精品解析：山东淄博市2025～2026学年度第一学期期末学业水平测试 九年级数学试题（五四学制）

2025~2026学年度第一学期期末学业水平测试 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第二、三象限 D. 第三、四象限 2. 已知α为锐角，且，则α的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（    ） A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 4. 抛物线经平移后得到的新抛物线的解析式为，则下列关于平移的说法正确的是（ ） A. 右移1个单位，下移3个单位 B. 左移1个单位，上移3个单位 C. 右移1个单位，上移3个单位 D. 左移1个单位，下移3个单位 5. 如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的影长为（　　） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 8. 已知二次函数中自变量与函数的部分对应值如下表： …… 0 1 2 …… …… 2 3 2 …… 下列各选项中，正确的是（ ） A. 这个函数的图象开口向上 B. 这个函数的图象与轴只有一个交点 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，则 9. 如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格交点，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 12. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，，则的值为_______． 13. 如图是一个机器零件的三视图，它的主视图是等腰三角形，则这个零件的表面积为_____． 14. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，则花圃的最大面积为_____． 15. 如图，点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，，过点作，交反比例函数于点，若，则的值为___________． 三、解答题（本题共8小题，共90分．请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在四边形中，．求和的长． 18. 如图，直线与坐标轴交于点，与双曲线交于两点，并且． （1）求反比例函数的解析式： （2）若y轴上存在一点，使得的面积为6，求点的坐标； （3）当时，请根据图象直接写出的取值范围． 19. （1）由大小相同的小正方体搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图，并回答问题． 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加___________个小正方体． （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 20. 为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量．如图，在斜坡顶部点C处测得大树顶端A的仰角为，大树底端B的俯角为，从点C出发沿远离大树的水平方向走4米到达点D处，测得大树顶端A的仰角为，点A，B，C，D在同一平面，延长交于点E． （1）求线段的长度．（结果保留整数） （2）计算大树的高度．（结果保留整数）（参考数据：，） 21. 已知二次函数． （1）若，且二次函数象经过点，求函数顶点坐标； （2）若， ①求证：二次函数的图象和x轴有两个交点； ②若，点在该二次函数图象上，当时，n的最小值是，求b的值． 22. 定义：三个非零实数，若满足其中任一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数构成“和谐三组数”． （1）实数2，3，4可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； （2）已知三点均在函数（为常数，）的图象上． ①若这三点的纵坐标构成“和谐三组数”，求实数的值； ②在①的条件下，当时，如图，以点分别向坐标轴作垂线，交于点，连接，若与相似，求的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值； （3）抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末学业水平测试 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第二、三象限 D. 第三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和性质：反比例函数的图象上点的横纵坐标之积为常数；当时，图象分布在第一、第三象限；当时，图象分布在第二、第四象限．先把点代入反比例函数得到，根据反比例函数的性质即可得到反比例函数的图象在第一、三象限． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ， 反比例函数的图象在第一、三象限． 故选：A． 2. 已知α为锐角，且，则α的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，利用特殊角的三角函数值即可得出答案，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决此题的关键． 【详解】解：， ， 故选：． 3. 如图，由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（    ） A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由三视图判断几何体．熟练掌握俯视图确定位置，主左视图确实个数，是解题的关键． 根据俯视图确定位置，左视图确实个数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：几何体每个位置上的小正方体的个数最多时，如图所示： 小正方体的个数为：． 故选：． 4. 抛物线经平移后得到的新抛物线的解析式为，则下列关于平移的说法正确的是（ ） A. 右移1个单位，下移3个单位 B. 左移1个单位，上移3个单位 C. 右移1个单位，上移3个单位 D. 左移1个单位，下移3个单位 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键．按照“左加右减，上加下减”的规律，即可判断． 【详解】解：由抛物线，左移1个单位长度，下移3个单位长度，可得到抛物线， 故选：D． 5. 如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学计算器的有关计算，掌握计算器是解题的关键．根据按键顺序，列出算式，求出，的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图可知：，， ； 故选：C． 6. 已知点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴此函数图象在二、四象限，在每个象限内随增大而增大， ∵， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴，，的大小关系为． 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的影长为（　　） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心投影、坐标与图形、相似三角形的判定和性质，利用中心投影，过作轴于，交于，证明，然后利用相似三角形的对应边成比例可求出结果．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：过作轴于，交于，如图， ∵，A，B． ∴，，，轴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 已知二次函数中自变量与函数的部分对应值如下表： …… 0 1 2 …… …… 2 3 2 …… 下列各选项中，正确的是（ ） A. 这个函数的图象开口向上 B. 这个函数的图象与轴只有一个交点 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质逐项判断即可求解． 【详解】解：由表可得，解得 ∴二次函数解析式为． ∵， ∴图象开口向下，A错误，不符合题意； ∵， ∴图象与轴有两个交点，B错误，不符合题意； ∵对称轴，且开口向下， ∴当时随增大而增大，当时随增大而减小， ∵选项C中包含的部分，此时随的增大而减小， ∴C错误，不符合题意； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的最小值为，最大值为，即， ∴D正确，符合题意． 故选D． 9. 如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格交点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，分母有理化，结合网格的特点正确添加辅助线是解题关键．设正方形网格的边长为，则，，，在中，，证明，得到，同理可证，，由等腰三角形的性质，得到，在中，，则，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图， 设正方形网格的边长为， ，，， 在中，， 由网格可知，，，， ， ， 同理可证，， 由网格可知，，， ， 在中，， ， ， ， 故选：B． 10. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点为，且经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=2， ∴，即：b=-4a， ∵， ∴c=b-a=-5a， ∵顶点， ∴，即：， ∴m=-9a，即：，故③正确； ∵若此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线x=2， ∴此抛物线经过点， ∴， ∴一定是方程的一个根，故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x>0 【解析】 【详解】由题可由题可知，要使得函数有意义：必须满足不等于0，x大于0．故答案为x>0 12. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，巧用整体思想是解题的关键． 根据题意，将点P坐标分别代入反比例函数及一次函数解析式，再结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点坐标分别代入反比例函数及一次函数解析式得， ， 又∵， ， 则， ∴． 故答案为：2． 13. 如图是一个机器零件的三视图，它的主视图是等腰三角形，则这个零件的表面积为_____． 【答案】544 【解析】 【分析】本题考查了三视图，勾股定理，等腰三角形的性质，先认真分析和观察三视图得出这个几何体是倒放的三棱柱，再算出，（等腰三角形的三线合一），结合三棱柱的表面积等于两个三角形面积和三个长方形的面积，即可作答． 【详解】解：如图所示： 结合一个机器零件的三视图，得出这个几何体是倒放的三棱柱， 结合左视图得出主视图的等腰三角形的高是， 则，（等腰三角形的三线合一） ∴， 则， 故答案为：544． 14. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，则花圃的最大面积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是抓住题干条件写出二次函数解析式并结合自变量的取值范围求出最值．如图，设，根据矩形的面积公式得到矩形的面积与x的函数关系，再根据自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：如图， 设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大面积为 故答案为：． 15. 如图，点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，，过点作，交反比例函数于点，若，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．依据题意，过点作轴于，过点作于，过点作于．利用相似三角形的性质可得，设，，则，再证明，，可得，再根据方程求出即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作于，过点作于． 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 设，，则， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，在反比例函数上， ， ， ． ． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共90分．请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算． （1）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可． （2）先求解绝对值，负整数指数幂，化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，再合并即可． 【小问1详解】 解： ． ． 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在四边形中，．求和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，掌握特殊角的三角函数值，勾股定理是解决问题的关键．由特殊角的三角函数值，得出，由及勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：， 在中， ， ， ． ， 在中， ， ， ． ， ． 18. 如图，直线与坐标轴交于点，与双曲线交于两点，并且． （1）求反比例函数的解析式： （2）若y轴上存在一点，使得的面积为6，求点的坐标； （3）当时，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、利用坐标求线段长度以及数形结合思想的应用。 （1）先求得点、的坐标，再根据，得到点是线段的中点，从而求出点的坐标为，再将点的坐标代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （2）联立，求出点的坐标，设，利用面积公式建立方程求解即可； （3）利用数形结合的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：在直线中，当时，， 点的坐标为， 当时，， 解得：， 点的坐标为， ， 点是线段的中点， 设点的坐标为， 则， 解得：， 点的坐标为， 将点的坐标代入反比例函数解析式得：， 解得：， 反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：联立， 解得：或， ， 如图，设， 由面积公式可得：， 即， 解得：或， 或； 【小问3详解】 解：由图可知，不等式的解集为：或． 19. （1）由大小相同的小正方体搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图，并回答问题． 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加___________个小正方体． （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 （1）作图如下： 4； （2）根据题意作图如下： 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图、中心投影的性质，解题的关键是熟练掌握三视图的定义以及中心投影中“三点一线”的作图原理． （1）分别从正面、左面、上面观察几何体，数出每一列（或行）的小正方体个数，从而画出主视图、左视图、俯视图；要保持主视图和左视图不变，意味着在添加小正方体时，每一列的高度（对应主视图）和每一行的高度（对应左视图）都不能超过原来的高度．通过对比俯视图中每个位置的现有高度与允许的最大高度，计算出每个位置最多能添加的数量，最后求和． （2）确定路灯位置：根据中心投影的特点，连接物体的顶端和其影子的顶端，这两条连线的交点就是点光源（路灯灯泡）的位置，连接路灯灯泡的位置和小树的顶端，将这条线延长直到与地面相交，交点到树根的线段就是小树的影子． 【详解】解：（1）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加4个，如下图： 故答案为：4； （2）略 20. 为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量．如图，在斜坡顶部点C处测得大树顶端A的仰角为，大树底端B的俯角为，从点C出发沿远离大树的水平方向走4米到达点D处，测得大树顶端A的仰角为，点A，B，C，D在同一平面，延长交于点E． （1）求线段的长度．（结果保留整数） （2）计算大树的高度．（结果保留整数）（参考数据：，） 【答案】（1）线段的长度约为3米 （2）大树的高度约为5米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）由已知条件易得，解直角三角形即可求出的长； （2）根据即可得解． 【小问1详解】 解：根据题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设米， ∴米， 在中，（米）， 在中，， 解得， ∴米，（米）； 答：线段的长度约为米； 【小问2详解】 解：（米）， 答：大树的高度约为5米． 21. 已知二次函数． （1）若，且二次函数象经过点，求函数顶点坐标； （2）若， ①求证：二次函数的图象和x轴有两个交点； ②若，点在该二次函数图象上，当时，n的最小值是，求b的值． 【答案】（1） （2）①证明：根据题意得，，则， 令得，， 判别式， 因此，二次函数的图象和x轴有两个交点； ② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． （1）将和代入中，求出解析式，即可求出函数的顶点坐标； （2）①令得到一元二次方程，利用判别式来证明二次函数的图象和x轴有两个交点即可； ②根据和，将代入，得到关于的二次函数，求出对称轴和顶点坐标，根据二次函数的增减性进行计算求解即可． 【小问1详解】 解：当时，二次函数的解析式为, 将点代入二次函数的解析式，得：， 解得， 则该二次函数的解析式为， 因此，该二次函数顶点坐标为； 【小问2详解】 ①略 ②解：由于点在该二次函数图象上， 则， 由于，， 则，即， 所以， 当时，n的最小值是， 函数，开口向上，对称轴为， 所以当时，即， 当时，取最小值， 即， 整理得， 解得或（舍去）， 当，即时，，取最小值， 则， 解得，不符合题意，舍去 综上所述，的值为． 22. 定义：三个非零实数，若满足其中任一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数构成“和谐三组数”． （1）实数2，3，4可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； （2）已知三点均在函数（为常数，）的图象上． ①若这三点的纵坐标构成“和谐三组数”，求实数的值； ②在①的条件下，当时，如图，以点分别向坐标轴作垂线，交于点，连接，若与相似，求的值． 【答案】（1） 解：实数2，3，4不可以构成“和谐三组数”，理由如下： ， 实数2，3，4不可以构成“和谐三组数”； （2）①或或2；② 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“和谐三组数”的定义求解即可； （2）①根据题意求出，进而求出，根据定义可得或或，据此讨论求解即可； ②可得，可证明只存在，则，求出，进而得到，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵三点均在函数（k为常数，）的图象上， ∴， ∴， ∵构成“和谐三组数”， ∴或或， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为或或2； ②∵， ∴； 由题意得，， ∵一条直线与反比例函数最多有两个交点，且点M、N、R都在反比例函数图象上， ∴M、N、R三点不共线， ∴， ∵， ∴， ∴与相似时，只存在， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得或（舍去）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值； （3）抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合，灵活运用两点之间，线段最短求最小值，熟练掌握一次函数、二次函数的交点与三角形面积问题的解决方法是解题的关键． （1）代入点、坐标，用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，为定值，则根据当取得最小值时，有最小值即可求解； （3）根据条件判断出符合条件的点的其中一个位置在与直线平行，且和抛物线只有一个交点的直线上，求出该直线再通过平行线间的距离相等进行面积转化，即可求出答案． 【小问1详解】 解：将点，代入，得， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：，， ∴， ∵，，则，， ∴为定值， ∴当取得最小值时，有最小值， 当点在线段上时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：由题意得，存在两条直线与抛物线有且只有3个交点且与直线平行，其中一条与抛物线有且只有1个交点， 设该直线的解析式为， 联立方程，得，整理得，， 有且只有一个交点， ∴， 解得， ∴点符合条件的位置之一在直线上， 设直线与轴交于点，则， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $