精品解析：重庆潼南区2025一2026学年度第一学期期末检测 九年级数学试题

2025-2026学年度第一学期期未检测九年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下列纹样的示意图中，是中心对称图形的是（ ） A. 如意云纹 B. 涡旋云纹 C. 四瓣结纹 D. 回字纹 2. 下列事件中，是必然事件的是 A. 人中至少有人是同月出生 B. 打开电视机，正在播放广告 C. 某投篮高手投篮一次就进球 D. 抛掷一枚质地均匀的骰子，点朝上 3. 如图，四边形内接于，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到新的图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 小王练习射击，共射击次，其中有85次击中靶子，由此可估计小王射击一次击中靶子的概率约为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 某商店去年月份盈利元，月份的盈利达到元，则该商店这两个月盈利的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别以B，C为圆心，的长为半径画弧，与，的延长线分别交于点D，E，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 从，，三个实数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．下列说法： ①若，则三个数中最小的数是； ②若，且三个数中最小的数是，则或； ③给定，，三个数，将第一次操作的三个结果，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，以此类推，第次操作的结果是，，则的值为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若是方程的一个根，则的值为_________________． 12. 2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“马”、“到”、“成”、“功”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“成功”的概率是________． 13. 如图，半径为的正六边形内接于，则该正六边形的边心距OM为_______________． 14. 抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 15. 如图，的直径垂直于弦，垂足为，是圆上一点，是的中点，连接交于点，连接，若，则的长度为_______________，的长度为______________． 16. 我们规定：如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，则称这个四位数为“长久数”．例如：四位数6352，因为，所以6352是“长久数”．按照这个规定，最小的“长久数”是_______________；将一个“长久数”的千位数字与十位数字调换位置，再将百位数字去掉，得到一个新的三位数记为，记，．若能被7整除，则当取得最小值时，满足条件的的最大值是_________________． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 19. 不透明袋子中装有2个红球和1个绿球，除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，求摸出的球是红球的概率； （2）从袋子中随机摸出一个球记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个绿球的概率． 20. 已知二次函数． （1）求该函数图象的对称轴、顶点坐标以及图象与轴的交点坐标； （2）完成表格，再在给定的平面直角坐标系中描点画出这个函数的图象； 0 1 2 3 4 （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 21. 如图，是的直径，点C，D在上，． （1）求证：是的切线； （2）若，求劣弧的长． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，判断该方程实数根的个数，并说明理由； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 23. 如图，某中学为提升学生的综合实践能力，计划围建一个矩形菜园，其中一边靠墙（墙长），另外三边由长的栅栏围成．设这个菜园中垂直于墙的边，面积为． （1）求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）若要围成面积为的菜园，求的值； （3）当为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是射线上方抛物线上的一动点．过点作轴的平行线，交于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，连接．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）如图，在（）中线段长度取得最大值的条件下，点是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，连接．当时，在轴上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 25. 在中，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，若平分交于点，连接，，过点作于点，交的延长线于点．用等式表示三条线段，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，若，点是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，当取得最小值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折得到，连接，，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期未检测九年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下列纹样的示意图中，是中心对称图形的是（ ） A. 如意云纹 B. 涡旋云纹 C. 四瓣结纹 D. 回字纹 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：C项中的图形能够找到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形； A、B、D选项中的图形都找不到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以都不是中心对称图形， 故选：C． 2. 下列事件中，是必然事件的是 A. 人中至少有人是同月出生 B. 打开电视机，正在播放广告 C. 某投篮高手投篮一次就进球 D. 抛掷一枚质地均匀的骰子，点朝上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件及必然事件和不可能事件的判断，理解随机事件及必然事件和不可能事件的判断方法是解题关键．根据随机事件及必然事件和不可能事件的定义依次判断即可． 【详解】解：A、个人中至少有两个人的生日是在同一月份是必然事件，符合题意； B、打开电视机，正在播放广告是随机事件，不符合题意； C、某投篮高手投篮一次就进球是随机事件，不符合题意； D、抛掷一枚质地均匀的骰子，点朝上是不可能事件，不符合题意． 故选：A． 3. 如图，四边形内接于，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的内接四边形对角互补计算解答即可． 本题考查了圆的内接四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4. 二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到新的图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是掌握其平移规律，“左加右减，上加下减”．根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”，直接计算平移后的解析式，即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数表达式为：． 故选：D． 5. 小王练习射击，共射击次，其中有85次击中靶子，由此可估计小王射击一次击中靶子的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据频率频数数据总数计算即可得答案． 【详解】解：∵总射击次数为次，击中靶子次， ∴频率为， ∴估计概率约为． 故选：B． 6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等边对等角和三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握旋转的性质． 由旋转得，故，可得，从而知旋转角为． 【详解】解：由旋转的性质得：， ． ． 旋转角为． 故选：C． 7. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，根据二次函数解析式，分别计算三个点的纵坐标，再比较大小． 【详解】解：点，，都在二次函数的图象上， 对于点 ，， 对于点 ，， 对于点 ，， ， . 故选：D． 8. 某商店去年月份盈利元，月份的盈利达到元，则该商店这两个月盈利的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设月平均增长率为，根据从月到月经过两个月增长，建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：设月平均增长率为， 根据题意，可得：， 即， 解得（负值舍去）， 故月平均增长率为． 故选：B． 9. 如图，在中，，分别以B，C为圆心，的长为半径画弧，与，的延长线分别交于点D，E，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，勾股定理．由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解， 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 10. 从，，三个实数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．下列说法： ①若，则三个数中最小的数是； ②若，且三个数中最小的数是，则或； ③给定，，三个数，将第一次操作的三个结果，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，以此类推，第次操作的结果是，，则的值为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算、一元二次方程的求解以及规律探究，关键是根据操作定义列出代数式，再分别对三个说法进行分析验证． 【详解】解：对于①，当，，时， ，，， 三个数为，最小数是，故①正确； 对于②，当，，时， ，，． 若，则，判别式，无实根； 若，则，判别式，无实根； 若，则，即，解得或． 当时，，，，最小数为； 当时，，，，最小数为，故②正确； 对于③，计算第一次操作的和：． 同理，第二次操作的和， 即每次操作后三个数的和不变，故第次操作的和仍为，③正确； 综上，①②③均正确，正确的个数是3． 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若是方程的一个根，则的值为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，关键是将根代入原方程，转化为关于的一元一次方程求解． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入方程得， 即，； 故答案为：． 12. 2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“马”、“到”、“成”、“功”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“成功”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率．分别记“马”、“到”、“成”、“功”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找恰好组成“成功”字样的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：分别记“马”、“到”、“成”、“功”为A，B，C，D，画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“成功”字样的结果数有2种结果， 所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“成功”字样的概率为：， 故答案为：． 13. 如图，半径为的正六边形内接于，则该正六边形的边心距OM为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握正六边形的性质是本题的关键．连接、，过点作，证出是等边三角形，结合等边三角形的性质和勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图所示，连接、，过点作．如图： ∵多边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故， ∴． 故答案为：． 14. 抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为， 设另一个交点为， ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 15. 如图，的直径垂直于弦，垂足为，是圆上一点，是的中点，连接交于点，连接，若，则的长度为_______________，的长度为______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，根据垂径定理可得，，设的半径为，则，在中，根据勾股定理求出，进而可得的长度，求出，根据圆周角定理可得，结合，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 的直径垂直于弦， ，， 设的半径为，则， ， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， 是的中点， ， ， ， ， 故答案为: ，． 16. 我们规定：如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，则称这个四位数为“长久数”．例如：四位数6352，因为，所以6352是“长久数”．按照这个规定，最小的“长久数”是_______________；将一个“长久数”的千位数字与十位数字调换位置，再将百位数字去掉，得到一个新的三位数记为，记，．若能被7整除，则当取得最小值时，满足条件的的最大值是_________________． 【答案】 ①. 1823 ②. 4569 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的最值，整式的加减运算，整除，解题的关键是正确列出代数式并计算． 由最小的“长久数”得到，求出，然后根据四位数需满足数字互不相等且均不为0得到，即可求解； 根据题意表示出，然后得到，根据二次函数的性质求出或5，然后根据能被7整除分别代入求解即可． 【详解】解：∵要求最小的“长久数” ∴， ∵， ∴， ∵四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴，， ∴最小的“长久数”是1823； ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ， ∵能被7整除， ∴能被7整除， ∵， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当或5时，取得最小值， 当时，， ∴， ∵能被7整除， ∴， ∵要求的最大值， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵能被7整除， ∴， ∵各数位上的数字互不相等，故舍去； ∴满足条件的的最大值是4569． 故答案为：1823，4569． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据直接开方法解一元二次方程的步骤，进行计算即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ， 解得，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求，点． （2） 如图，即为所求，点． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形—旋转变换以及中心对称变换． （1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点、、的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点、、的对应点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 不透明袋子中装有2个红球和1个绿球，除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，求摸出的球是红球的概率； （2）从袋子中随机摸出一个球记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个绿球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：∵袋子中装有2个红球和1个绿球，除颜色外无其他差别， ∴摸出的球是红球的概率为； 【小问2详解】 解：由题意可列表如下： 红1 红2 绿 红1 红1，红1 红1，红2 红1，绿 红2 红2，红1 红2，红2 红2，绿 绿 绿，红1 绿，红2 绿，绿 ∴摸出的两个球恰好是一个红球和一个绿球的概率为． 20. 已知二次函数． （1）求该函数图象的对称轴、顶点坐标以及图象与轴的交点坐标； （2）完成表格，再在给定的平面直角坐标系中描点画出这个函数的图象； 0 1 2 3 4 （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点坐标为或 （2） 列出表格如下 0 1 2 3 4 3 0 0 3 画出函数图象如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象； （1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出对称轴以及顶点坐标；令，解方程即可得出与x轴交点坐标； （2）列表，描点，连线，即可； （3）根据图象与x轴的交点坐标，可确定时，x的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 令，则， 解得， ∴与轴的交点坐标为或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：观察图象得：时的取值范围为． 21. 如图，是的直径，点C，D在上，． （1）求证：是的切线； （2）若，求劣弧的长． 【答案】（1） 证明：是的直径 ， ， ， ， ， ， 即， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及弧长公式的应用，解题的关键是利用圆周角与圆心角的关系、直径的特殊性质推导角度和线段长度，进而完成切线证明与弧长计算． （1）由是的直径，可得，进而可得，易求得，则可得是的切线； （2）首先连接，易得是等边三角形，则可得，由弧长公式，即可求得劣弧的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ，且， 是等边三角形， ， ， ， ∴劣弧的长为． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，判断该方程实数根的个数，并说明理由； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1）无实数根， 理由如下： 当时，该方程为， ∵， ∴当时，方程没有实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）当时，方程化为，然后计算根的判别式的值，从而可判断方程根的情况； （2）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， 解得：， 故时，方程有两个不相等的实数根． 23. 如图，某中学为提升学生的综合实践能力，计划围建一个矩形菜园，其中一边靠墙（墙长），另外三边由长的栅栏围成．设这个菜园中垂直于墙的边，面积为． （1）求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）若要围成面积为的菜园，求的值； （3）当为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）（） （2） （3）当时，取最大值，最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． ()根据栅栏总长与边长的关系，用含x的式子表示出另一边长，结合矩形面积公式列出函数解析式；再根据墙长限制确定边长的取值范围，进而得到自变量的取值范围 ()将面积值代入()中所求的函数解析式，转化为一元二次方程，通过因式分解法求解方程，再结合自变量的取值范围筛选出符合题意的解； ()依据题意，结合()可得，菜园的面积，又，根据二次函数对称轴公式求出对称轴，验证对称轴在自变量取值范围内后，进而可以判断得解先判断二次函数的开口方向，确定其有最大值；再将其代入函数解析式计算，即可得到面积的最大值． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， 与之间的函数关系式为，自变量的取值范围为； 【小问2详解】 解：令， ， ， 解得， ， 的值为； 【小问3详解】 解：结合（）可得，， ∴对称轴， ∵在范围内， 又， ∴开口向下， ∴当时，取最大值，最大值为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是射线上方抛物线上的一动点．过点作轴的平行线，交于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，连接．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）如图，在（）中线段长度取得最大值的条件下，点是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，连接．当时，在轴上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】主要考查了抛物线的解析式求解、动点与线段最值的转化、对称性质的应用，以及利用距离相等建立方程求解坐标等二次函数综合问题的核心知识点． （）根据抛物线过已知点和对称轴，分别代入抛物线一般式和对称轴公式，得到关于的方程组，求解方程组得出的值，进而确定抛物线表达式； （）先求出抛物线与坐标轴的交点，点，进而得到直线的表达式；接着设出抛物线上动点的坐标，根据轴得到点的坐标，求出的长度表达式并确定其最大值及此时的坐标；再通过且证明四边形为平行四边形，得到；最后利用抛物线对称轴的性质转化，将转化为，根据“两点之间线段最短”，当三点共线时取得最小值，计算出该最小值为； （）首先根据已知条件求出中点的坐标，结合点的坐标求出直线的表达式；再利用及的性质，推出直线与关于对称，进而由点在上得到其对称点在上，求出直线的表达式并与抛物线联立得到点的坐标；最后设出点的坐标，根据建立方程求解，得出点的坐标为或． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得， 故抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，解得或4， 令，则， 故点，点， 设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， 则， ， 故有最大值， 当时，的最大值为， 此时点的坐标为，点的坐标为， ， 故四边形为平行四边形， ， 连接， ∵点是抛物线对称轴上的动点， ， ， 当点三点共线时，最小值为，点，点， ∴， 的最小值为 【小问3详解】 解：点的坐标为或 ， 解析过程：∵点是的中点， ∴点， 由（）知点的坐标为， 设直线的表达式为，则， 解得， 直线的表达式为， 由（）知， ， 而， ， 则直线和直线关于直线对称， ∵点在直线上， ∴点在直线上， 故设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为， 由并解得（不合题意的值已舍去）， 故点的坐标为， 设点的坐标为， 由点的坐标得：， 由点的坐标得：， 当时，则， 解得， 故点的坐标为或 25. 在中，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，若平分交于点，连接，，过点作于点，交的延长线于点．用等式表示三条线段，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，若，点是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，当取得最小值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折得到，连接，，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 解：，证明如下： 由旋转的性质得：， ， ， 平分， ， ∵在和中， ， ， ． ，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∵在中，， ∴． ∵， ， ， ∴， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理 （1）由旋转的性质得到，从而，则，再根据，，得到，即可解答； （2）由旋转的性质得：，则，，证明得到，再证明为等腰直角三角形，得到，证明，得到，根据线段的和差结合等量代换即可证明； （3）由得点P，B，Q，C四点共圆，则，可得点在过点且垂直于的直线上，过点作BC的垂线，当时，最小．由折叠有，由得当点在上时，最小，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得：， ， ， ， ∵，， ∴ ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ∴点P，B，Q，C四点共圆， ， ∴点在过点且垂直于的直线上． 过点作BC的垂线，当时，最小． 由折叠得：， ， ∴当点在上时，最小， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，轴对称的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $