精品解析：贵州毕节市织金县2025-2026学年度第一学期期末学业检测高二数学试卷

织金县2025－2026学年度第一学期期末学业水平检测 高二年级数学 （考试时间：120分钟，满分：150分） 考生注意： 1．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 2、本卷命题范围：人教版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A. B. 4 C. D. 2. 设，，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知数列的首项，且，则这个数列的第4项是（ ） A. B. C. D. 6 4. 已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的通项公式为，按项的变化趋势，该数列是（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 6. 圆与圆的公切线有（　　） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 7. 设是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 德国著名的数学家高斯，在幼年时使用倒序相加法快速计算出的结果，由此得到启发，我们归纳了等差数列前n项和公式.若等差数列的前n项和为，且，，（，），则n的值是（ ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下命题中，正确的有（ ） A. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 B. 对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面 C. 直线的方向向量可以是 D. 直线与直线垂直，则 10. 已知是数列的前项和，且，，则下列命题正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，则下列选项正确的是（ ） A. 以为直径的圆与轴相切 B. 以为直径的圆的最小面积是 C. 若，则 D. 若，则的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平行直线与之间的距离为_____． 13. 已知等比数列的前4项和为8，前8项和为24，则S16______. 14. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是_____．（填序号） ①点在曲线上 ②点在上，则 ③点在椭圆上，若，则 ④过作轴的垂线交于两点，则 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为 （1）当取最小值时，求n的值； （2）求出的通项公式. 16. 已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点； （2）当时，求直线被圆截得的弦长． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和． 19. 已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． （1）求双曲线C的渐近线方程； （2）直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 织金县2025－2026学年度第一学期期末学业水平检测 高二年级数学 （考试时间：120分钟，满分：150分） 考生注意： 1．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 2、本卷命题范围：人教版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令求出的值即可. 【详解】对于直线，令得， 所以直线在轴上的截距为. 故选：A 2. 设，，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故选：C 3. 已知数列的首项，且，则这个数列的第4项是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由数列的递推公式逐项计算即可得到第4项的值. 【详解】由，得，，，． 故选：B． 4. 已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意设双曲线方程为，根据焦点坐标求出，即可得解. 【详解】依题意设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 5. 已知数列的通项公式为，按项的变化趋势，该数列是（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 【答案】B 【解析】 【分析】分析的单调性，即可判断和选择. 【详解】因为，显然随着的增大，是递增的，故是递减的， 则数列是递减数列. 故选：B. 6. 圆与圆的公切线有（　　） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系，以确定两圆公切线的条数. 【详解】圆，圆心，半径. 圆16，圆心，半径. 所以， 则， 则两个圆相交，所以两圆的公切线有2条． 故选：C． 7. 设是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出，由椭圆的定义得，，所以为椭圆的通径时最小，此时取得最大值5，即可得，从而求出b的值，最后求出椭圆的离心率 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，可知， 因为过的直线交椭圆于A，B两点， 所以由椭圆的定义知：， 所以， 当轴时，最小，的值最大， 此时为椭圆的通径，由通径公式可得： 所以，解得：，所以，， 故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，属于中档题. 8. 德国著名的数学家高斯，在幼年时使用倒序相加法快速计算出的结果，由此得到启发，我们归纳了等差数列前n项和公式.若等差数列的前n项和为，且，，（，），则n的值是（ ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由，，结合等差数列的性质及等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】解：由题意，，， 又根据等差数列的性质有，所以，即， 所以，解得， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下命题中，正确的有（ ） A. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 B. 对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面 C. 直线的方向向量可以是 D. 直线与直线垂直，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，可运用反证法，结合空间向量基本定理进行证明；对于B，运用共面向量基本定理推导可得；对于C，判断直线的斜率与方向向量的斜率是否相等即可；对于D，利用直线互相垂直的条件，列出方程，求解即可. 【详解】对于A，已知是空间的一个基底，故三个向量不共面， 已知，假设共面，则存在实数，使得， 即，整理得， 由于不共面，因此系数必须全为0， 则，显然矛盾，因此不共面，因此也是空间的一个基底，故A正确； 对于B，对空间任意一点和不共线的三点，，， 若四点共面，可设，其中， 则， 可得， 由于，且， 可知四点共面，故B正确； 对于C：若直线的方向向量为，则其斜率为， 而直线的斜率为，故C错误； 对于D：由，得，故D错误. 故选：AB. 10. 已知是数列的前项和，且，，则下列命题正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义以及分组求和法来求得正确答案. 【详解】由，得，两式相减得， 故数列的奇数项是等差数列，偶数项也是等差数列，公差都为3． ，，A正确； ，B错误； ，， ，C错误； ，，D正确． 故选：AD 11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，则下列选项正确的是（ ） A. 以为直径的圆与轴相切 B. 以为直径的圆的最小面积是 C. 若，则 D. 若，则的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，根据焦半径公式判断A；求出即可判断B；求出，即可求出点坐标，从而判断C，求出，即可求出，，，从而判断D. 【详解】对于A：抛物线的焦点为，准线为， 点在抛物线上，则， 又的中点坐标为，该点到轴的距离， 所以以为直径的圆与轴相切，故A正确； 对于B：因为，，所以当时， 此时以为直径的圆的最小面积是，故B正确； 对于C：若，，则，解得或， 所以或，则或，故C错误； 对于D：若，则抛物线， 所以，解得， 不妨取，则，所以， ，， 所以的周长，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平行直线与之间的距离为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】首先将两方程的、前面的系数化成一致，再由距离公式计算可得. 【详解】因为直线，即， 所以平行直线与之间的距离. 故答案为： 13. 已知等比数列的前4项和为8，前8项和为24，则S16______. 【答案】120 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】设公比为q，若 ，则数列 为常数列，前4项之和等于8，每项为常数2， 则前8项之和为16，不符合题意， ； ，依题意， ， ， ， ， ； 故答案为：120. 14. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是_____．（填序号） ①点在曲线上 ②点在上，则 ③点在椭圆上，若，则 ④过作轴的垂线交于两点，则 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①：根据“双纽线”的定义验证即可；对于②：根据“双纽线”的定义，使，求解出，再根据两点间距离公式验证即可；对于③：根据椭圆的定义可得及由可得，综合两式可求得，即可判断；对于④：设，利用“双纽线”的定义及两点间距离公式可得，解得，证明，即可得证. 【详解】对于①：因为，由定义知，故①正确； 对于②：点在上， 则，化简得， 所以，即，则，故②错误； 对于③：椭圆的焦点恰好为与， 则，又，所以， 故， 所以，③正确； 对于④：设，则，因为，则， 又，所以，化简得， 解得或（舍去），则， 因为，所以，因此，故，所以，故④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为 （1）当取最小值时，求n的值； （2）求出的通项公式. 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】 （1）直接对进行配方，由可求出其最小值 （2）由求解的通项公式 【详解】解：（1）， 因为， 所以当或时，取最小值， （2）当时，， 当时，， 当时，满足上式， 所以 【点睛】此题考查由数列的递推公式求通项公式，考查的关系，属于基础题 16. 已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点； （2）当时，求直线被圆截得的弦长． 【答案】（1） 直线，即， 令，解得， 所以直线恒过定点. （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线过定点坐标，即可得证； （2）将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，最后由弦长公式计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时直线， 又圆，即，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，得到向量的坐标，根据垂直关系求出平面的法向量，利用法向量的夹角与两平面夹角的关系求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，得到向量的坐标，根据垂直关系求出平面的法向量，利用法向量与平面的夹角和向量与平面夹角的关系求解即可. 【小问1详解】 （1）因为平面，，所以，，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 因为，，分别是棱，，的中点，，， 则，，，，，，. 所以，， 设平面的法向量为， 所以，即，则，令，则，所以， 又平面，所以即为平面的一个法向量，. 设平面与平面夹角为， 则, 即平面与平面夹角的余弦值为． 【小问2详解】 由（1）可知，平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得； （3）利用（1）中结果得，再由裂项相消法，即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由，可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以. 【小问2详解】 因为，则， 所以③， ④， ③④得 ， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，所以， 则. 19. 已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． （1）求双曲线C的渐近线方程； （2）直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程和双曲线的性质，利用待定系数法，即可求解双曲线方程； （2）①首先求直线的方程，与双曲线方程联立，求弦长，并求点到直线的距离，再代入面积公式，即可求解；②当直线的斜率不为0时，设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，当直线的斜率为0时，分别求出点的坐标，再代入验证，即可求解. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为． 因为点在双曲线上，得． 因为离心率为，所以， 又，解得， 所以双曲线的渐近线方程为． 【小问2详解】 由（1）知双曲线． ①直线斜率为，，故直线的方程为， 代入双曲线得， ，， 所以． 又点到的距离为， 故的面积为． ②设， 当直线斜率存在且不为0时，设， 代入双曲线得， ，，， 所以 ， 若为常数，则为常数， 设，为常数，则对任意的实数恒成立，， 所以，所以，此时． 当直线斜率为0时，，，对于， 则， 直线斜率不存在时，， 则，对于， 则， 所以在轴上存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $