题考查数轴上两点间距离公式，一元一次方程的应用，化简绝对值： （1）利用数轴上两点间距离公式求解； （2）①若，则，解方程即可；②表示2和的点的距离为4，可知x所表示的点在表示2和的点之间，由此可解； （3）分两种情况：点P在点A左侧，点P在点B右侧，根据列方程即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示4与的两点之间的距离为； 表示a的点到表示的点的距离与它到表示3的点的距离之和为：， 故答案为：7，； （2）解：①若，则， 解得或， 故答案为：或； ②表示2和的点的距离为， x所表示的点在表示2和的点之间， 符合条件的整数有：，，0，1，2， 所有符合条件的整数的和为：， 故答案为：0； （3）解：点A，B表示的数分别为和3， ， ， 点P在点A左侧，或点P在点B右侧． 当点P在点A左侧时，，， ， 解得； 当点P在点B右侧时，，， ， 解得； b的值为或4． 8、对联是中华传统文化的瑰宝．如图所示，对联装裱后，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的边宽相等，且为天头长与地头长的和的，设左、右边的边宽为． （1）用含的代数式分别表示天头长和地头长． （2）现要装裱一副五言联，该五言联的长为，宽为，如图所示，装裱五言联用的卷轴的长是宽的倍．求五言联装裱预留的天头长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、列出方程解决问题是解题的关键． （1）根据左、右边的边宽为,且为天头长与地头长的和的，知天头长与地头长的和为，而天头长与地头长的比是，然后按比例分配即可解答； （2）根据题意可知卷轴长为，卷轴宽为，再由卷轴的长是宽的4倍列方程，求出的值即可． 【详解】（1）∵左、右边的边宽为， 且为天头长与地头长的和的， ∴天头长与地头长的和为， ∵天头长与地头长的比是， ∴天头长为，地头长为． （2）五言联的长为，宽为， 卷轴长为，卷轴宽为， 卷轴的长是宽的4倍， ， 即， 解得， ， 五言联装裱预留的天头长． 9、旅行社组织了甲、乙两个旅游团到游乐场游玩，两团总报名人数为人，其中甲团人数不少于人，游乐场规定一次性购票人以上可享受团队票．门票价格如下： 门票类别 散客票 团队票 团队票 购票要求 超过人但不超过人 超过人 票价 元人 元人 元人 旅行社经过计算后发现，如果甲、乙两团合并成一个团队购票比分开购票节约元． （1）求甲、乙两团的报名人数； （2）当天到达游乐场后发现团队票价格作了临时调整，团队票每张降价元，团队票每张降价元，同时甲团队因故缺席了人，甲、乙两团合并成一个团队购票比分开购票节约元．求的值． 【答案】(1)甲团105人，乙团15人 (2)10 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，分类讨论，根据题目中的数量关系列方程是解题的关键； （1）设甲团人，则乙团人，由甲团人数不少于70人，可知乙团人数不超过50人，分两种情况讨论，，，再根据甲、乙两团合并成一个团队购票比分开购票节约300元列方程求解即可； （2）根据甲团队因故缺席了30人，可知甲团队人数为人，总人数为人，再根据甲、乙两团合并成一个团队购票比分开购票节约300元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲团人，则乙团人， 甲团人数不少于70人，两团总报名人数为120人， 乙团人数不超过50人， 当时， 由题意，得， 解得：（舍去）， 当时， 由题意，得， 解得：， 人， 答：甲团105人，乙团15人； （2）解：甲团队因故缺席了30人， 甲团队人数为人，总人数为人， 由题意得：， 解得：， 答：的值为10． 10、为参加演出，七年级一班和七年级二班准备购买演出服．下面是某商家给出的演出服价格表： 购买演出服数量/套 及以上 每套演出服价格/元 已知两班共有学生人（其中一班人数多于二班人数，且两班学生人数都不超过人），如果两班单独购买演出服，每人只买一套，那么一共应付元． （1）若两班联合购买演出服，共可以节省多少钱？ （2）七年级一班和七年级二班各有多少学生购买演出服？ （3）若七年级二班单独购买时，商家每件演出服获利．现七年级三班想单独购买，且购买的演出服比二班多8套，那么商家卖给三班演出服可获利多少元？ 【答案】(1)970元 (2)七年级一班有37人，七年级二班有30人 (3)380元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，利用利润=售价-进价正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意和表格中的数据得出两班联合的费用，再用元减即可得出结论； （2）先求出两班人数均不超过人时购买服装所购买演出服需总费用，比较后可得出一班的人数大于人，设一班有学生人，则二班有学生人，根据总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． （3）先求每套商品的成本，然后根据单个利润数量总利润分析计算． 【详解】（1）解：（元） ∴共可以节省多少元 （2）解： ∵（元），， ∴一定有一个班的人数大于人． ∵一班人数多于二班人数，且两班学生人数都不超过人 ∴一班人数大于人，二班人数小于人， 设一班有学生人，则二班有学生人， 依题意，得：， 解得：， ∴． 答：七年级一班有人购买演出服，七年级二班有人购买演出服， （3）设成本为元， 则， 解得：， 故获利为：（元）． 答：商家卖给三班演出服可获利380元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级寒假预习讲义-一元一次方程学生版 第三节 一元一次方程的应用 【考点梳理】 考点一 列一元一次方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系； ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为）； ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系； ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程； ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值； ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）。 考点二 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1、行程问题：路程=速度×时间 2、顺水逆水问题：顺水速度=船速水速；逆水速度=船速水速 3、和差倍分问题：增长量=原有量增长率 4、利润问题：商品利润=商品售价商品进价 5、工程问题：工作量=工作效率工作时间，各部分劳动量之和=总量 6、银行存贷款问题：本息和=本金利息，利息=本金利率期数 7、数字问题：多位数的表示方法：例如： 【重点题型】 题型一： 一元一次方程的应用之古代问题 【典例1】《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 【变式1-1】《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车． 【变式1-2】《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 【变式1-3】文化情境·数学文化中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 题型二： 一元一次方程的应用之销售问题 【典例2】在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． （1）第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ （2）在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值． 【变式2-1】某超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价/（元/件） 售价/（元/件） （1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品降价销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙商品的售价是多少？ 【变式2-2】我校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个元，请认真阅读结账时老板与小明的对话． 老板 如果你再多买一个，就可以打八五折，花费比现在还省元 小明 那就多买一个吧，谢谢！ (1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计元，那么小明购买钢笔多少支？ 【变式2-3】十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销，两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，10月份，两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售，两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份，两种品牌的空气净化器各售出多少个？ (2)根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌个．“双十一”超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与无关，则的值应该为多少？ 题型三： 一元一次方程的应用之方案问题 【典例3】某游乐园有如表三种购票方式： 种类 购票方式 一次性使用门票，每张15元 年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票 年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票 （1）某游客一年中进入该游乐园共有次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含的代数式表示） （2）某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明． （3）已知甲、乙、丙三人分别按三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 【变式3-1】某服装批发商促销一种裤子和恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件恤； 方案二：裤子和恤都按定价的付款． 现某客户要购买裤子30件，恤件（）： （1）按方案一，购买裤子和恤共需付款__________________（用含的式子表示）； （2）计算一下，购买多少件恤时，两种优惠方案付款一样？ （3）若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？ 【变式3-2】运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 【变式3-3】国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张元 学生：按成人票五折优惠 团体票（人以上含人）：按成人票6折优惠 大人门票是每张元，学生门票是5折优惠，我们一共人，共需元 爸爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的个家长共人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 题型四： 一元一次方程的应用之配套问题 【典例4】甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 【变式4-1】某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 【变式4-2】糕点店中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装2块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉． （1）若制作若干盒月饼共用了面粉，则制作了多少盒月饼？ （2）公司决定向该糕点厂定制月饼礼盒，该糕点厂给出的团购价格如下： 购买的数量（盒） 不超过60或刚好60 超过60 每盒单价（元） 200 180 若公司决定给45名员工和名客户各订购一盒月饼作为福利，用含的式子表示购买月饼的费用． 【变式4-3】某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有85名工人，平均每人每天可以加工桌面8个或桌腿10条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，该车间应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 【变式4-4】某车间有19名工人，每人每天可以生产1200个产品或2000个产品．2个A产品与3个产品配成一套，为使每天生产的产品与产品刚好配套，应安排生产产品与产品的工人各多少名？ 【变式4-5】2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将实践三十号，，星发射升空．随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，车间内共有25名工人，车间内每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件和2个部件组成一个模型，为使每天生产的部件和部件刚好配套组成模型，应该安排生产部件和部件的工人各多少名？ 题型五： 一元一次方程的应用之工程问题 【典例5】甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元． （1）在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？ （2）现两人合作了这项工程的，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？ 【变式5-1】一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． （1）甲队还需多少天才能完成这项工程？ （2）若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 【变式5-2】哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． （1）甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ （2）已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 【变式5-3】某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． (1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） (2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 【变式5-4】一项工程，如果甲队单独完成需要12天，乙队单独完成所需的时间比甲队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲队先做7天，剩余部分再由甲乙两队合作，求完成这项工程需要多少天？ (3)原计划由乙队单独完成这项工程，乙队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两队合作完成．若甲队工作的天数是乙队工作天数的，乙队单独施工一天需工程款0.2万元，乙队每天工程款比甲队每天工程款的少0.01万元，求完成这项工程共需支付多少元工程款？（注：甲、乙两队施工过程中工作效率始终不变） 题型六： 一元一次方程的应用之行程问题 【典例6】小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？ 【变式6-1】甲站和乙站相距，一列慢车从甲站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为． （1）若两车相向而行，慢车先开，快车开出多少小时后两车相遇？ （2）若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距？ （3）若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距（快车在慢车的后面）？ 【变式6-2】已知在数轴上点表示的数为，在点左侧，且两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点从点向右运动，速度为每秒个单位，同时出发，设运动时间为秒． （1）数轴上点表示的数是______；当点运动到的中点时，它所表示的数是______． （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求： ①当点和点运动多少秒时，点和点第一次相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【变式6-3】甲、乙两地相距480千米，、两车分别从甲乙两地开出，车每小时行驶72千米，车每小时行驶48千米． (1)若两车同时相向而行，求两车出发后几小时两车相遇？ (2)若、两车同向而行，车在前，车在后，车先行2小时，求车出发几小时后两车相距24千米？ 【变式6-4】某自行车队进行训练，训练时所有队员都以的速度前进，突然，号队员以的速度独自前进，行进一段路程后又调转车头，仍以的速度往回骑，直到与其他队员汇合，号队员从离队开始到与其他队员重新汇合共行进了分钟，问号队员掉转车头时离队的距离是多少千米? 题型七： 一元一次方程的应用之数字问题 【典例7】一个两位数，十位数字是个位数字的倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是，原两位数是________． 【变式7-1】将奇数至按照顺序排成下表： 记表示第行第个数，如表示第行第个数是． （1）__________； （2）将表格中的个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的个数之和能否等于．若能，求出个数中的最大数；若不能，请说明理由； （3）用、的式子表示__________； （4）若，求、的值． 【变式7-2】把从1开始的连续的奇数1，3，5，…，2021，2025排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列，…． (1)①数阵中排在第6行第1列的数是______； ②数阵中共有______个数，2025在数阵中排在第______列； ③数阵中排在第行第5列的数可用表示为______． (2)按如图所示的方式，用一个“▱”形框框住四个数，设被框住的四个数中最小的数为，是否存在这样的，使得被框住的四个数的和为1308？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】将连续的自然数按下图方式排成一个长方形，框出一个“V”形阵列，若将“V”形阵列上下左右移动，可框出另外五个数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 …… 995 996 997 998 999 1000 1001 (1)如果设其中最大的数为，可用代数式表示“V”形阵列中5个数之和； (2)要使框出的5个数之和等于2023，这是否可能？试说明理由． 【变式7-4】如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，∵，∴是“快乐数”；又如：四位数，∵，∴不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则的值为______． 题型八： 一元一次方程的应用之比赛问题 【典例8】“办学互助”是萧红中学办学特色之一．七年班的第一组名同学，自行组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是名同学的得分情况： 参赛者 答对题数 20 19 18 14 10 答错题数 0 1 2 6 10 得分 100 94 88 64 40 （1）由表格知，答对一题得________分，答错一题得________分； （2）第名同学得了分，请你帮他算一算，答对了几道题？ 【变式8-1】在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 【变式8-2】某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 18 2 88 64 10 10 40 （1）参赛者说他错了个题，得分为分，请你判断可能吗？并说明理由： （2）参赛者答对了几道题？请你通过计算说明． 【变式8-3】阳光体育季，赛场展风采．七年级组织迎新拔河比赛，每班代表队都需比赛10场，如表是此次拔河比赛积分榜的部分信息，请解决下列问题： 积分榜 班次 比赛场次 胜场 负场 积分 5班 10 10 0 30 4班 10 24 6班 10 0 10 10 1班 10 3班 10 2班 10 (1)由积分榜可知，胜一场得______分，负一场得______分； (2)已知积分榜中4班的积分是24分，求4班胜了几场比赛． 【变式8-4】一次篮球比赛共17轮（即每队均赛17场），胜一场记4分，平一场记0分，负一场记分，某中学篮球队获胜的场数是负场数的3倍，结果共得33分，则该中学篮球队平的场数是______场． 【变式8-5】12月4日为全国法制宣传日，学校组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答错或不答均扣分，下表记录了其中2名参赛学生的得分情况． 参赛者 答对题数 答错或不答题数 得分 小王 20 0 100 小李 16 4 72 根据以上信息，请你解答下列问题： (1)答对一题得___________分，答错一题或不答得___________分； (2)若参赛学生小刘得了65分，他答对了几道题？ 题型九： 一元一次方程的应用之几何问题 【典例9】如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．若设点运动的时间是，若的面积等于．那么值是（） A． B． C．或 D．不存在 【变式9-1】如图，张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为米，则长方形展板的面积是________平方米． 【变式9-2】综合与实践 某中学的劳动实践基地“校园农场”给每班都划分了小菜园，由班级负责管理． 如何设计班级菜地？ 素材1 如图是一个长，宽的长方形菜园．中间种植区域（阴影部分）是长方形，且长是宽的2倍，四周过道的宽度相等． 素材2 如图，为了实现班上6个小组种植区域均匀分配，现将种植区域分割成6块大小相等的长方形菜地（图中阴影部分），相邻两块菜地的间距相等． 素材3 上图中每块菜地的长比宽多． 问题解决 任务1 分析数量关系 （1）设过道宽度为，用含x的代数式表示种植区域的长与宽． 任务2 确定过道宽度 （2）求过道宽度． 任务3 确定每块菜地的大小 （3）求每块菜地的长与宽． 【变式9-3】对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 ．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为． (1) 设“边的宽”为， 则天头长为 ， 地头长为 ．（用含x的式子表示） (2)若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长． 【变式9-4】如图，是将一个大长方形平均分成上下两个长方形，再将上面这个长方形平均分成两份，将下面这个长方形平均分成三份，若图中阴影部分的面积为，求这个大长方形的面积．（列方程解答） 题型十： 一元一次方程的应用之分段计费问题 【典例10】某市出租车收费标准是：起步价元，可乘；到时，超过的部分按的标准收费；超过时，超过的部分按的标准收费．（不足的按计算） （1）若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； （2）若某人乘坐了（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为___________； （3）若某人乘坐出租车共花了元，问出租车行驶了多少公里？ 【变式10-1】我市某小区居民使用自来水年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 （1）某户月份用了的水，求该户月份应缴纳的水费；（用含的式子表示） （2）设某户月用水量为，当，时，该户应缴纳的水费为多少元？（用含的式子表示） （3）当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费．（可用含的式子表示） 【变式10-2】为鼓励居民节约用电，某市实行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量/（千瓦·时） 执行电价/[元/（千瓦·时）] 第一档 小于或等于240 0.5 第二档 大于240且小于或等于400时，超出240的部分 0.6 第三档 大于400时，超出400的部分 0.8 某户居民6月、7月共用电520千瓦·时，用电费用为268元．已知该用户7月的用电量大于6月的用电量，且6月、7月的用电量均小于400千瓦·时．那么该用户6月、7月的用电量分别是多少千瓦·时？ 【变式10-3】为节约用水，政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过立方米 超过立方米且不超过立方米的部分 a 超过30立方米的部分 (1)若小明家今年2月份用水量是立方米，则小明2月份应交的水费______元（用含a的代数式表示）． (2)在（1）的条件下，若小明今年2月份缴费元，请列方程求出上表中a值． (3)在（2）的条件下，若小明家3月份用水量增大，他家3月份的用水量是b立方米，共缴费元，请求出的值． 【变式10-4】某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为元，请用含的代数式表示； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 课后练习 【基础训练】 1、如图，这是某超市电子表的价格标签，一导购员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮助算一算，该电子表的原价是（   ） 　 A．15.36元 B．19.6元 C．20元 D．24元 2、在排成每行七天的日历表中取下一个方块，若所有个日期数之和为，则最大的数是（   ） A． B． C． D． 3、一艘轮船从港顺流行驶到港，比从港返回港少用小时．若船速为千米/时，水速为千米/时，求港和港相距多少千米．设港和港相距千米．根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 4、 检修一台机器，甲、乙两组单独检修分别需小时、小时完成，如果甲组先检修小时，然后两组合作，还需几小时才能完成这台机器的检修任务？设两组合作还需小时才能完成这台机器的检修任务，根据题意列出的方程是______________． 5、甲、乙两个旅行团共人，甲团人数比乙团人数的倍多人．甲、乙两个旅行团各有多少人？若设乙旅行团的人数是人，则可列一元一次方程为_____________________．（方程不需要化简） 6、袁隆平，“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，“中国杂交水稻之父”，一生致力于对水稻的研究．现有两块试验田各亩，块试验田种植普通水稻，块试验田种植杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的倍，两块试验田单次共收获水稻千克，求杂交水稻的亩产量是多少千克？ 7、自上海迪斯尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配一副手套．如果某车间有名工人，每人一天平均能生产手套个或米老鼠玩具个．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 8、《孙子算经》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？译文为：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺．问：木头多长？（一尺等于十寸） 9、一只电子蚂蚁以的速度从地爬往地，规定沿方向爬行为向前，沿方向爬行为向后，已知这只电子蚂蚁第一次向前爬行，第二次向后爬行，第三次向前爬行，第四次向后爬行…… （1）第次爬行后，电子蚂蚁距离地多远？第次爬行后呢？ （2）若两地相距，求电子蚂蚁爬到地需要的时间． 10、某市招标建设一段无桥梁的高速公路路基，现有两家公司竞标这项工程．若公司每天能修建路基，公司每天能修建路基，若单独修建这段路基，公司比公司要多用天，在修建路基过程中，该市要付公司每天费用万元，付公司每天费用万元． （1）求这段高速公路路基一共有多少千米？ （2）若先由两家公司合作一段时间后，公司停工了，公司单独完成剩余部分．且公司的全部工作时间是公司的工作时间的倍少天，求公司共修建多少天？ （3）现设置三个方案：方案一：由公司单独完成；方案二：由公司单独完成；方案三：按（2）的方式完成；你认为该市选择哪一种方案最省钱，并说明理由． 【巩固训练】 1、《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？设共有个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为（    ） A． B． C． D． 2、如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第个至第个台阶上依次标着，，，，且任意相邻四个台阶上数的和都相等，则从下到上前第个台阶上数为（   ） A． B． C． D． 3、有一饮料瓶如图，其容积为，现在它里面装一些饮料，正放时饮料高度为，若将饮料瓶倒立时，空余部分的高度为，则瓶内现有饮料为______．    4、社会劳动情境·加工生产 某服装厂加工车间有工人人，每人每天可以加工上衣件或裤子条，为使每天生产的上衣和裤子配套，应分配_______人生产上衣，_______人生产裤子． 5、（列一元一次方程解决问题）甲、乙两个车站相距，一列货车从甲站开出，每小时行驶，一列客车从乙站开出，每小时行驶． （1）两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？ （2）货车从甲站开出后，客车从乙站开出，两车同向行驶，客车开出几小时后两车相距？ 6、观察下列三列数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…；③ （1）第①行第个数是 第②行第个数是________； （2）第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ （3）若在每行取第个数，这三个数的和正好为，求的值． 7、酒泉市消费品以旧换新政策开展以来，各县市积极响应，出台配套措施，补贴优惠加速落地，居民消费获得了实实在在的优惠．为了更好地落实以旧换新政策，某地方政府决定：凡居民购买家电和摩托车享受政府的补贴（凭购物发票到当地财政部门按领取补贴）．居民王大爷家购买了一台电视机和一辆摩托车共花去元，且该辆摩托车的单价比所买电视机的单价的倍还多元． （1）王大爷可以到财政部门领到的补贴是多少元？ （2）求王大爷家所买的摩托车与电视机的单价各是多少元？ 8、制作一张桌子要用个桌面和条桌腿，木材可制作个桌面，或者制作条桌腿．现有木材用来制作桌子． （1）设用木材用来制作桌面，剩余的木材用来制作桌腿，可制作桌面_____个，制作桌腿______个； （2）最多可以制作多少张桌子？ （3）由人制作这些桌子需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起合作，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人工作？ 9、数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离表示为．如：点表示的数为，点表示的数为，则． （1）问题提出：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，两点之间的距离______． （2）拓展探究：若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发．以每秒个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒（） ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为______；点表示的数为______； ②求当为何值时，两点相遇，并求出相遇点所表示的数． （3）类比延伸：在（2）的条件下，如果两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，那么再经过多长时间两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 10、水果批发市场批发丰水梨的价格如表： 购买丰水梨（千克） 单价 不超过千克的部分 元/千克 超过千克但不超过千克的部分 元/千克 超过千克的部分 元/千克 （1）若陈阿姨第一次购买丰水梨千克，需要付费______元； 第二次购买丰水梨千克，需要付费______元； 第三次购买丰水梨千克（超过千克），需要付费______元（化简结果用含的式子表示）． （2）若陈阿姨购买丰水梨花了元，求她买了多少千克的丰水梨？ （3）若陈阿姨分两次共购买千克的丰水梨，一共支付了元，且第一次购买的数量为千克，请问她这两次购买丰水梨分别是多少千克？ 【拔高训练】 1、某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是元，在这次买卖过程中，则商人（   ） A．赚了元 B．赚了元 C．赔了元 D．不赚不赔 2、《九章算术》中记载了这样一个数学问题：“今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲乃发长安．同几何日相逢？”译文：甲从长安出发，日到齐国．乙从齐国出发，日到长安，现在乙先出发日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢．设甲经过日与乙相逢，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3、整理一批数据，由一人做需要，现在先安排一些人做，然后再增加3人做4小时，刚好完成这项工作的．问先安排做的人数是多少？若设先安排人做，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4、“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，，，，，，，填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为________． 5、甲、乙两站相距，一列慢车从甲站开出，平均速度为每小时，一列快车从乙站开出，平均速度为每小时． （1）两车相向而行，若慢车比快车先出发小时，快车开出多少小时，两车相遇？（列方程解答） （2）若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，直接写出出发多少小时两车相距． 6、哈市有甲乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． （1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）现在若甲工程队先做天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ （3）原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲､乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲､乙两队施工费共计万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 7、数轴是一个非常重要的数学工具 它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系．它是“数形结合”的基础．表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示与的两点之间的距离为_________；表示的点到表示的点的距离与它到表示的点的距离之和为_______________（用含的式子表示）． （2）①若，则________． ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，则所有符合条件的整数的和为_________． （3）若点表示的数分别为和，设点在数轴上表示的数为，当时，求的值． 8、对联是中华传统文化的瑰宝．如图所示，对联装裱后，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的边宽相等，且为天头长与地头长的和的，设左、右边的边宽为． （1）用含的代数式分别表示天头长和地头长． （2）现要装裱一副五言联，该五言联的长为，宽为，如图所示，装裱五言联用的卷轴的长是宽的倍．求五言联装裱预留的天头长． 9、旅行社组织了甲、乙两个旅游团到游乐场游玩，两团总报名人数为人，其中甲团人数不少于人，游乐场规定一次性购票人以上可享受团队票．门票价格如下： 门票类别 散客票 团队票 团队票 购票要求 超过人但不超过人 超过人 票价 元人 元人 元人 旅行社经过计算后发现，如果甲、乙两团合并成一个团队购票比分开购票节约元． （1）求甲、乙两团的报名人数； （2）当天到达游乐场后发现团队票价格作了临时调整，团队票每张降价元，团队票每张降价元，同时甲团队因故缺席了人，甲、乙两团合并成一个团队购票比分开购票节约元．求的值． 10、为参加演出，七年级一班和七年级二班准备购买演出服．下面是某商家给出的演出服价格表： 购买演出服数量/套 及以上 每套演出服价格/元 已知两班共有学生人（其中一班人数多于二班人数，且两班学生人数都不超过人），如果两班单独购买演出服，每人只买一套，那么一共应付元． （1）若两班联合购买演出服，共可以节省多少钱？ （2）七年级一班和七年级二班各有多少学生购买演出服？ （3）若七年级二班单独购买时，商家每件演出服获利．现七年级三班想单独购买，且购买的演出服比二班多8套，那么商家卖给三班演出服可获利多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $