福建龙岩市2025-2026学年第一学期期末高二教学质量检查数学试题

龙岩市2025~2026学年第一学期期末高二教学质量检查 数学试题 (考试时间：120分钟 满分：150分) 注意事项： 出 1,考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项” 第I卷（选择题共58分） 一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知等差数列{a},若a,=-1,a6=9, 则公差d为 C.-1 D.-2 如 A.2 B.1 2. 已知点42，)，Bm,3),若直线AB的倾斜角为 则实数m的值为 4 A.1 B.2 C.3 D.4 3.圆C:x2+y2=5与圆C,:x2+y2-6x-8y+16=0的公切线条数为 A.1 B.2 C.3 D.4 童 4.用数字0,1,2,3组成没有重复数字的三位数，则小于230的偶数的个数为 A.5 B.6 C.7 D.8 1 1 5.已知等比数列{a,}的前n项和为S,(neN),若a,a,a= 64,06= 则S,的 32 0 值为 C. 1 D 3 B. 16 32 6.从6名志愿者中选派人员组建宣传小队，要求小队成员至少2名， 且需从所组建 的小队成员中再选定1名担任队长，则不同的组建总数为 至 A.57 B.58 C.186 D.192 7. y @知椭圆C十a>b>0的左右焦点分别为F,,过原点的直线L C交于A,B两点.若AF=2BF,AE⊥FE,则C的离心率为 2 D. 2 3 4 高二数学第1页（共6页） 8已知双曲线M名-@>0.b>O的上、下焦点分别为，B,过点F作 与M的一条渐近线平行的直线，交M的上支于点P,且PF⊥PF,则M的 渐近线方程为 A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.5x±y=0D.5x±y=0 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分 9.已知等差数列{a,}的前n项和为S.(neN).若a.+a=4,S,=S,则 A.46=2 B.数列{a,}为递增数列 C.满足S。<0的最小整数n为13 D.当S,取得最大值时，m=6或7 10.已知点P为圆O:x2+y2=9上的动点，直线山x+y+6=0分别与x轴、y轴交 于M,N两点.过I上一点Q作圆O的切线QA,QB,切点分别为A,B,则 A.直线1与圆O相离 B.当OQ⊥1时，直线AB的方程为2x+2y-5=0 C.点P到直线/的距离的最大值为3√2+3 D.当∠PMN最大时，PM=35 11.已知P为抛物线C:x2=4y上一点，F为C的焦点，直线：ax-2y-2b=0与 C的准线交于点A,则 A.若1与C相切于点B,则∠BAF<∠AFB B.若I与C相切于点B,则点H(a,b)在C上 C.过点P作圆M:x2+(y-4)?=5的两条切线，切点分别为T,N,则存在点P, 使△PTW为等腰直角三角形 D.过点P作圆M:x2+y-4)=5的两条切线，切点分别为T,N,当N=5 时，∠PN=背 高二数学第2页（共6页）】 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.若直线：x-ay-2=0与直线l:x-y-1=0相互垂直，则实数a= 13.已知P为抛物线C:y2=4x上的动点，点Q(6,12),则点P到点Q的距离与到) 轴的距离之和的最小值为 14.如图，是某粒子加速器的轨道，粒子从初始位置O出发向右运动，每次只能移 动到右侧相邻的两个轨道节点，例如：从0出发只能移动到节点1或节点2，从 节点1出发只能移动到节点2或节点3，…，以此类推.用αn表示粒子到达节 点mn∈N)的运动路径数，则乃 a,a+2 6 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本题满分13分) 已知C+C2=Cg(neN). (1)求n的值： (2)已知1-2x)”=。+ax+a2x2+…+anx”,设x的偶次项的系数之和为A, x的奇次项的系数之和为B,求A?-B的值 高二数学第3页（共6页) 16.（本题满分15分)》 已知圆C经过原点O和点P(0,4),且关于直线y=-2x对称 (1)求C的方程： (2)若过点L,1)的直线1与C交于A,B两点，且AB=2,求1的方程 17.(本题满分15分) 已知等差数列{an}满足a2=3a1,a2n=2an+1(neN).等比数列{也}满足 b=4,b。=32 (1)求数列{an}和{b.}的通项公式； (2)设cn=(-l)an+bn,记数列{cn}的前n项和为Tn,求Tm-. 高二数学第4页（共6页） 18.(本题满分17分) 19.(本题满分17分) 旦知椭圆℃二+a>b>0:M,N分别为椭圆C的上顶点与右顶点 某校举办校园文化节，传球游戏为其中特色活动，具体规则如下： 规则一：游戏队伍由5名队员组成，记为A,B,C,D,E; O为坐标原点，MM=√6，△MON的面积为√互 规则二：传球时不能传给自己，每次传球需从其余4人中随机选择1人传递， (1)求C的方程； 游戏开始时，球由队员A控制，记经过次传递后，球回到A手中的不同方法 (2)若A,B为C上不同的两点，△OAB的面积为√互，直线OA,OB的斜率均 数为a,meN). 存在且分别为k,k (1)求a2,4,并写出a,与a1之间的递推式（不要求证明）： ()证明：kk为定值： (ii)设P为线段AB的中点，点QL,),求△OPQ面积的最大值 (2)设b.=an+a1,若k,teN,且V6-1,√瓦-2，√6-√瓦成等比 数列，求k,t的值： (3)设c,=aC4+a,C+a,C+…+anC证明：对任意neN,都 有5s2B=B+司5keN 64 高二数学第5页（共6页） 高二数学第6页（共6页） 龙岩市2025~2026学年第一学期期末高二教学质量检查 数学试题参考答案 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 题号 7 2 3 4 5 6 7 8 选项 A D B A B C C A 选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分， 题号 9 10 11 选项 AD ACD ABD 8. 【略解】不妨令直线PE与直线)y-名平行，设0为坐标原点，PF,与直线)=名交于点0，则 b 00∥PR,又0为FF,的中点，所以Og=PF,因为PF,1PF,所以001PF,所以Q=b, 又OF=c, 所以ogl=VoF,2-lgF'=vc2-b2=a,所以PF=2a. 从而得PF2=22F=2b,所以PF-PF=2b-2a=2a,即b=2a, 故得双曲线的渐近线方程为x±2y=0. 11.【略解】 对于A,过点B作BG垂直于C的准线，垂足为G,由抛物线定义知BF=BG,因为a≠0，所以 AB>BG,在△ABF中，AB>BF,由大边对大角得：∠BAF<∠AFB,A正确. 对于B,联立直线1与C的方程，消去x得x2-2ax+4b=0,因为1与C相切，所以△=4a2-16b=0, 即a2=4b,所以点H(a,b)在C上，B正确. 对于C,假设存在点P符合题意，则∠AP7-,有MPHPTF+-5=0问题转化为抛物线上存在 点P到圆心M的距离为√10，先求抛物线上点P(x,y)到圆心M0,4的距离， 1MP=V后+(0-4)2=V4y+片-8y+16=Vy-2)2+12≥25，当=2时，|MP1取到最小值2V3,而 √10<2√3，故C不正确. 对于D,如图cos∠TMN=5+5-15=_1 10-2’ 则∠TMN=120°，易得TP=TN=V15,∠TPN=60°，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.-1 13.12 4. 271 546 14.【略解】依题意，由粒子的运动规则知：an+2=a,+am+1,a1=1,a2=2, 依次计算得：a3=3,a4=5,a5=8,a6=13,a,=21, 因为 1=a1=02-41=1 1 andn2 anantian+2 anan+ian+2 anan+l an+ian+2 所以∑ 1 十···十 a,a+2 -1-111 271 a42a6a7213×21546 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 解：(1)因为C+C=C(neN) 所以n+nm-=15 2 ………3分 解得n=5.5分 (2)由（1)可得二项式为1-2x)°=a+ax+a2x2+…+ax3, 则A=a0+a2+a4,B=a1+a+a5,.6分 令x=1得，a+a,+a2+a+a4+a,=(-15=-l,即A+B=-1..8分 令x=-1得，a,-a1+a,-a,+a4-a5=3,即A-B=3 ....10分 所以A2-B2=A+B)A-B=-1×33=-3=-243. ....13分 16.(本题满分15分) 解：(1)根据题意，设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 「a2+b2=r2 则a2+(4-b)2=r2 3分 b=-2a a=-1 解得b=2 .5分 r=v5 所以圆C的方程为(x+1)2+(y-2)2=5. ….6分 (2)由(1)得圆C的标准方程为x+1)2+(y-22=5, ①当直线1的斜率不存在时，直线1：x=1,交圆C于点(1，)，(1,3)， 此时4B=2,符合题意；.8分 ②当直线I的斜率存在时，设直线1的方程为y-1=k(x-),即kx-y-k+1=0, 设圆心C(-1,2)到直线1的距离为d,且r2=5,则AB=2r2-d2=2,解得d=2. ………….11分 所以2+=2，解得k=3 V1+k2 4 …….13分 所以直线1的方程为3x-4y+1=0.14分 综上：直线1的方程为x=1或3x-4y+1=0.......15分 17.(本题满分15分) 解：(1)设数列{an}的公差为d,因为a2m=2an+l(n∈N*) 所以当n=1时，a2=2a1+1, 又因为a2=3a1 所以a1=1,a2=3,d=2 所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1. .4分 设数列{b}的公比为9，由题意得 bq2=4 6g=32则4=2=8，即22 代入可得b=1,所以bn=bg"-1=2"- ………….8分 (2)由（1)得：cn=(-1)"(2n-1)+2"-, .9分 设数列{(-1)”(2n-1)}的前2n-1项和为A2m- 数列{2}的前2n-1项和为B2m- 则T2n-1=A2a-1+Bm-1 因为A2m-1=-1+3-5+…+(-1)2m-(4n-3) =-1+(-2)×(n-1) =-2n+1.…………… .........11分 B2-1=2°+2+22+…+220-2 =21-2) 1-2 =22m-1-1 …….13分 所以Tn-1=A2n-1+B2n =-2n+1+22m-1-1 =22m-1-2n ……………….15分 18.(本题满分17分) Lab-12 a=2 解：(1)依题意得 解得 b=V2 ……………4分 a2+b2=6 故椭圆C的方程为女+ 42 =1 ……5分 (2)(i)当直线AB的斜率不存在时，不妨设Ax,y)在B(x2,y2)的上方， 由△0B的面积为5，得(-)=万，即ky=反， 又号+-1，所以5=士2，=1 4 2 故A2B2-1或12，-小，故kk,=-.7分 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=+m,Ax,y1,Bx2,y2) y=kx+m 联立得 x2,y2,消去y,整理得1+2k2x2+4kmx+2m2-4=0, =1 42 4km 则x1+X2= x2m4，田△>0，得42+2-m2>0,8 2k2+1 则=1+R,-=1+F0G,+xP-4找，=2+R8k-2+4 9分 1+2k2 又O(0,0)到直线1的距离为d= m V1+k2 所以5as=xd=h82m+4 2, ….10分 1+2k2 整理得(1+2k2-m2)2=0,所以1+2k2=m2,........11分 所以kk,=业=@，+m儿c,+m.k2x5+kmx+x)+m XX2 XX2 XX2 k22m2-44k2m2 +m2 =2k2+12k2+1 2k2m2-4k2-4k2m2+m21+2k2） 2m2-4 2m2-4 2k2+1 =m2-4k2-m2+2.1 2m2-42m2-42 …………12分 (ii)当直线AB的斜率存在时，由()知1+2k2=m, 则x,=+5=-2m。2 21+2k2=- m,=。+m= 1 m 则直线B的斜率存在时，由（①知+店=1+ m? 1 2 所以点P的轨迹方程为：三+=10≠0) ….13分 又易知0g=V2,ko=L,设直线y=x+1与椭圆+y2=1相切： 此时直线1与直线OQ间的距离最大， 则关于x的方程x+P+号=1有且仅有一个解。 故其根的判别式△，=0，即t2=3,得t=±3， ............14分 ±3 故点P到直线OQ的距离最大值为d= _VG 12+(-1D2 2 aOPO的面积的最大值为)xV2×65 22 ………….15分 2W3V3 2W3V5 此时点P的坐标为 3’-3 或 3’3 ....16分 易知当直线B的斜率不存在时，p√2,0)或P(√2,0， 则A0PQ的面积为×V2x1=5 2 综上，△OPO面积最大值为V5 ……17分 19.(本题满分17分) 解：(1)第1次传球，球从A传出（不能传给自己），无法回到A手中，故4，=0. 第1次A传给B,C,D,E(4种方式)，第2次接球人传回A(1种方式)， 由分步乘法计数原理得：42=4×1=4......1分 第2次传球总方法数为42=16，球不在A手中的方法数为16-42=12， 第3次持球人传回A(1种方式)，故a=12×1=12. .3分 由计数原理知：01=4”-anx,即a1+a,=4”,..5分 (2)因为b,=a,+a1=4”,且Vb-1,Vb-2,Vb,-Vb成等比数列， 所以1,2*-2,2'-2*成等比数列，即(2-22=2'-2， 得2=22k-32*+4,.. .6分 所以22=(2-}-32-2+1)，又2-2≠0，所以k≠1，即k≥2， 当k=2时，2=8，t=3,符合条件. ….7分 当k≥3时，(2}-32-2+1为奇数，22为偶数，此时方程()无解. 综上：k=2,f=3.…9分 (3)设dn= V5n-1)(5n+3 即正：VEs2d,<145keN利 Cn k=1 64 由1)知：a-4-a,所以an ....10分 所以敬列。，智是以4子为首现，会比方-1的等比玫列， 5 得a 4” 5 1,即a,=4+4- =一一 5 因为cn=a,Cl+a,Cal+a,C+…+anC0 =+aC+.C =[0+41-+[0--刂=5”-1…12分 公44-8>0.空44-4 C 2-万.13分 又5n-l(5n+3<5a-5m+3-5n+1 2 有dn v5n-(5n+3)）5n+1_5n+1s5n+1_5.5n+1 5”-1 5”-15-51-1≤4.5-450 ……….14分 段M,写g.50 5-1 5n 6,11,16,,5n-4,5n+1 则M 5+5+5+…+ 5” ②， 0-②得， 4M.=9+5 61,1,1 15n+1 5 ,555+5+…+ 5n- 5n+1 11 ±55”5n+12920n+29 11 51204.5m刊 以以.-沿0G” ....16分 所以2d<M, 14520n+29145 k= 4 64 64.5m-1 64 黎：2s5-5+3 145 (k EN*) Ck 64 ……….17分