精品解析：福建省龙岩市2024-2025学年高二上学期期末教学质量检查数学试题

龙岩市2024~2025学年第一学期期末高二教学质量检查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线经过点和点，则该直线的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 2. 设是等差数列，且，，则的通项公式为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线：与直线：平行，则实数为（ ） A. -3 B. 3 C. 3或-3 D. 1或-1 4. 二次函数图象的顶点的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 5. 设为正项等比数列的前项和，，，成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 16 D. 17 6. 要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有（ ） A. 75种 B. 144种 C. 288种 D. 360种 7. 中国传统乐器“埙”是汉族特有的闭口吹奏乐器，音色朴拙抱素独为地籁．有一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.已知半椭圆和半圆组成的曲线C如图所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点．当点M的坐标为时，的面积最大，则该半椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 14 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知n是正整数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线l：，圆P：，点M是圆P上的动点，则（ ） A. 直线l与圆P有2个不同的交点 B. 点M到直线距离的最小值为 C. 若直线l与圆P相交于A，B两点，则的最小值为 D. 若直线l是圆P的对称轴，点，则的最大值为 11. 已知数列的通项公式为，数列满足，，，则（ ） A. B. 数列是递增数列 C. D. 满足不等式的最小正整数n为7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在直线方程为______． 13. 已知椭圆C：的左焦点为F，点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，则的最小值为______． 14. 已知双曲线：的右焦点为，焦距为，点的坐标为．若在双曲线的右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，满足． （1）求n的值； （2）求的值． 16. 已知圆：，圆：． （1）证明：圆与圆相交； （2）若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 17. 已知正项数列的前n项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前n项和为．证明：对于任意，都有． 18. 折纸起源于大约公元1世纪或2世纪时的中国．折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，可按如下步骤折纸． 步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片翻折，使翻折上去的圆弧经过点，此时圆弧上与点重合的点标记为； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点； 步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点． 现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的标准方程； （2）设直线l：与曲线交于两点． ①若直线过点，且的面积为，求实数的值； ②若直线过定点，为坐标平面上的动点，直线斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上，若存在，求出该定直线的方程，若不存在，请说明理． 19. 已知有穷数列A：，满足，记，定义如下操作过程T：从A中任取两项，，将的值添在A的最后，然后删除，，这样得到一个项的新数列，继续实施一次操作过程T，得到的新数列记作，…，如此经过k次操作后得到的新数列记作． （1）设数列，求的所有可能的结果； （2）证明：； （3）设数列，求的可能结果，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩市2024~2025学年第一学期期末高二教学质量检查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线经过点和点，则该直线的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方向向量的定义即可求解. 【详解】由于直线经过点和点，故直线的方向向量与向量平行的向量， 故选：A 2. 设是等差数列，且，，则的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是等差数列，根据条件及公式，求出，代入公式，即可得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 则. 故选：B. 3. 若直线：与直线：平行，则实数为（ ） A. -3 B. 3 C. 3或-3 D. 1或-1 【答案】B 【解析】 【分析】由直线平行的判定，列出等式求解并验证即可； 【详解】由题意可得：， 解得：， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：即，与直线：，重合，舍去， 故， 故选：B 4. 二次函数图象的顶点的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数写出顶点坐标，即可得轨迹方程，判断轨迹图形即可. 【详解】由，则顶点坐标为， 所以顶点的轨迹是，为抛物线. 故选：C 5. 设为正项等比数列的前项和，，，成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 16 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值． 【详解】正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，a5，3a3，a4成等差数列， 可得6a3＝a5+a4，即6a1q2＝a1q4+a1q3， 化为q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去）， 则1+q4＝1+16＝17． 故选D． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题． 6. 要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有（ ） A. 75种 B. 144种 C. 288种 D. 360种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，先排数学，再排英语，最后排剩余课程，结合组合数运算求解. 【详解】先排数学，有种不同的排法； 再排英语，有种不同的排法； 最后排剩余课程，有种不同的排法； 所以不同的排法共有种. 故选：C. 7. 中国传统乐器“埙”是汉族特有的闭口吹奏乐器，音色朴拙抱素独为地籁．有一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.已知半椭圆和半圆组成的曲线C如图所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点．当点M的坐标为时，的面积最大，则该半椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点距离可得，即可根据与平行的直线且与半圆相切于点时，到直线的距离最大，即可根据求解. 【详解】由点在半圆上，所以， 由椭圆可知图中，， 要使的面积最大，当与AG平行的直线且与半圆相切于点时， M到直线AG的距离最大，此时， 即，∴，解得， 所以半椭圆的方程为 故选：C 8. 已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 14 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案. 【详解】由l：得， 由，得，，所以直线，过定点． 所以点的中点坐标为，连接AM， 则，由题意知点B在以AM为直径的圆上， 所以点B的轨迹方程为（不包含点）， 记圆的圆心为， 过点P，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，H， 则， 当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立， 所以的最小值为． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知n是正整数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由组合数、排列数的计算公式逐个判断即可； 【详解】正确； ，正确， ，错误， 由可知，D错误， 故选：AB 10. 已知直线l：，圆P：，点M是圆P上的动点，则（ ） A. 直线l与圆P有2个不同的交点 B. 点M到直线距离的最小值为 C. 若直线l与圆P相交于A，B两点，则的最小值为 D. 若直线l是圆P的对称轴，点，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求出直线l过定点，判断定点在圆内，即可判断； 对于B，圆P上一点M到直线的最小距离是圆心到直线的距离与圆的半径的差，从而可求出答案； 对于C，由A选项直线l过的定点，根据时，取得最小值，从而可求出答案； 对于D，由题意得，直线l过圆心P，代入圆心坐标，求得m，的最大值为圆心P与点之间的距离与圆的半径之和，从而可求出答案. 【详解】对于A，因为直线l：， 所以直线l： 所以，解方程组得 所以直线l恒过定点， 圆P：的圆心为，半径为； 由于，所以直线l恒过的定点在圆P内，所以直线l与圆P定有2个不同的交点，故A正确； 对于B，圆心到直线距离为，点M到直线距离的最小值为，故B错误； 对于C，当时，取得最小值， ，故C正确； 对于D，因为直线l是圆P的对称轴，所以圆心在直线l上，即，解得，所以 所以， 所以的最大值为，故D正确， 故选：ACD 11. 已知数列的通项公式为，数列满足，，，则（ ） A. B. 数列是递增数列 C. D. 满足不等式的最小正整数n为7 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列的通项公式求前三项判断A、B；根据及通项公式判断C；根据已知得，结合，判断D. 【详解】由，得，，，所以A正确； 因为，，所以B错误； 因为，，， 所以，，，，，，，，，，，，，，，，所以C正确； 因为，所以， ∴，即， 故，故， 所以，易知且单调递增， 由可知，，则，， 所以n的最小值为8，所以D错误． 故选：AC 【点睛】关键点点睛：利用递推式求相关项，并判断数列的单调性为关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据中点坐标以及中点坐标公式即可根据点斜式方程求解. 【详解】的中点坐标为, 则,故边上的中线所在直线方程为， 即， 故答案为： 13. 已知椭圆C：的左焦点为F，点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，则的最小值为______． 【答案】20 【解析】 【分析】画出图形，运用椭圆对称性和定义，设，则，，将的最小值问题转化为二次函数最值问题即可. 【详解】如图，假设右焦点为， 由对称性和椭圆定义可知：，， 设，则， 故， 则当时，取得最小值，最小值为20． 故答案为：20. 14. 已知双曲线：的右焦点为，焦距为，点的坐标为．若在双曲线的右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设的左焦点为，由已知作图，可得，根据圆周角定理得，再由三角形外角可得，即得，结合双曲线定义和勾股定理，即可化简得到，进而求出离心率的范围. 【详解】因为， 所以是以为圆心，为半径的圆与双曲线的交点， 设的左焦点为，则， ，， 又，，则． 在双曲线的右支上，，， 又在中，， ，即，解得， 又，． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，满足． （1）求n的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令即可得解. （2）根据乘法分配律，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】(1)∵， .∴令时，，∴. (2)由（1）知 ∴，∴. 16. 已知圆：，圆：． （1）证明：圆与圆相交； （2）若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 【答案】（1） 圆的标准方程为，圆心，半径； 圆的标准方程为，圆心，半径； 于是，即， 所以圆与圆相交. （2）. 【解析】 【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距即可推理得证. （2）联立两个圆的方程求出交点坐标，结合已知求出圆的方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得， 将代入圆得：，当时，；当时，， 则圆与圆的交点为，，线段AB的中点坐标为， 而圆心M在y轴上，因此圆心M为，所以圆M的方程为. 17. 已知正项数列的前n项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前n项和为．证明：对于任意，都有． 【答案】（1） （2） 由（1）得，， 又，则， 则 . 【解析】 【分析】（1）运用之间的关系式，结合等差数列性质公式计算即可； （2）运用裂项相消法计算，结合不等式性质，证明即可. 【小问1详解】 ∵， 当时，， ∴两式相减并化简得， 又，则； 当时，， 即，∴， ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴. 【小问2详解】 略 18. 折纸起源于大约公元1世纪或2世纪时的中国．折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，可按如下步骤折纸． 步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片翻折，使翻折上去的圆弧经过点，此时圆弧上与点重合的点标记为； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点； 步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点． 现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的标准方程； （2）设直线l：与曲线交于两点． ①若直线过点，且的面积为，求实数的值； ②若直线过定点，为坐标平面上的动点，直线斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上，若存在，求出该定直线的方程，若不存在，请说明理． 【答案】（1） （2）①；②点N是在定直线上． 【解析】 【分析】（1）以所在的直线为x轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，由，即可求解； （2）①由直线过焦点可得直线l：，联立椭圆方程，由弦长公式及点到线的距离公式，求出面积列出等式求解即可；②设点，设点、， 由直线l过定点，得到AB的方程为，联立椭圆方程，由，列出等式求解即可. 【小问1详解】 以所在的直线为x轴，的中点为原点建立平面直角坐标系， 设为椭圆上一点，由题意可知且， 则曲线是以为左右焦点，长轴长，焦距的椭圆， 其中，，，所以曲线的标准方程为． 【小问2详解】 （2）①由（1）知，直线l：过， 可得：，即， 所以由直线l：与曲线的标准方程联立方程组， 消去y得，． 设两交点，，则有，， 所以， 又椭圆左焦点到直线l：的距离为， 所以， 解得或（舍去），即; （2）②解：设点，设点、， 因为直线l过定点，所以直线的方程为， 联立 消去y得，． ∴，，，，， 因为直线斜率的倒数成等差数列，即， 所以，，即， 将，代入上述等式可得， 当时点N在l上，显然满足 当时，， 整理可得， 可得， 即， 即对任意的恒成立， 所以，，解得或． 由于的斜率不为0，所以，故； 所以点是在定直线上． 【点睛】关键点点睛：②点，设点、，由， 化简得到对任意的恒成立. 19. 已知有穷数列A：，满足，记，定义如下操作过程T：从A中任取两项，，将的值添在A的最后，然后删除，，这样得到一个项的新数列，继续实施一次操作过程T，得到的新数列记作，…，如此经过k次操作后得到的新数列记作． （1）设数列，求的所有可能的结果； （2）证明：； （3）设数列，求的可能结果，并说明理由． 【答案】（1）；；； （2）证明见解析； （3），理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知及新定义求的所有可能的结果； （2）应用作差法比较与大小，即可证结论； （3）对于满足的实数a，b定义运算：，先证明运算满足交换律、结合律，再应用运算律求经过4次操作后的余项，即可得结果. 【小问1详解】 依题可得：，此时． ，此时． ，此时． 综上可得：有如上的三种可能结果；；． 【小问2详解】 因为，有 又，所以； 【小问3详解】 对于满足的实数a，b定义运算：， 下面证明这种运算满足交换律和结合律： 因为，且，所以，即该运算满足交换律； 又， 且， 所以，即该运算满足结合律． 所以中的项与实施的具体操作过程无关． 选择如下操作过程求： 由（1）可知；；；；； 所以的其中一种结果为，0，0，0，0，因此经过4次操作后剩下一项为． 综上可知：． 【点睛】关键点点睛：第三问，首先定义新运算，再证明满足交换律和结合律，最后利用运算律求经过4次操作后的余项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $