精品解析：江西省南昌市江西科技学院附属中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试卷

江西科技学院附属中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试卷 卷面分数：150分：考试时间：120分钟：命题人：高一年级备课组：审题人：高一年级备课组 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数解出集合，再求交集即可； 【详解】由可得，所以， 所以 故选：B. 2. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，，， 所以的大小关系为. 故选：C 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值不等式、一元二次不等式的解法，结合充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】由题意的解集为， 的解集为，则， 故“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：B． 4. 已知，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，由求出； B选项，对因式分解，结合基本不等式进行求解，得到； C选项，由基本不等式“1”的妙用求解得到， D选项，变形使用基本不等式进行求解. 【详解】因为，所以， 故，当且仅当时，等号成立，A错误； ，因为， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立， 故，B错误； 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故，C错误； 因为， 所以 因为，所以，故， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：D 5. 有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出原始数据的下四分位数为3，再重新求得新的一组数据的下四分位数，求出满足题意的所有的取值，即可求得相应概率. 【详解】易知样本数据共6个，，因此样本数据的下四分位数为第2个数，即3； 添加一个数构成一组新的样本数据共有7个数，，因此新数据的下四分位数为第2个数，也得为3； 所以添加的数大于等于3即可满足题意，即可以为； 在中任选一个作为共有6种选择， 因此所求概率. 故选：C 6. 已知函数（，且）的图象经过定点，则函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指、对数函数的定点可得，再判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为函数（，且）的图象经过定点， 则，解得， 可得， 可知在定义域内单调递增，且，， 所以函数的唯一零点所在的区间为. 故选：A. 7. 已知函数为上的奇函数，且，当时，，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质得出，可求出的值，推导出函数是以为周期的周期函数，结合周期性可得出的值. 【详解】因为函数为上的奇函数，则， 当时，，则，解得， 故当时，， 对任意的，，可得， 故，所以函数是以为周期的周期函数， 因为，， 所以，， 所以. 故选：C. 8. 若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法结合奇偶性定义判断即可. 【详解】令得，所以， 令得，所以， 令得， 令得， 所以是奇函数， 故选：A 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是奇函数，则的值为（ ） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分析有意义的条件，结合奇函数定义域关于原点对称的性质列方程求，再由，化简求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 由有意义可得， 所以当时，， 当时，，且， 因为函数是奇函数， 所以函数的定义域关于原点对称，故，其，所以， 因为是奇函数， 所以， 所以， 又， ， 所以，故， 所以， 故选：B. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 采用分层抽样的方法从某校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为，则应从一年级中抽取90名学生； B. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 C. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率为； D. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差； 【答案】ACD 【解析】 【分析】对选项A，利用分层抽样求解即可；对选项B，根据至少有一个黑球与至少有一个红球的交事件为一个黑球，一个红球，即可判断B错误；对选项C，利用古典概型公式求解即可；对选项D，首先计算新数据的平均数，再计算方差即可判断D正确. 【详解】对选项A，一年级中抽取人，故A正确. 对选项A，令事件：至少一个黑球，包含两个黑球和一个黑球，一个红球， 事件：至少一个红球，包含两个红球和一个黑球，一个红球， 则为一个黑球，一个红球，则不互斥，则B错误； 对选项C，恰好取到1件次品的概率为，故C正确； 对选项D，设这个数为，，……， 则，， 现加入一个新数据4，平均数为， 方差， 故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，当时，则下列说法正确的有（   ） A. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C. 函数的零点个数为5个 D. 函数零点个数为4个 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的性质，可得函数关于直线对称，然后对选项逐项分析即可. 对于选项A，作出函数大致图象.结合函数图象和对数的运算知函数的零点与的关系，且得到的取值范围即可.对于B,由与的关系化简，利用的范围及函数的单调性求得取值范围即可.对于C，由函数的零点，得到时的值，然后分别由函数图像知道对应零点个数即可.对于D，令，求得的值，分别求解方程，即可求得函数的零点个数即可. 【详解】对于A，当时，， 所以， 当时，，， 则函数关于对称， 当时，，， ∴函数的大致图象如下图， 令，则，，，为方程的解，则， 由，可得，∴，则， 由图可知，，∴，故A错误； 对于B,∵，∴，且∴， 令，因函数在上单调递减，则，故B正确； 对于C，∵有两个零点或，∴时，或， 当时，由函数图象可知，函数有3个零点， 当时，由函数图象可知，函数有2个零点， ∴函数存在5个零点，C正确； 对于D，令，即， 则或或， ，即；，即；，无解； ，即；，无解；，即； 故函数有4个零点，D正确. 故选：BCD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“”是假命题，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用命题的否定为真命题，可求得的取值范围. 【详解】显然其否定为真命题，于是，可知的取值范围是， 故答案为：. 13. 甲、乙、丙、丁四位同学组成两队进行乒乓球比赛，先从四人中选出两个人组成一队，剩下的两位同学组成另一队，则甲、乙两位同学不在同一队的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意计算基本事件总数，再利用古典概型概率公式即可求得答案． 【详解】甲乙丙丁四名同学任选2名组成同一组，余下的2名为另一组， {甲乙，丙丁}，{甲丙，乙丁}，{甲丁，乙丙}，共3种基本事件， 甲乙在同一组有{甲乙，丙丁}，1种基本事件， 甲乙不在同一小组有{甲丙，乙丁}，{甲丁，乙丙}，共2种基本事件. 因此甲、乙两位同学不在同一队的概率为. 故答案为：. 14. 定义：为实数、中较小的数，已知，其中、均为正实数，且，则的最大值是____________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：由已知条件可得出，，结合不等式的基本性质得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可得出的最大值； 方法二：由得，可求得，可得出，画出函数、的图象，数形结合可得出的最大值. 【详解】方法一：由题意可知，且，， 由不等式的基本性质可得， 而， 即， 又因为，所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此的最大值为； 方法二：由得，由可得， 所以，则， 画出函数、的图象， 由图可知，当时，即时， 即当时，取最大值，且其最大值为. 故答案为：. 15. 已知全集，集合，函数的定义域为B． （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求集合，再根据集合的交，并，补运算公式，即可求解； （2）分集合和两种情况，比较端点值，列不等式，即可求解. 【小问1详解】 ， 对于函数，有，解得，则. ，则； 【小问2详解】 当时，，得到，符合题意； 当时，或，解得或. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 某校开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数； （2）用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于6小时的学生中抽出6人，从这6人中随机选出2人作为该活动的形象大使，求这2人都来自这组的概率. 【答案】（1），6.92小时 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各矩形面积和为1求出的值，再根据频率分布直方图平均数的计算公式求平均数即可； （2）利用分层抽样的定义求出各组的人数，然后利用列举法求概率即可. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 又由频率分布直方图可得， 所以估计全校学生周平均阅读时间的平均数为6.92小时. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知和三组的频率的比为， 所以利用分层抽样的方法抽取6人，这三组被抽取的人数分别为 记中的3人为中的2人为中的2人为， 从这6人中随机选出2人， 则样本空间共15个样本点， 设事件选出的2人都来自，则共3个样本点， 所以. 17. 已知函数 （1）计算的值： （2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； （3）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求出对称中心. 【答案】（1）； （2） 函数在上单调递减.证明如下： 任取，且， 因为，所以， 所以，即，故函数在上单调递减. （3） 证明：设，则. 因为函数定义域为， 且， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 因为是由的图象左平移一个单位，再向下平移1个单位， 故的图象关于点成中心对称图形. 【解析】 【分析】（1）将代入求值即可 （2）利用单调性得定义证明即可； （3）构造，只需证明为奇函数即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知函数． （1）若为偶函数，求实数的值； （2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数得，解得，再用定义法进行证明； （2）记，判断出在上单调递增，列不等式组求出实数a的取值范围； （3）先判断出在上单调递增且，令，把问题转化为问题转化为在上有两不同实数根，令，利用图象有两个交点，列不等式求出实数m的取值范围． 【小问1详解】 定义域为， 因为为偶函数，所以， 即， 即，解得：， 此时，定义域为R， 且， 所以为偶函数，符合题意， 所以； 【小问2详解】 当时，， 不等式，即， 可化为：， 即对任意恒成立， 记，只需， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，解得：， 即实数的取值范围为； 【小问3详解】 当时，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，且， 则可化为， 又因为在上单调递增，所以， 换底得：， 即， 令，则， 问题转化为在上有两不同实数根， 即有两不同实数根， 令， 分别作出图象如图所示： 故在上有两根，只需，解得：， 即实数的取值范围为． 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由； （2）若幂函数使得在上是“伪奇函数”，求实数的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合. 【答案】（1）不是“伪奇函数“，也不是“伪偶函数“， （2）实数的取值范围为； （3）整数的取值集合为 【解析】 【分析】（1）判断“伪奇函数”：计算，看是否有非零解；判断“伪偶函数”：计算，看是否有非零解； （2）先确定幂函数，再根据“伪奇函数”定义得方程，通过换元法结合函数性质求范围； （3）根据“伪奇函数”定义得方程，换元后转化为二次方程在给定区间有解问题，分情况讨论对称轴与区间关系求解范围. 【小问1详解】 由题可知，则， 则，因为恒成立， 不存在使得，即不存在非零实数使得，故不是“伪奇函数”； ，， 若，则， 故不存在非零实数使得，故不是“伪偶函数”； 【小问2详解】 因为是幂函数，则，所以， 故，所以， 则，所以，因为且， 所以在上有非零实数解，则且， 令，且，令，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以，当且，， 故， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 由定义可得，，则， 所以在上存在非零实数解， 令，，故， 即方程在开区间上存在非零实数解， 令，，对称轴为， 当时，，满足题意； 当时，则， 所以，故； 当时，则， 即，即. 综上，，则满足整数的取值集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西科技学院附属中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试卷 卷面分数：150分：考试时间：120分钟：命题人：高一年级备课组：审题人：高一年级备课组 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（，且）的图象经过定点，则函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为上的奇函数，且，当时，，则的值为（   ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是奇函数，则的值为（ ） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 10. 下列说法正确的是（ ） A. 采用分层抽样的方法从某校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为，则应从一年级中抽取90名学生； B. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 C. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率为； D. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差； 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，当时，则下列说法正确的有（   ） A. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C. 函数的零点个数为5个 D. 函数零点个数为4个 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“”是假命题，则的取值范围是___________. 13. 甲、乙、丙、丁四位同学组成两队进行乒乓球比赛，先从四人中选出两个人组成一队，剩下的两位同学组成另一队，则甲、乙两位同学不在同一队的概率为______. 14. 定义：为实数、中较小的数，已知，其中、均为正实数，且，则的最大值是____________. 15. 已知全集，集合，函数的定义域为B． （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 16. 某校开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数； （2）用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于6小时的学生中抽出6人，从这6人中随机选出2人作为该活动的形象大使，求这2人都来自这组的概率. 17. 已知函数 （1）计算的值： （2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； （3）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求出对称中心. 18. 已知函数． （1）若为偶函数，求实数的值； （2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由； （2）若幂函数使得在上是“伪奇函数”，求实数的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $