精品解析：河南省郑州市第五十二中学2025-2026学年九年级上学期数学期末试卷

河南省郑州市第五十二中学2025-2026学年九年级上学期 数学期末试卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单选题（30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 我国动画片电影《哪吒2》全球总票房突破15900000000元，数据15900000000用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如图，其示意图的主视图是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”其大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱．如果乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱．甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为、，则可列方程组为（    ） A. B. C. D. 6. 点在第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，若，则的长是（ ） A. 8 B. 10 C. 6 D. 12 8. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是7 C. 抛物线开口向上 D. 顶点的坐标为 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点，顶点B在x轴正半轴上，已知点C的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 光敏电阻的阻值随光照射的强弱而改变．“光强”是表示光的强弱程度的物理量，照射光越强，光强越大，光强用符号表示，国际单位为坎德拉（）．实验（电路图为图①）测得光敏电阻的阻值与光强之间的关系如图②所示，若，下列说法错误的是（ ） A. 光强越大，越小 B. 该图象为反比例函数图象 C. 光强越大，电路中的电流越大 D. 当电流表显示时，光强 二、填空题（15分） 11. 计算：____ 12. 一次函数与x轴交点坐标为________． 13. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为_________． 14. “莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2，这是小明画出的一个“莱洛三角形”，若该等边的边长为6，则这个“莱洛三角形”的周长是________．（结果保留） 15. 矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若，该方程的两个实数根分别为，求的值． 18. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知△ABC的三个顶点在格点上． （1）画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线a对称； （2）求出△A1B1C1的面积； （3）在直线a上画出点P，使PA＋PC最小，最小值为 ． 19. 为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是________人； （2）补全条形统计图； （3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、． （1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积． （3）结合图象直接写出，当时，的取值范围． 21. 扬州中国大运河博物馆坐落于扬州三湾古运河畔，大运河博物馆整体由大运塔和博物馆主体两部分组成．周末西西和父母去大运河博物馆游玩，看到大运塔时觉得非常宏伟，想知道它的高度．于是西西走到点处，测得此时塔尖的仰角是，向前走了30米至点处，测得此时塔尖的仰角是，已知西西的眼睛离地面高度是1.2米，请聪明的你帮她求出塔的高度．（参考数据：，，） 22. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 石家庄某运动馆使用羽毛球发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，如图所示．在第一次发球时，球与发球机的水平距离为（米）在此处键入公式。，与地面的高度为（米），与的对应数据如下表所示． 米 0 1 y米 2 （1）球经发球机发出后，最高点离地面________米；求与的函数解析式； （2）当球拍触球时，球与发球机的水平距离为3米，求此时球与地面的高度； （3）发球机在地面的位置不动，调整发球口后，在第二次发球时，与之间满足函数关系． ①为确保球拍在（2）中高度还能接到球，求球拍的接球位置应前进多少米； ②通过计算判断第一、二次发球中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差能否超过1米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省郑州市第五十二中学2025-2026学年九年级上学期 数学期末试卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单选题（30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 我国动画片电影《哪吒2》全球总票房突破15900000000元，数据15900000000用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握好科学记数法的使用规范是关键． 科学记数法要求将数字表示为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：由科学记数法的要求可得， ． 故选：B． 3. 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如图，其示意图的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，解题的关键在于掌握主视图是从物体的正面看到的视图． 根据几何体找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线． 【详解】解：由图知，主视图上部为等腰三角形，下部为矩形． 主视图为， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，需识别同类项并合并，只有同类项（相同字母且相同指数）才能进行加减运算． 【详解】解： A．和不是同类项，不能合并，∴ A错误． B．和是同类项，系数相减：，∴结果为，B正确． C．和不是同类项，不能直接相减，∴ C错误． D．和不是同类项，不能相加，∴ D错误． 故选B． 5. 古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”其大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱．如果乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱．甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为、，则可列方程组为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找出题中的等量关系是解本题的关键． 设甲、乙两人持钱的数量分别为、，根据甲得到乙钱的一半后共有50元；乙得到甲钱的三分之二后共有50元，列出方程组，即可． 【详解】解：设甲、乙两人持钱的数量分别为、，则可列方程组为 故选：C 6. 点在第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了已知点所在象限求参数，根据点P在第四象限，则其横坐标为正，纵坐标为负，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴横坐标，纵坐标, 解得：, 解得：，即, ∴a的取值范围是, 故选B． 7. 如图，已知，若，则的长是（ ） A. 8 B. 10 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．熟练掌握该知识点是关键． 根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：， ， 即， ． 故选：B． 8. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是7 C. 抛物线开口向上 D. 顶点的坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线． 根据二次函数顶点式的性质分析即可． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向下，函数的最大值是，顶点的坐标为， ∴只有D正确． 故选D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点，顶点B在x轴正半轴上，已知点C的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，点的坐标，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据菱形的性质得，因为点C的坐标为，则，再结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：过点C作轴，如图所示： 设菱形的边长为， 则， ∵点C的坐标为， ∴， ∵轴， ∴在中，则， ∴， 解得， ∴， 即点B的坐标为， 故选：A． 10. 光敏电阻的阻值随光照射的强弱而改变．“光强”是表示光的强弱程度的物理量，照射光越强，光强越大，光强用符号表示，国际单位为坎德拉（）．实验（电路图为图①）测得光敏电阻的阻值与光强之间的关系如图②所示，若，下列说法错误的是（ ） A. 光强越大，越小 B. 该图象为反比例函数图象 C. 光强越大，电路中的电流越大 D. 当电流表显示时，光强 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，关键是掌握反比例函数的性质． 利用反比例函数的性质进行解答． 【详解】解：根据题意可知，阻值与光强之间成反比例关系，故B正确； 根据反比例函数的图象可得光强越大，越小，故A正确； ，光强越大，越小， ∴光强越大，越小，电路中的电流越大，故C正确； 当电流表显示时，， ， 结合图象可得，此时光强，故D错误； 故选：D． 二、填空题（15分） 11. 计算：____ 【答案】 0 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，直接代入已知值进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：0． 12. 一次函数与x轴交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，熟练掌握在轴上的点的纵坐标等于0是解题关键．根据在轴上的点的纵坐标等于0求解即可得． 【详解】解：将代入一次函数得：， 解得， 所以一次函数与轴交点坐标为， 故答案为：． 13. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之积等于求解． 【详解】解：设另一个根为 m， 则根据根与系数的关系，有， 解得． 即另一个根为4． 故答案为：4． 14. “莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2，这是小明画出的一个“莱洛三角形”，若该等边的边长为6，则这个“莱洛三角形”的周长是________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算及等边三角形的性质，熟知弧长的计算公式及等边三角形的性质是解题的关键．根据弧长公式求出的长，再乘以3即可解决问题 【详解】解：是等边三角形， ， 又等边三角形的边长为６， 的长， 莱洛三角形”的周长是. 故答案为：. 15. 矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可． 【详解】解：当时， ∵四边形矩形， ∴，则， 由平行线分线段成比例可得：， 又∵M为对角线的中点， ∴， ∴， 即：， ∴， 当时， ∵M为对角线的中点， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵四边形矩形， ∴，则， ∴ ∴， 综上，的长为2或， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键． 三、解答题（75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，零指数幂，算术平方根，熟练计算是解题的关键． （1）先求算术平方根，零指数幂，乘方，再加减即可； （2）先计算小括号里面的，然后再计算除法，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若，该方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握它们的性质是解本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可； （2）利用根与系数的关系得出，代入得，根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ， ． 18. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知△ABC的三个顶点在格点上． （1）画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线a对称； （2）求出△A1B1C1的面积； （3）在直线a上画出点P，使PA＋PC最小，最小值为 ． 【答案】（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）； （3）如图， 最小值为. 【解析】 【分析】（1）分别作点A、B、C关于直线a的对称点A1、B1、C1；顺次连接A1、B1、C1所得的三角形即为所求． 【详解】（2）用△ABC所在的矩形的面积减去三个小三角形的面积即可求解． （3）依据轴对称的性质，连接C1A（或A1C）与直线a交于点P即可． （1）略 （2）S△A1B1C1=2×2-×1×2×2-×1×1=． （3）连接C1A（或A1C）与直线a交于点P，则点P即为所求． 则PA＋PC最小值为AC1=. 【点睛】考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接． 19. 为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是________人； （2）补全条形统计图； （3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1）； （2） 补全条形统计图如图， （3）抽取的两人恰好是甲和乙的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图及正确画出树状图是解题的关键． （）用最喜欢足球的学生人数除以其百分比可求出调查的总人数； （）求出最喜欢篮球项目的学生人数和最喜欢羽毛球项目的学生人数，即可补全条形统计图； （）画出树状图，根据树状图即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数是（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：最喜欢篮球的人数为：（人）， 最喜欢羽毛球的人数为：（人）， 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知， 共有种等可能结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有种， ∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、． （1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积． （3）结合图象直接写出，当时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）先根据可求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再根据点的坐标，利用待定系数法即可得一次函数的解析式； （2）设与轴交于点，根据一次函数解析式求得点的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）由函数与不等式的关系，根据一次函数图象在反比例图象下方，可得答案． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数得：， 则反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ， 将点，代入得：， 解得， 则一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：如图， 设与轴交于点， 当时， ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：由图象可知：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴当时，或． 21. 扬州中国大运河博物馆坐落于扬州三湾古运河畔，大运河博物馆整体由大运塔和博物馆主体两部分组成．周末西西和父母去大运河博物馆游玩，看到大运塔时觉得非常宏伟，想知道它的高度．于是西西走到点处，测得此时塔尖的仰角是，向前走了30米至点处，测得此时塔尖的仰角是，已知西西的眼睛离地面高度是1.2米，请聪明的你帮她求出塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】91.2米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 先判断四边形均为矩形．再证，设米，利用三角函数解即可求解． 【详解】解：由题意得，， 则四边形均为矩形． 米，米， 在中，， ． 设米， 在中，， ，即， 解得， 米， （米）， 即塔的高度为91.2米． 22. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）3 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定定理及勾股定理． （1）连接，根据为直径得出，由已知条件推得，从而证得，进而得出结论； （2）利用勾股定理得出，根据已知条件得出，解得的值，进而得到的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴的半径为3． 23. 石家庄某运动馆使用羽毛球发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，如图所示．在第一次发球时，球与发球机的水平距离为（米）在此处键入公式。，与地面的高度为（米），与的对应数据如下表所示． 米 0 1 y米 2 （1）球经发球机发出后，最高点离地面________米；求与的函数解析式； （2）当球拍触球时，球与发球机的水平距离为3米，求此时球与地面的高度； （3）发球机在地面的位置不动，调整发球口后，在第二次发球时，与之间满足函数关系． ①为确保球拍在（2）中高度还能接到球，求球拍的接球位置应前进多少米； ②通过计算判断第一、二次发球中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差能否超过1米． 【答案】（1）； （2）球与地面的高度为米； （3）①球拍的接球位置应前进米；②球的高度差不能超过1米． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）利用对称性质求得对称轴，得到最高点的坐标可求得最高点离地面米；再利用待定系数法即可求得与的函数解析式； （2）求得时，的值即可； （3）①求得当时，的值，即可求解； ②通过计算得到高度差，再配成顶点式，利用二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：∵当和时，， ∴对称轴为直线， ∵当时，， ∴最高点的坐标为， ∴最高点离地面米； ∵最高点的坐标为． ∴设与的函数解析式为． 将代入， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 即此时球与地面的高度为米； 【小问3详解】 解：①当，整理得， 解得，（舍）， ∴， 即球拍的接球位置应前进米； ②球的高度差为 ． ∵， ∴当时，球的高度差最大为米， ∴球的高度差不能超过1米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $