精品解析：广东广州市第六中学2025-2026学年高一上学期数学期末考试

2025级高一上学期数学期末考试 命题人：刘涛 审题人：朱桂静 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和班别填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据符号代表的数集，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. “”是“函数的图像关于中心对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件必要条件的定义，结合三角函数的性质，作出判断. 【详解】当时，，此时的图像关于中心对称， 当函数的图像关于中心对称时，，此时不一定为0. 所以“”是“函数的图像关于中心对称”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数在下列区间一定有零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理判断作答. 【详解】函数， 则， 于是， 由零点存在性定理知，函数在区间、、上不能保证有零点，在区间上一定有零点. 故选：D 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行比较即可. 【详解】因为函数是实数集上的增函数， 所以有. 因为函数是正实数集上的增函数， 所以有. 因为函数是正实数集上的减函数， 所以有，所以. 故选：B 5. 已知函数，若对任意，当时，的图象与的图象有交点，则的取值范围为（ ） A. （0，1） B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出分段函数的值域，根据对任意，当时，的图象与的图象有交点，可得函数的值域要覆盖所有的正实数，进而可得出答案. 【详解】当时，为减函数，则， 当时，为减函数，则， 因为对任意，当时，的图象与的图象有交点， 所以函数的值域要覆盖所有的正实数， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C. 6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，可以计算得到，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么，如果每天的“进步率”和“退步率”都是20%，要使“进步值”是“退步值”的倍，大约至少需要经过（ ） A. 9天 B. 8天 C. 7天 D. 6天 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，即，结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】根据题意，设经过天后，“进步值”时“退步值”的倍， 可得，即，即， 两边同取对数，可得，即， 所以要使“进步值”是“退步值”的倍，大约至少需要经过天. 故选：B. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦的两角和差公式和切化弦思想，即可求出结果. 【详解】由已知得：； ； 两式相加得：， ， ， 所以， 故选：B. 8. 已知定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据时的函数解析式以及奇函数的性质作出函数图象，得到有5个零点，其中4个零点之和为0，利用解出最后一个零点的值，并得到所有零点之和. 【详解】当时， 即时，， 时，， 时，， 画出时的图象，再结合奇函数关于原点对称，画出时的图象， 则直线与的图象有5个交点，即有5个零点，设为， 易得，，， ，则， 因为，， 所以， 即，，， 综上，所有零点之和. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. ，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】运用比较法、特值法、不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对于A：因为， 所以，所以A正确； 对于B：当时，显然不成立，所以B不正确； 对于C：， 因为， 所以， 所以， 即，所以C不正确； 对于D：因为，， 所以，所以D正确. 故选：AD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的一条对称轴是 B. 将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度可得到的图象 C. 函数在区间单调递增 D. 函数的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦二倍角公式、降幂公式、辅助角公式把函数解析式化成正弦型函数形式，根据正弦型函数的对称性、单调性、最值性质、图象变换性质逐一判断即可. 【详解】 . 对于AD：由可知该函数的最大值为，故D正确， 最小值为， 因为， 所以是函数的一条对称轴，故A正确； 对于B：的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将的图象向下平移个单位长度可得到的图象，故B不正确； 对于C：由显然是的子集， 所以函数在区间是单调递增函数，故C正确. 故选：ACD 11. 设函数的定义域为，为奇函数；为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上为增函数 D. 方程仅有6个实数解 【答案】ABD 【解析】 【分析】先依次求出函数对称性和周期，对于A，由函数对称性结合题设可判断选项正误；对于B，由函数周期性结合题设可判断选项正误；对于C，由函数对称性及周期性可得到大致图像，据此可判断选项正误；对于D，方程解的个数，即为函数与函数图像在同一坐标系下交点的个数，据此可判断选项正误. 【详解】因为为奇函数，所以图像关于对称； 因为为偶函数，所以图像关于对称. 则，. 从而， 所以是周期函数，周期为8. 对于A，因图像关于对称，则， 又图像关于对称，则，故A正确； 对于B，因的一个周期为8，则为奇函数，故B正确； 对于C，因时，，. 则时，. 则. 又，则. 据此可画出大致图像如下， 从而可得在上单调递减，故C错误； 对于D，方程解的个数，即为函数与函数图像在同一坐标系下交点的个数， 由图可得交点有6个，即方程有6个解，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：_____. 【答案】## 【解析】 【分析】运用换底公式，结合指数幂的运算公式、对数的运算性质进行运算即可. 【详解】 . 故答案为： 13. 已知，则_____. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据诱导公式、二倍角公式等知识来求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 14. 设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，则_____，集合中所有元素之积为_____. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】代入计算求出函数值；分段求出函数的值域，进而求出集合中所有元素之积. 【详解】函数， 则； ， 因此函数的周期为， 则， 当时，； 当时，，； 当时，； 当时，，； 当时，，； 当时，，， 因此集合为，， 所以集合中所有元素之积为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合. （1）若为角终边上一点，求的值； （2）若为第三象限角，化简. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化简式子，利用同角三角函数关系中的商关系、三角函数的定义进行求解即可； （2）根据同角三角函数关系，结合三角函数值正负的性质进行运算即可. 【小问1详解】 ， 因为为角终边上一点， 所以，代入上式， 得 【小问2详解】 ， 因为为第三象限角， 所以， 所以 . 16. 已知是奇函数. （1）求实数； （2）判断的单调性，并给出证明； （3）若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递减函数，证明如下： 设是任意两个实数，且， ， 因为， 所以， 因此， 所以该函数是单调递减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义和性质进行求解即可； （2）根据函数单调性的性质，结合指数函数的单调性进行判断并证明； （3）根据指数幂的运算法则化简不等式，通过构造函数，利用函数单调性的性质求出所构函数的最值进行求解即可. 【小问1详解】 因为 所以函数的定义域为实数集， 因为是奇函数， 所以， 即， 因为 ， 所以函数是奇函数，即； 【小问2详解】 是单调递减函数，证明略： 【小问3详解】 ， 使得成立， 只需，， 令，因为，所以， 设， 因为函数在时都是单调递增函数， 所以函数在时都是单调递增函数， 所以， 于是有，所以实数的取值范围为. 17. 已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数，函数的最小值是5，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（１）由题可得无实数根，据此可得答案； （２）令，，通过讨论与对称轴大小关系结合题设可得答案 【小问1详解】 因的定义域为R，则对． 从而方程无实数根， 则； 【小问2详解】 ． 则．令． 令． 若，则，这与矛盾； 若，或（舍）． 综上，当的最小值为5时，． 18. 已知函数最大值为2，两对称轴间的最小距离为. （1）求函数的解析式； （2）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； （3）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的最值、周期性、特殊角的正弦值进行求解即可； （2）根据特殊角的正弦值，结合函数零点的定义进行求解即可； （3）由题意，令，则问题转化为方程在上有解，分离参数，构造函数，利用单调性求值域即可求解. 【小问1详解】 因为函数最大值为2，所以. 因为函数两对称轴间的最小距离为， 所以函数的最小正周期为， 因为， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以令，即， 所以函数的解析式为； 【小问2详解】 ， ，或， 解得，或， 因为， 且函数区间上有且仅有两个零点， 所以从左到右的零点为，，，且， 所以实数的取值范围 【小问3详解】 因为， 所以由 即，其中， 因为，则，令， 则有，则关于t的方程在上有解， 由可得， 令，则， 因为，在上均为减函数， 所以函数在上为减函数，且当趋向于时，趋向于正无穷大， 则，所以，解得， 故实数a的取值范围是. 19. 若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“加速增长函数”. （1）试判断函数，，是否为“加速增长函数”；（直接给出结论，不需要过程） （2）若函数为“加速增长函数”，求的取值范围； （3）若函数为“加速增长函数”，且，求证：对任意，都有. 【答案】（1）是 （2） （3） 因为函数为“加速增长函数”， 所以任意正数，，都有，，且， 令，则有， 所以对于正整数和正数，都有， 当时，则有， 所以， 同理， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据加速增长函数定义， 结合二次函数、对数函数、指数函数的单调性逐一判断即可； （2）根据加速增长函数定义，结合换元法、因式分解法、指数幂的运算性质、指数函数的单调性进行求解即可； （3）利用赋值法，结合加速增长函数定义进行证明即可. 【小问1详解】 函数，不是“加速增长函数”，是“加速增长函数”，理由如下： ，显然，不符合加速增长函数的定义； 当时，函数单调递增， 所以； 当，时， ， ， 因为， 所以， 所以，即， 所以不符合加速增长函数的定义； 因为函数是正实数集上的增函数， 所以是正实数集上的增函数， 于是当时，有； 当，时， ， 因为，， 所以，因此， 于是， 因此是“加速增长函数”； 【小问2详解】 函数为“加速增长函数”， 所以当时，恒成立，且当，时，. 当时，由， 令， ， 因为，所以， 要想当时，恒成立，只需； 当，时， 由 令，所以， 不等式化为： ， 因为， 所以由， 因为， 所以， 要想恒成立，只需， 综上所述，， 所以的取值范围. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一上学期数学期末考试 命题人：刘涛 审题人：朱桂静 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和班别填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“函数的图像关于中心对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 函数在下列区间一定有零点的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若对任意，当时，的图象与的图象有交点，则的取值范围为（ ） A. （0，1） B. C. D. 6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，可以计算得到，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么，如果每天的“进步率”和“退步率”都是20%，要使“进步值”是“退步值”的倍，大约至少需要经过（ ） A. 9天 B. 8天 C. 7天 D. 6天 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. ，，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的一条对称轴是 B. 将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度可得到的图象 C. 函数在区间单调递增 D. 函数的最大值是 11. 设函数的定义域为，为奇函数；为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上为增函数 D. 方程仅有6个实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：_____. 13. 已知，则_____. 14. 设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，则_____，集合中所有元素之积为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合. （1）若为角终边上一点，求的值； （2）若为第三象限角，化简. 16. 已知是奇函数. （1）求实数； （2）判断的单调性，并给出证明； （3）若使得成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数，函数的最小值是5，求实数的值. 18. 已知函数最大值为2，两对称轴间的最小距离为. （1）求函数的解析式； （2）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； （3）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 19. 若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“加速增长函数”. （1）试判断函数，，是否为“加速增长函数”；（直接给出结论，不需要过程） （2）若函数为“加速增长函数”，求的取值范围； （3）若函数为“加速增长函数”，且，求证：对任意，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $