精品解析：湖南益阳市2025--2026学年第一学期九年级期末考试数学试卷 

2025年秋季学期期末初中毕业科目质量检测 数学试题卷 注意事项： 1．本学科试卷分为试题卷和答题卡两部分； 2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上； 3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷或草稿纸上无效； 4．本学科试卷共24道题目，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，点在函数图象上需满足． 根据反比例函数的性质，判断是否满足即可． 【详解】解：A、，不在反比例函数图象上； B、，不在反比例函数图象上； C、，在反比例函数图象上； D、，不在反比例函数图象上； 故选：C． 2. 在下列函数中，当时，y随x的增大而减少的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数和二次函数的性质． 根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质，判断各函数在时的增减性即可． 【详解】解：A、，∵，∴当时，y随x增大而增大； B、，∵，∴当时，y随x增大而增大； C、，∵∴当时，y随x增大而减小； D、，∵二次函数开口向上，对称轴为y轴，∴当时，y随x增大而增大； 故选：C． 3. 若一元二次方程的两个根分别是a和b，那么（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之积即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是a和b， ∴． 故选：D． 4. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 根据比例的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选C 5. 4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求解平均数，利用样本估计总体，求解数据的平均数即可． 【详解】解：， 本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为． 故选：B 6. 已知函数的图象如下，当时，函数y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．求解抛物线的对称轴为直线：，再进一步求解即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴抛物线的开口向上， ∴当时，函数y的值随x的增大而增大， ∵当时，函数y的值随x的增大而增大， ∴m的取值范围是． 故选：A． 7. 如图，，、相交于O点，点E在上，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，进一步证明，进一步分析即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，而， ∴， ∴，，故B不正确， ∴不正确，故D不正确， ∴， ∵， ∴， ∴，，故A正确， 由于与无边相等，不能判定两三角形全等级，故C错误， 故选：A． 8. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求解锐角三角函数值，取格点，连接，证明，再利用锐角的余弦含义求解即可． 【详解】解：取格点，连接， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B 9. 如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，再进一步分析即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，点E 的横坐标为， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，， ∴，，故B错误，C正确， ∴， ∴，故A正确， ∴，故D正确． 故选：B． 10. 如图，在矩形中，，，点E在上，且，连接，，将绕点E逆时针旋转至，连接，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由 ，，，可得，如图，过点作直线于，证明，可得，，，再进一步逐一分析即可． 【详解】解：∵矩形，，，点E在上，且， ∴，，，，， ∴， 如图，过点作直线于， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ∴， ∴，，故A，B错误， ∵，，，，， ∴， ∴，故D正确， 连接，若， ∵， ∴， ∴， ∴，与矛盾，故C错误， 故选：D 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的性质，旋转的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上对应题号后的横线上） 11. 甲、乙两台包装机同时包装每袋质量为的糖果，从中随机各抽取100袋，对测得其实际质量的数据进行统计分析，得到如下数据表： 包装机名称 质量的平均值（/袋） 方差 甲 200.5 5.5 乙 200.5 2.5 依据以上数据，判断包装糖果的质量比较稳定的是______包装机（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查的是方差的含义，通过比较两台包装机的方差大小来判断稳定性，方差越小表示质量越稳定，从而可得答案． 【详解】解：甲的方差为5.5，乙的方差为2.5， ∵2.5 < 5.5， ∴乙包装机的方差更小，包装糖果的质量更稳定． 故答案为：乙． 12. 若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则k的值可能是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质．反比例函数的图象位于第二、四象限，比例系数，根据k的取值范围选择一个数即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 已知，如图，，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，由可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为： 14. 已知，如图，在中，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦与余弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义可得，再根据余弦的定义即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为点，连接，交于点E．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，，由勾股定理可得：，，可得：，，证明，可得，进一步可得结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， 由勾股定理可得：，， 即， 解得：，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定，二次根式的化简，勾股定理的应用． 16. 观察下列等式：，，，…，运用你发现的规律解决以下问题：如图，直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，先分别求解，，，，，…，，再代入计算即可． 【详解】解：∵直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，， ∴，，，，，…，， ∴ ． 故答案为： 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，计算绝对值，进而可求结果． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程． 移项后根据因式分解法求解即可． 【详解】解：将方程移项，得， 因式分解，得， ∴或． 解得：． 19. 已知函数的图象上有两点，，其中． （1）求函数y的最小值； （2）若直线与x轴平行，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，因式分解的应用． （1）将原函数化为顶点式后作答即可； （2）根据“直线与x轴平行”可知y值恒定，即，得到，整理后得到，根据可知，即可求出的值． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴， 即函数y的最小值为； 【小问2详解】 解：∵直线与x轴平行， ∴点P和点Q的纵坐标相等，即． ∵，， ∴， 化简得， 移项得， 因式分解得， 提取公因式得， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 2025年湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）于9月7日在长沙贺龙体育场开幕以来，激发了湖南这片土地上的足球热情．某校体育兴趣小组随机对部分同学进行了足球知识的问卷调查（满分100分）．将调查的数据整理、绘制成如下不完整的统计图表． 等级 分数x（分） 频率 A 0.2 B a C 0.3 D b 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）求扇形统计图中B对应的圆心角的度数； （3）若该校有2200名学生，估计其中达到A等级的学生共有多少名？ 【答案】（1），， （2） （3）估计其中达到A等级的学生共有名 【解析】 【分析】本题考查的是从频数分布表与扇形图中获取信息，利用样本估计总体． （1）由频数分布表与扇形图可得答案． （2）由乘以扇形统计图中B的占比即可得到结论． （3）由2200乘以A的占比即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，， ∴． 【小问2详解】 解：扇形统计图中B对应的圆心角的度数为：． 【小问3详解】 解：， ∴该校有2200名学生，估计其中达到A等级的学生共有名． 21. 某企业推出一种新产品，每件的成本为20元，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180万件．根据销售经验，销售价格每上涨x元，月销售量y（万件）关于x的函数关系对应的图象如下图所示． （1）求y关于x的函数表达式（不要求写出x的范围）； （2）当销售价格上涨多少元时？既能使一个月的利润为1870万元，又尽可能多的销售产品． 【答案】（1） （2）销售价格上涨元 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）由题意设：，把，代入进一步可得答案． （2）由每件利润乘以销售数量可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由题意设：， 把，代入可得： ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∴， 解得，， ∵尽可能多的销售产品， ∴不符合题意，舍去， ∴， ∴当销售价格上涨元时，既能使一个月的利润为1870万元，又尽可能多的销售产品． 22. 如图，表示水平地面，由地面上A处测得山上B处的仰角是，由山顶C处测得B处的俯角是．B，C所处位置相对于A处的海拔高出，．即，（，A，B，，C，均在同一个竖直平面内）．现要在山顶C处建设一个气象观察站，需要从A经B到C拉一条通信光缆，求光缆的总长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 【答案】光缆的总长度为： 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过作于，可得，再进一步利用直角三角形求解即可． 【详解】解：如图，过作于， 则， 由题意可得：， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵结合题意可得，而， ∴， ∵，， ∴， ∴光缆的总长度为：． 23. 如图，在菱形中，点G是上一动点，连接并延长分别交和的延长线于点E和点F． （1）证明：； （2）证明：； （3）若，，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2） 证明：∵菱形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质证明即可得到结论． （2）根据菱形的性质证明，即可得到结论． （3）由，可得，，求解，证明，可得，，，，结合，可得，进一步结合菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵菱形，， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的证明需要的三角形相似是解本题的关键． 24. 如图1，正方形的边位于x轴上，其边长为4，A点坐标为，函数的图象过点C．将正方形沿x轴的正方向平移a个单位长度得到正方形． （1）求k的值； （2）如图2，若函数的图象与正方形的边交于点E，与边交于点F，连接，，当与相似时，求a的值； （3）连接，函数的图象交于G点，交正方形的边于点P，点Q，当时，求的面积． 【答案】（1） （2）当与相似时，． （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质结合A点坐标为，可得，进一步求解即可． （2）由（1）得：反比例函数为：，，可得，，当或时，与相似，再进一步求解即可． （3）由，可得，，如图，连接，过作于，则在的下方，分别求解梯形的面积为：，梯形的面积为：，梯形的面积为：，进一步可得的面积． 【小问1详解】 解：∵正方形的边位于x轴上，其边长为4， ∴，， ∵A点坐标为， ∴， ∴， ∵函数的图象过点C． ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得：反比例函数为：，， ∴重合，， ∵正方形沿x轴的正方向平移a个单位长度， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当或时，与相似， 当时， ∴， 化简整理得, ∵， ∴， 此时方程无解， 当时， ∴， ∴，经检验符合题意， 综上：当与相似时，． 【小问3详解】 解：∵正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， 如图，连接，过作于，则在的下方， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 同理可得：， ∴，即， ∴梯形的面积为：， 梯形的面积为：， 梯形的面积为：， ∴的面积为：． 【点睛】本题考查的是平移的性质，正方形的性质，反比例函数的应用，相似三角形的判定与性质，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期末初中毕业科目质量检测 数学试题卷 注意事项： 1．本学科试卷分为试题卷和答题卡两部分； 2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上； 3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷或草稿纸上无效； 4．本学科试卷共24道题目，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列函数中，当时，y随x的增大而减少的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程的两个根分别是a和b，那么（ ） A. 3 B. C. 4 D. 4. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象如下，当时，函数y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，、相交于O点，点E在上，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则（ ） A. B. C. D. 1 9. 如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点E在上，且，连接，，将绕点E逆时针旋转至，连接，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上对应题号后的横线上） 11. 甲、乙两台包装机同时包装每袋质量为的糖果，从中随机各抽取100袋，对测得其实际质量的数据进行统计分析，得到如下数据表： 包装机名称 质量的平均值（/袋） 方差 甲 200.5 5.5 乙 200.5 2.5 依据以上数据，判断包装糖果的质量比较稳定的是______包装机（填“甲”或“乙”）． 12. 若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则k的值可能是______（写出一个即可）． 13. 已知，如图，，，，，则______． 14. 已知，如图，在中，，若，则______． 15. 如图，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为点，连接，交于点E．若，，则______． 16. 观察下列等式：，，，…，运用你发现的规律解决以下问题：如图，直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，，则______． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 已知函数的图象上有两点，，其中． （1）求函数y的最小值； （2）若直线与x轴平行，求的值． 20. 2025年湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）于9月7日在长沙贺龙体育场开幕以来，激发了湖南这片土地上的足球热情．某校体育兴趣小组随机对部分同学进行了足球知识的问卷调查（满分100分）．将调查的数据整理、绘制成如下不完整的统计图表． 等级 分数x（分） 频率 A 0.2 B a C 0.3 D b 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）求扇形统计图中B对应的圆心角的度数； （3）若该校有2200名学生，估计其中达到A等级的学生共有多少名？ 21. 某企业推出一种新产品，每件的成本为20元，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180万件．根据销售经验，销售价格每上涨x元，月销售量y（万件）关于x的函数关系对应的图象如下图所示． （1）求y关于x的函数表达式（不要求写出x的范围）； （2）当销售价格上涨多少元时？既能使一个月的利润为1870万元，又尽可能多的销售产品． 22. 如图，表示水平地面，由地面上A处测得山上B处的仰角是，由山顶C处测得B处的俯角是．B，C所处位置相对于A处的海拔高出，．即，（，A，B，，C，均在同一个竖直平面内）．现要在山顶C处建设一个气象观察站，需要从A经B到C拉一条通信光缆，求光缆的总长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 23. 如图，在菱形中，点G是上一动点，连接并延长分别交和的延长线于点E和点F． （1）证明：； （2）证明：； （3）若，，，求的值． 24. 如图1，正方形的边位于x轴上，其边长为4，A点坐标为，函数的图象过点C．将正方形沿x轴的正方向平移a个单位长度得到正方形． （1）求k的值； （2）如图2，若函数的图象与正方形的边交于点E，与边交于点F，连接，，当与相似时，求a的值； （3）连接，函数的图象交于G点，交正方形的边于点P，点Q，当时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $