第9章 因式分解 提优测试卷 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第9章 因式分解 提优测试卷 2025-2026学年苏科版八年级下 一．选择题（共10小题） 1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 2．多项式12ab3c+8a3b的公因式是（　　） A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab 3．已知实数a满足a2﹣2a﹣3＝0，则代数式a3﹣2a2﹣3a+5的值为（　　） A．﹣5 B．0 C．5 D．﹣3 4．计算（﹣2）2025+（﹣2）2026的结果为（　　） A．﹣22025 B．﹣22026 C．22025 D．22026 5．关于x的二次三项式x2﹣ax+36能用完全平方公式分解因式，则a的值是（　　） A．﹣6 B．±6 C．12 D．±12 6．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（　　） A．被8整除 B．被m整除 C．被（m﹣1）整除 D．被（2m﹣1）整除 7．已知多项式4x2+k在有理数范围可以分解因式，则k的值可以是（　　） A．9 B．﹣15 C．﹣y3 D．5x 8．小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）（a+b） B．a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b） C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b） 9．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（　　）cm2． A． B． C．15 D．16 10．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）．如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有（　　） （1）F（48）； （2）15和26是“吉祥数”； （3）“吉祥数”中，F（t）的最大值为． （4）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题） 11．因式分解：x2y﹣xy2＝　 　 ． 12．已知x+y＝3，xy＝﹣4，则x2y+xy2的值是 　 　 ． 13．现在生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝8，y＝8时，则各个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝16，x2+y2＝128，把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式x3﹣xy2，取x＝15，y＝5时，请你写出用上述方法产生的密码 　 　 ． 14．已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 　 　 ． 15．若实数x，y，z满足x+y+z＝0，x2+y2+z2＝1，则x4+y4+z4的值为　 　 ． 16．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“智慧数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，则8，16均为“智慧数”），在不超过321的正整数中，所有的“智慧数”之和为　 　 ． 三．解答题（共10小题） 17．分解因式： （1）4（a﹣b）3+8（b﹣a）2； （2）（2x+y）2﹣（x+2y）2． 18．已知a，b，c是△ABC的三条边．求证：a2+c2＜b2+2ac． 19．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为acm的大正方形，2块是边长都为bcm的小正方形，5块长是acm，宽为bcm的相同的小长方形，且a＞b． （1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 　 　 ； （2）若图中阴影部分的面积为34cm2，大长方形纸板的周长为30cm． ①求a+b的值； ②求图中空白部分的面积． 20．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2．由此得到（a+b）2＝a2+2ab+b2． （1）如图2，正方形ABCD是由四个边长为a，b的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是　 　 ；（用a，b表示） （2）请你用若干块如图1所示的长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解；a2+3ab+2b2．要求：在图3的框中画出图形，写出分解的因式． （3）请你用（1）发现的等式解决问题：已知两数x，y满足x+y＝3，，求x2﹣y2的值． 21．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解． 例如：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4） 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y； （2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0判断△ABC的形状，并说明理由． 22．阅读理解并解答： 我们把多项式a2+2ab+b2，a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． （1）例如：①x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2， ∵（x+1）2是非负数，即（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2， 则当x＝﹣1时，代数式x2+2x+3的最小值是2； ②3x2﹣12x+5＝3（x2﹣4x）+5＝3（x2﹣4x+4﹣4）+5＝3（x﹣2）2﹣12+5＝3（x﹣2）2﹣7， ∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0，∴3（x﹣2）2﹣7≥﹣7， 则当x＝2时，代数式3x2﹣12x+5存在最小值﹣7． （1）知识再现：当x＝ 　 　 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 　 　 ； （2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； （3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值． 23．关于x的代数式ax2+bx+c，其中a≠0，若存在实数m，使得当x＝m时代数式的值为2m，则称m为这个代数式的“二倍值”．例如：对于代数式2x2，当x＝0时，代数式的值为0，当x＝1时，代数式的值为2，则称0和1都是代数式2x2的“二倍值”． （1）代数式x2+1的“二倍值”是　 　 ． （2）判断代数式x2﹣2x+5是否有“二倍值”．若有，请求出该代数式的“二倍值”；若没有，请说明理由． （3）餐饮店中某道菜品的成本价为每盘5元，在某段时间内，若每盘菜以x元销售，可售出（14﹣x）盘，若售价x为这段时间内总利润的“二倍值”，求这道菜的售价． 24．观察下列算式，完成问题． 算式①：42﹣22＝12＝4×3； 算式②：62﹣42＝20＝4×5； 算式③：82﹣62＝28＝4×7； 算式④：102﹣82＝36＝4×9； …… （1）按照以上算式的规律，请写出算式⑥：　 　 ； （2）小明将上述算式用文字表示为：“两个连续偶数的平方差一定是4的倍数”．你认为这句话正确吗？为什么？ 25．阅读下列材料： “我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 应用一：分解因式a2+2a﹣3． 我们可以进行以下操作：先配方a2+2a﹣3＝（a2+2a+1）﹣4＝（a+1）2﹣4 再利用平方差公式可得a2+2a﹣3＝（a+1+2）（a+1﹣2）＝（a+3）（a﹣1）； 应用二：求代数式y2+6y+14的最小值． 解：y2+6y+14＝（y2+6y+9）+5＝（y+3）2+5 ∵（y+3）2≥0∴（y+3）2+5≥5 ∴当y+3＝0，即y＝﹣3时，y2+6y+14的最小值是5. 【问题解决】 （1）分解因式：x2﹣2x﹣15＝　 　 ． （2）代数式m2﹣6m+11的最小值 　 　 ； （3）某养殖场要将一块长为8米宽为4米的矩形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽增加x米，请问：当x取何值时，矩形区域的面积S最大？最大值是多少？ 26．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数． 例如：3＝22+12﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11… 所以3，39，147是“希尔伯特”数． （1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数． （2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3． （3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C D A D B A D 1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 【解答】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 2．多项式12ab3c+8a3b的公因式是（　　） A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab 【解答】解：12ab3c+8a3b＝4ab（3b2c+2a2）， 故选：D． 3．已知实数a满足a2﹣2a﹣3＝0，则代数式a3﹣2a2﹣3a+5的值为（　　） A．﹣5 B．0 C．5 D．﹣3 【解答】解：∵a2﹣2a﹣3＝0， ∴a3﹣2a2﹣3a＝0， ∴a3﹣2a2﹣3a+5＝0+5＝5， 故选：C． 4．计算（﹣2）2025+（﹣2）2026的结果为（　　） A．﹣22025 B．﹣22026 C．22025 D．22026 【解答】解：（﹣2）2025+（﹣2）2026 ＝（﹣2）2025×[1+（﹣2）] ＝（﹣2）2025×（﹣1） ＝﹣22025×（﹣1） ＝22025， 故选：C． 5．关于x的二次三项式x2﹣ax+36能用完全平方公式分解因式，则a的值是（　　） A．﹣6 B．±6 C．12 D．±12 【解答】解：依题意，得 ax＝±2×6x， 解得：a＝±12． 故选：D． 6．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（　　） A．被8整除 B．被m整除 C．被（m﹣1）整除 D．被（2m﹣1）整除 【解答】解：（4m+5）2﹣9＝（4m+5）2﹣32， ＝（4m+8）（4m+2）， ＝8（m+2）（2m+1）， ∵m是整数，而（m+2）和（2m+1）都是随着m的变化而变化的数， ∴该多项式肯定能被8整除． 故选：A． 7．已知多项式4x2+k在有理数范围可以分解因式，则k的值可以是（　　） A．9 B．﹣15 C．﹣y3 D．5x 【解答】解：已知多项式4x2+k在有理数范围可以分解因式， 当k＝9时，4x2+9无法因式分解，则A不符合题意， 当k＝15时，4x2﹣15无法因式分解，则B不符合题意， 当k＝﹣y3时，4x2﹣y3无法因式分解，则C不符合题意， 当k＝5x时，4x2+5x＝x（4x+5），则D符合题意， 故选：D． 8．小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）（a+b） B．a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b） C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b） 【解答】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成， ∴大长方形的面积为a2+3ab+2b2， 由图可知，大长方形的长为（a+2b），宽为（a+b）， ∴大长方形的面积为（a+2b）（a+b）， ∴可以得到一个因式分解的等式为a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），故B正确． 故选：B． 9．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（　　）cm2． A． B． C．15 D．16 【解答】解：∵长方形的周长为16cm， ∴2（x+y）＝16， ∴x+y＝8①； ∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0， ∴（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0， ∴（x﹣y﹣1）2＝0， ∴x﹣y＝1②． 联立①②，得， 解得：， ∴长方形的面积S＝xy（cm2）， 故选：A． 10．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）．如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有（　　） （1）F（48）； （2）15和26是“吉祥数”； （3）“吉祥数”中，F（t）的最大值为． （4）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：（1）∵48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，而48﹣1＞24﹣2＞16﹣3＞12﹣4＞8﹣6，6×8是48的最佳分解， ∴F（48），故正确； （2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x， ∵t是“吉祥数”， ∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝36， ∴y＝x+4， ∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数， ∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59，故正确； （3）F（15），F（26），F（37），F（48），F（59）， ∵， ∴“吉祥数”中，F（t）的最大值为，故正确． 故说法正确的有4个． （4）∵m是一个完全平方数， 设m＝x2（x＞0）， ∴x×x是m的最佳分解， ∴F（m）1，故正确； 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．因式分解：x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）　 ． 【解答】解：原式＝xy（x﹣y）， 故答案为：xy（x﹣y）． 12．已知x+y＝3，xy＝﹣4，则x2y+xy2的值是 　﹣12　 ． 【解答】解：∵x2y+xy2＝xy（x+y）， 将x+y＝3，xy＝﹣4代入， 原式＝﹣4×3＝﹣12． 故答案为：﹣12． 13．现在生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝8，y＝8时，则各个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝16，x2+y2＝128，把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式x3﹣xy2，取x＝15，y＝5时，请你写出用上述方法产生的密码 　101520　 ． 【解答】解：x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x﹣y）（x+y）， 当x＝15，y＝5时，x+y＝20，x﹣y＝10， 将它们按从小到大排列得到101520， 故用上述方法产生的密码是：101520． 故答案为：101520． 14．已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 　等腰三角形　 ． 【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc， ∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0． ∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0． ∵在△ABC中，a+b＞c， ∴a+b﹣c＞0． ∴a﹣b＝0，即a＝b． ∴△ABC是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 15．若实数x，y，z满足x+y+z＝0，x2+y2+z2＝1，则x4+y4+z4的值为　　 ． 【解答】解：因为x+y+z＝0， 所以（x+y+z）2＝0， 即x2+y2+z2+2（xy+yz+xz）＝0， 因为x2+y2+z2＝1， 所以2（xy+yz+xz）＝﹣1， 所以xy+yz+xz， x2y2+y2z2+x2z2 ＝（xy+yz+xz）2﹣2xyz（x+y+z） ， x4+y4+z4 ＝（x2+y2+z2）2﹣2（x2y2+y2z2+x2z2） ． 故答案为：． 16．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“智慧数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，则8，16均为“智慧数”），在不超过321的正整数中，所有的“智慧数”之和为　6560　 ． 【解答】解：设相邻的两个奇数分别为（2n+1）、（2n﹣1），（n≥1，且n为正整数）， （2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1） ＝8n， 因为8n≤321， 所以， 所以n最大为40，此时2n+1＝81，2n﹣1＝79， 所以有： 32﹣12+52﹣32+72﹣52+……+792﹣772+812﹣792 ＝812﹣12 ＝6560． 答：在不超过321的正整数中，所有的“智慧数”之和为6560． 故答案为：6560． 三．解答题（共10小题） 17．分解因式： （1）4（a﹣b）3+8（b﹣a）2； （2）（2x+y）2﹣（x+2y）2． 【解答】解：（1）4（a﹣b）3+8（b﹣a）2 ＝4（a﹣b）3+8（a﹣b）2 ＝4（a﹣b）2（a﹣b+2）； （2）（2x+y）2﹣（x+2y）2． ＝[（2x+y）+（x+2y）][（2x+y）﹣（x+2y）] ＝（3x+3y）（x﹣y） ＝3（x+y）（x﹣y）． 18．已知a，b，c是△ABC的三条边．求证：a2+c2＜b2+2ac． 【解答】证明：因为a，b，c是△ABC的三条边， 所以a﹣c＜b，c﹣a＜b， 可得|a﹣c|＜b， 两边同时平方得（a﹣c）2＜b2， 即a2+c2﹣2ac＜b2， 即a2+c2＜b2+2ac． 19．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为acm的大正方形，2块是边长都为bcm的小正方形，5块长是acm，宽为bcm的相同的小长方形，且a＞b． （1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 　（a+2b）（b+2a）　 ； （2）若图中阴影部分的面积为34cm2，大长方形纸板的周长为30cm． ①求a+b的值； ②求图中空白部分的面积． 【解答】解：（1）通过观察图形可以得出图形的面积是：（2a2+5ab+2b2）cm2的面积 长方形的长是（2a+b）cm，宽是（a+2b）， 由此可得：（2a2+5ab+2b2）＝（a+2b）（b+2a）， 故答案为：（a+2b）（b+2a）； （2）①根据长方形的周长为30cm，可得： 2（2a+b+a+2b）＝30， 2（3a+3b）＝30， 6（a+b）＝30， a+b＝5． 答：a+b的值为5． ②空白部分的面积为5abcm2， 根据①得：a+b＝5， ∵阴影部分的面积为34cm2， 且阴影部分的面积表示为2a2+2b2， 故a2+b2＝17， ∵（a+b）2﹣2ab＝a2+b2， ∴52﹣2ab＝17， ∴ab＝4， ∴5ab＝20． 答：空白部分的面积为20cm2． 20．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2．由此得到（a+b）2＝a2+2ab+b2． （1）如图2，正方形ABCD是由四个边长为a，b的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ；（用a，b表示） （2）请你用若干块如图1所示的长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解；a2+3ab+2b2．要求：在图3的框中画出图形，写出分解的因式． （3）请你用（1）发现的等式解决问题：已知两数x，y满足x+y＝3，，求x2﹣y2的值． 【解答】解：（1）根据用不同的方法对图2的面积进行计算，发现的等式是（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）如图， a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）． （3）由（1）得（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy． 又∵x+y＝3，， ∴， ∴， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝±6． 21．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解． 例如：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4） 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y； （2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0判断△ABC的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y） ＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）； （2）△ABC为等腰三角形．、 理由如下： ∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0， ∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0， （a﹣b）（a+b﹣c）＝0， ∵a、b、c为）△ABC三边， ∴a+b﹣c＞0， ∴a﹣b＝0，即a＝b， ∴△ABC为等腰三角形． 22．阅读理解并解答： 我们把多项式a2+2ab+b2，a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． （1）例如：①x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2， ∵（x+1）2是非负数，即（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2， 则当x＝﹣1时，代数式x2+2x+3的最小值是2； ②3x2﹣12x+5＝3（x2﹣4x）+5＝3（x2﹣4x+4﹣4）+5＝3（x﹣2）2﹣12+5＝3（x﹣2）2﹣7， ∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0，∴3（x﹣2）2﹣7≥﹣7， 则当x＝2时，代数式3x2﹣12x+5存在最小值﹣7． （1）知识再现：当x＝ 　3　 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 　3　 ； （2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； （3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值． 【解答】解：（1）x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3， ∵（x﹣3）2≥0， ∴当（x﹣3）2＝0，即x＝3时，代数式取得最小值，最小值为0+3＝3． 故答案为：3，3； （2）原式＝﹣（x2﹣2x）﹣3 ＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）﹣3 ＝﹣[（x﹣1）2﹣1]﹣3 ＝﹣（x﹣1）2﹣2， ∴﹣（x﹣1）2≤0； ∴当﹣（x﹣1）2＝0，即x＝1时，y有最大值，最大值y＝﹣（1﹣1）2﹣2＝﹣2； （3）由﹣x2+3x+y+5＝0得y＝x2﹣3x﹣5； 则y+x＝（x2﹣3x﹣5）+x＝x2﹣2x﹣5＝x2﹣2x+1﹣6＝（x﹣1）2﹣6， ∵（x﹣1）2≥0， ∴最小值为﹣6． 23．关于x的代数式ax2+bx+c，其中a≠0，若存在实数m，使得当x＝m时代数式的值为2m，则称m为这个代数式的“二倍值”．例如：对于代数式2x2，当x＝0时，代数式的值为0，当x＝1时，代数式的值为2，则称0和1都是代数式2x2的“二倍值”． （1）代数式x2+1的“二倍值”是　1　 ． （2）判断代数式x2﹣2x+5是否有“二倍值”．若有，请求出该代数式的“二倍值”；若没有，请说明理由． （3）餐饮店中某道菜品的成本价为每盘5元，在某段时间内，若每盘菜以x元销售，可售出（14﹣x）盘，若售价x为这段时间内总利润的“二倍值”，求这道菜的售价． 【解答】解：（1）由题意得x2+1＝2x， 解得x1＝x2＝1， ∴1是代数式x2+1的“二倍值”， 故答案为：1． （2）代数式x2﹣2x+5没有“二倍值”，理由如下： 由题意得x2﹣2x+5＝2x，即x2﹣4x+5＝0， Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0， ∴方程没有实数解， 故代数式x2﹣2x+5没有“二倍值”． （3）菜总售价为x（14﹣x）， 总利润为x（14﹣x）﹣5（14﹣x）＝﹣x2+19x﹣70， ﹣x2+19x﹣70＝2x， 解得x1＝7，x2＝10． 故这道菜的售价为7元或10元． 24．观察下列算式，完成问题． 算式①：42﹣22＝12＝4×3； 算式②：62﹣42＝20＝4×5； 算式③：82﹣62＝28＝4×7； 算式④：102﹣82＝36＝4×9； …… （1）按照以上算式的规律，请写出算式⑥：　142﹣122＝52＝4×13　 ； （2）小明将上述算式用文字表示为：“两个连续偶数的平方差一定是4的倍数”．你认为这句话正确吗？为什么？ 【解答】解：（1）142﹣122＝52＝4×13． 故答案为：142﹣122＝52＝4×13． （2）正确． 设这两个连续的偶数为2n和2n+2． （2n+2）2﹣（2n）2 ＝4n2+8n+4﹣4n2 ＝8n+4 ＝4（2n+1）； 因为2n+1是整数， 所以4（2n+1）一定能被4整除． 25．阅读下列材料： “我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 应用一：分解因式a2+2a﹣3． 我们可以进行以下操作：先配方a2+2a﹣3＝（a2+2a+1）﹣4＝（a+1）2﹣4 再利用平方差公式可得a2+2a﹣3＝（a+1+2）（a+1﹣2）＝（a+3）（a﹣1）； 应用二：求代数式y2+6y+14的最小值． 解：y2+6y+14＝（y2+6y+9）+5＝（y+3）2+5 ∵（y+3）2≥0∴（y+3）2+5≥5 ∴当y+3＝0，即y＝﹣3时，y2+6y+14的最小值是5. 【问题解决】 （1）分解因式：x2﹣2x﹣15＝　（x+3）（x﹣5）　 ． （2）代数式m2﹣6m+11的最小值 　2　 ； （3）某养殖场要将一块长为8米宽为4米的矩形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽增加x米，请问：当x取何值时，矩形区域的面积S最大？最大值是多少？ 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝（x2﹣2x+1）﹣16＝（x﹣1）2﹣42＝（x﹣1+4）（x﹣1﹣4）＝（x+3）（x﹣5）； （2）m2﹣6m+11＝（m2﹣6m+9）+2＝（m﹣3）2+2． ∵（m﹣3）2≥0， ∴（m﹣3）2+2≥2． ∴代数式m2﹣6m+11的最小值是2； （3）S＝（8﹣x）（4+x）＝32+8x﹣4x﹣x2＝32﹣（x2﹣4x）＝32﹣（x2﹣4x+4）+4＝36﹣（x﹣2）2． ∵（x﹣2）2≥0， ∴x﹣2＝0，即x＝2时，36﹣（x﹣2）2最大，为36． 答：当x取2时，矩形区域的面积S最大，最大值是36． 26．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数． 例如：3＝22+12﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11… 所以3，39，147是“希尔伯特”数． （1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数． （2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3． （3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数． 【解答】解：（1）∵0＝02+02×0，1＝12+02﹣1×0，3＝22+11﹣2×1，4＝22+02﹣2×0，7＝22+32﹣2×3，9＝32+02﹣3×0， ∴10以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9； （2）设“希尔伯特”数为（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（n为自然数） ∵（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）＝4n2+3， ∵4n2能被4整除， ∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3． （3）设两个“希尔伯特”数分别为：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）和（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（m，n为自然数）． 由题意：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）﹣[（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）]＝224， ∴m2﹣n2＝56， ∴（m+n）（m﹣n）＝56， 可得整数解：或， ∴这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $