精品解析：天津市武清区天和城实验中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

天津市武清区天和城实验中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、学校等信息填写在“答题卡”上.答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效. 第I卷 注意事项： 请将一、二卷的答案书写在答题纸上答在试卷上的无效. 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求. 一、单选题 1. 已知向量，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可 【详解】向量， 所以向量, 故选：D 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示计算． 【详解】由题意，． 故选：A． 3. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则、、、四点构成平行四边形 B. 两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 C. 若、都是单位向量，则 D. 向量与是两平行向量 【答案】D 【解析】 【分析】利用共线向量的定义可判断A选项的正误；利用向量相等的定义可判断BC选项的正误；利用平行向量的定义可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，若，则、、、四点共线或、、、四点构成平行四边形，A错； 对于B选项，两向量相等的充要条件它们的方向相同、长度相等，且向量没有起点，B错； 对于C选项，若、都是单位向量，但、的方向 不一定相同，故、不一定相等，C错； 对于D选项，向量与是相反向量，它们是平行向量，D对. 故选：D. 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理知，，利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，， 由正弦定理可知，， ， 故选：C. 【点睛】关键点睛：在中，. 5. 设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据投影向量的公式计算即可. 【详解】在上的投影向量为： . 故选：B 6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【详解】因为，，， 所以由正弦定理可得，又，， 所以,,所以或. 故选：C． 7. 如图，若点在三角形的边上，且，，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，即可求解. 【详解】，所以 ，则, 故选：C 8. 已知的内角的对边分别为，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形面积公式列出相应等式，结合余弦定理化简，即可得到答案. 【详解】由题意可得： ， 即，则 ， 由于 ，故 , 故选：D 9. 在中，，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的代数表示和运算，判断的形状. 【详解】， ，（点是的中点）， 是等腰三角形， 又 ，即， ，， 是等腰非等边三角形. 故选：D 10. 在等腰梯形中，，，，为的中点，为线段上的点，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设，用数量积的坐标表示求得数量积，然后由二次函数知识得最小值． 【详解】由题意等腰梯形的高为， 如图，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，，设，则，， ， 所以时，取得最小值． 故选：B． 第II卷 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分. 11. 已知复数满足，则其共轭复数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则计算. 【详解】进行分母有理化，分子分母同乘， ， 复数的共轭复数为. 故答案为； 12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合已知求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理，得，则， 于是，解得， 所以的面积为. 故答案为：3 13. 在中，角所对的边分别为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理将角化边，将用表示出来，用余弦定理，即可求得 【详解】因为，故可得； 因为，故可得； 将代入中，得，解得, 由余弦定理可得. 又因为，故可得. 故答案为：. 14. 如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度___________. . 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求解出的大小，然后在中利用正弦定理求解出，再根据的关系求解出. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将中的角和边先求解出来，然后利用正弦定理求解出的值，再借助直角三角形中边的关系达到求解高度的目的. 15. 如图，在中，，，，，，，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将用表示，利用列方程，解方程求得的值. 【详解】依题意，.由于，所以，即，也即，即，解得. 故答案为：. 【点睛】本小题主要考查平面向量基本定理的运用，考查向量垂直的表示，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 三、解答题：本大题共5个小题，共60分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 17. （1）计算： （2）已知复数.求|z|； （3）设复数，其中所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围. 【答案】（1），（2），（3）. 【解析】 【分析】（1）由复数乘法运算法则计算即可； （2）由复数的模的公式求解即可； （3）由复数的几何意义列不等式求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）由题意，解得. 18. 在中，角所对的边分别为，已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，然后利用正弦定理求解； （2）利用余弦定理列方程求解； （3）先求出，，然后利用两角差的正弦公式计算即可. 【小问1详解】 根据为三角形的内角可得， 根据正弦定理得； 【小问2详解】 根据余弦定理， 解得，（负值舍去）； 【小问3详解】 因为，所以为锐角， 所以， 所以， ， 所以. 19. 在中，内角的对边分别为，. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（I）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得的大小.（II）根据余弦定理求得，利用正弦定理求得，利用同角三角函数关系式求得，由二倍角公式求得的值，再由两角差的正弦公式求得的值. 【详解】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得 ∴，∴，∵，∴ （Ⅱ）因为，，由余弦定理得 ，∴ 由，因为为锐角，所以 ， 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，属于中档题. 20. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）已知，若且，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （ 1）根据正弦定理以及和差角公式求解即可； （ 2）将两边平方，计算得，再求解面积即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 所以， 因为在中， 所以， 因为， 所以. （2）由两边平方得， 因为，， 所以， 解得或（舍去）， 所以的面积为. 【点睛】解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市武清区天和城实验中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、学校等信息填写在“答题卡”上.答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效. 第I卷 注意事项： 请将一、二卷的答案书写在答题纸上答在试卷上的无效. 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求. 一、单选题 1. 已知向量，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则、、、四点构成平行四边形 B. 两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 C. 若、都是单位向量，则 D. 向量与是两平行向量 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（　　） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，若点在三角形的边上，且，，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 8. 已知的内角的对边分别为，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 10. 在等腰梯形中，，，，为的中点，为线段上的点，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. D. 1 第II卷 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分. 11. 已知复数满足，则其共轭复数__________. 12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 13. 在中，角所对的边分别为，若，则__________. 14. 如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度___________. . 15. 如图，在中，，，，，，，若，则的值为________． 三、解答题：本大题共5个小题，共60分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 17. （1）计算： （2）已知复数.求|z|； （3）设复数，其中所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围. 18. 在中，角所对的边分别为，已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 19. 在中，内角的对边分别为，. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的值. 20. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）已知，若且，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $