基本功专练（3）解直角三角形的应用-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）宁夏专版

基本功专练（三）解直角三角形的应用 (时间：40分钟满分：60分) 1.(8分)某临街店铺在窗户上方安装遮阳：3.(10分)某大桥采用H型斜拉桥结构，平 棚，其侧面示意图如图所示，遮阳棚展开 面图如图所示，测得拉索AB与水平桥面 长度AB=200cm,遮阳棚与墙面的夹角 的夹角是45°，拉索CD与水平桥面的夹 ∠BAD=72°，求遮阳棚前端B到墙面 角是65°，两拉索顶端的距离AC为2m,两 AD的距离.（结果精确到1cm,参考数 拉索底端的距离BD为10m,求立柱AH的 据：sin72°≈0.951，cos72°≈0.309， 高.（结果精确到0.1m,参考数据：sin65°≈ tan72°≈3.078) 0.91,cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 6545≥B D 2.(8分)某超市利用一个带斜坡的平台装卸 货物，其截面ACFE如图所示，AE为台 面，AC垂直于地面，AB表示平台前方的 斜坡，斜坡的坡角∠ABC=43°，坡长 4.(10分)如图，某次军事演习中，一艘船以 AB=2m.为保障安全，又便于装卸货物， 40km/h的速度向正东方向航行，在出发 决定减小斜坡AB的坡角，AD是改造后的 地A测得小岛C在它的北偏东60°方向， 斜坡(，点D在直线BC上)，坡角∠ADC= 2h后到达B处，此时，测得小岛C在它 31°，求斜坡AD底端D与平台的距离CD. 的北偏西45°方向，求该船在航行过程中 (结果精确到0.1m,参考数据：sin43°≈ 与小岛C的最近距离.（结果精确到 0.68,cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，sin31°≈ 1km,参考数据：√2≈1.41，√/3≈1.73) 0.52,cos31°≈0.86，tan31°≈0.60) 北 北 160 A31人43°H D ·17· 5.(12分)如图，某地政府为解决当地农户网 6.(12分)我国古代在公元前2世纪就制成 络销售农产品物流不畅问题，计划打通一 了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的 条东西方向的隧道AB,无人机从点A的 《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜 正上方点C处沿正东方向以6m/s的速 高悬，置水盆于其下，则见四邻矣.”如图 度飞行15s到达点D,此时测得点A的 ①所示，其工作方法主要利用了光的反射 俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方 原理.在图②中，AB呈水平状态，AE,CD 向再飞行60s到达点E,测得点B的俯角 为法线，∠BCD=∠ACD=41°，∠CAE 为37°. 37°，AE AB.已知AB=11√2m,求镜面 (1)求无人机的高度AC;(结果保留根号) 上点C到水盆A的距离.（结果精确到 (2)求隧道AB的长（结果精确到1m,参 0.1m,参考数据：sin82°≈0.99，cos82°≈ 考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈ 0.14,tan82°≈7.12) 0.80,tan37°≈0.75，√3≈1.73) 大镜 T 野北 镜面 CP 60D 377E →东 图① 图② ·18…(2)号2(1)证明：BE,CF分别 C 是△ABC的高线，·∠AEB=∠AFC=90°，又，∠A=∠A, .△ACFO.△ABE.(2)解：在Rt△ABE中，∠A=60°， ∠AE=30.AE=立An,△ACPO△AnE,能 能架-2又：∠A=∠A△AEFn△AC,指 (AB) ,13.(1)证明：AB⊥AG,GH⊥ AG,.∠BAF=∠HGF=90°.又：∠BFA=∠HFG, △BFA△HFG.(2)解：：AB⊥AE,DC⊥AE,∴.CD∥AB, .△ABE∽△CDE.设AE=xm,:EF=9m,.AF=(x+ 9m△ABB△CDE,8-器：CE=3m,CD=2m AB=,AB三xm.又△BFA∽△HFG,A5= 2 2 2 品-解得=7AB-号×27=18m答 旗杆AB的高度为18m. 易错章测（二） 1.A2.A3.C4.A【易错点拨】运用两边成比例且夹角相 等判定两个三角形相似时，要找准等角的两边.5.D6.A 7.1:48号9后+110.(3,0)或(-子0）【易错点 拨】未明确相似三角形的对应关系时，需分类讨论，避免漏解。 11.证明：：△ABC是等腰三角形，AD是顶角∠BAC的平分 线，∴AD⊥BC..∠ADC=90°.：BE是腰AC上的高， .∠BEC=90°..∠ADC=∠BEC.又：∠C=∠C,.△ACD ∽△BCE. 12.解：(1)如图，△A'B′C'即为所求. (2)A'(-1,0),B(2,0),C(1,2). A A' 13.解：由题意，得AF⊥BC.:DE∥BC,∴△ABC∽△ADE. AH1DE,AP1能=詣即号=6AF 8m.答：河的宽度AF为8m.14.证明：(1)，OD=2OA,OC =20B8器-8哭=子又：∠A0B=∠D0c.△A0B0 △DOC.(2)由(1)得△AOB∽△DOC,∴.∠ABO=∠DCO, :AB∥DE,.∠ABO=∠EDO.∴.∠DCO=∠EDO.又 第20页( OD OC :∠DOC=∠EOD.AD0 OAEOD.OE-OD.OD= OC·OE. 阶段微测试（四） 1C2.C3.A4.D5.A6,B7.60°8.9.3YE 13 13 10(片0）1.解：1原式=2×合竖-1-号(2)原式 3 2 32 12.解：在△ABC中，∠A= 30°，∠C=90°，.∠B=180°-∠A-∠C=60°.又.b=J3,.a oSA=2.13.解：过点A作AH上BC于 b =b·tanA=1,c= 点H.在R△ACH中，cosC-是=子，CH=是AC AH=VAC-CF=含.在R△ABH中，∠B=30, 6 ∴AB=2AH=9.14.解：(I):AD是BC边上的高，AD 1BC在R△ABD中，AD=12,AB=品=15BD= √AB2-AD=9.BC=14,.CD=BC-BD=5.(2)在 Rt△ACD中，AD=12,CD=5,AC=√AD+CD=13.,E 是AC的中点，∴.DE=CE.∴.∠EDC=∠C..sin∠EDC= sin C=AD_12 AC-13· 15.解：(1)CD⊥AB,.∠ADC=∠BDC =90,:在R△BCD中，anB-品-号CD=号BD= 在Rt△ACD中，CD=4,AD=2,∴.AC=√CD+AD 25.(2)过点E作EF⊥AB于点F.:CD⊥AB,EF⊥AB, CD/ER:E是边BC的中点BE=CE=C小器 能-邵=子DF=BF=3,EF=CD=2.AF=AD+ DF=5.AE-VAF FEFT-29.'cos EAB=AF_ AE= 5_5V29 2929 基本功专练（三）解直角三角形的应用 L,解：过点B作BE⊥AD于点E,则∠AEB=90°.：在 Rt△AEB中，∠BAD=72°，AB=200cm,∴.BE=AB· sin∠BAD≈190cm.答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为 190cm.2.解：，在Rt△ABC中，AB=2m,∠ABC=43°， ∴.AC=AB·sin∠ABC≈1.36m.在Rt△ADC中，∠ADC =3CD=m2只23m答：斜技AD底端D与平台 的距离CD约为2.3m.3.解：设AH=xm,则CH=(x 共24页) 2》m在R△ABH中∠B=45BH==rmDH =BH-BD=(x-10)m.在Rt△CDH中，∠CDH=65°， .CH=DH·tan∠CDH≈2.14(x-10)m..x-2=2.14(x 一10)，解得x≈17.0.答：立柱AH的高约为17.0m.4.解： 过点C作CD⊥AB于点D,则∠ADC=∠BDC=90°.由题意， 得AB=40×2=80(km),∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD= CD 90°-45=45，AD三CAD=3CD,BD=CBD =CD.AB=AD+BD=80km,√3CD+CD=80.∴.CD≈ 29km.答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离约为 29km.5.解：(1)由题意，得CD=6×15=90(m).:在 Rt△ACD中，∠ADC=60°，∴.AC=CD·tan∠ADC= 90√3m,答：无人机的高度AC为90√3m,(2)过点B作BF⊥ CE于点F,则四边形ABFC是矩形..BF=AC=90√3m,AB C正在R△BEF中，LBEF=37,EF0专 120√3m..CE=6×(15+60)=450(m),.AB=CF=CE EF≈242m.答：隧道AB的长约为242m.6.解：过点A作 AF⊥BC于点F,则∠AFB=∠AFC=90°.：AE⊥AB, .∠EAB=90°..∠CAE=37°，.∠CAB=∠EAB-∠CAE= 53°.∠BCD=∠ACD=41°，.∠ACB=82°，∴.∠B=180°- ∠CAB-∠ACB=45°.：在Rt△ABF中，∠B=45°，AB= 11√2m,∴.AF=AB·sinB=11m.在Rt△ACF中，∠ACB =82AC=nCB≈1.1m答：面上点C到水盆A 的距离约为11.1m. 易错章测（三） 1.B2.C3.A4B5.A6B7.78409.25 10.101.解：(1)原式=3×-1+2×5-5-1十5= 3 25-1.2原式-5×+E×号+6×（停）=号+1+2 =号、12.解：在R△DBC中，BD=10E.∠BDC=45, ∴BC=BD,m∠BDC=10.在R△AC中，nA-S-号 =方“∠A为镜角，∠A=30.13.解：(1)：∠ACB 90°，O是AB的中点，CO=6.5,∴.AB=2CO=13..BC=5, .AC=√AB-BC=12.(2):∠ACB=90°，O是AB的中 点0A=OC=号AB.∠A=∠0CA.6os∠0CA=osA -答-号amB=瓷=长14，解：延长AB,交DC于点 第21页( H,则∠AHD=90.:∠BCH=30,BC=6m,BH=BC =3m,CH=BC·cos∠BCH=33m.,'∠ADC=45°，.AH =DH=CD+CH=(4+33)m.∴.AB=AH-BH=1+3√3 ≈6.2(m).答：杨树AB的高度约为6.2m.15.解：过点A作 AD⊥BC,交BC的延长线于点D.设AD=x n mile.由题意，得 ∠ABD=90°-58°=32°，∠ACD=90°-45°=45°，BC= 6 n mile.在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，.CD=AD =n mile..BD=CD+BC=(x+6)n mile.,在Rt△ABD 中，am∠ABD=品÷产≈0,625，解得x=10.AD= 10 n mile..10>9,.如果渔船不改变航线继续向西航行，没有 触礁的危险 易错章测（四） 1.B【易错点拨】判断正投影的形状时，易忽视题目中给出的 投影方向而致错，2.B3.C4.B【易错点拨】在由投影判 断光源时，混淆平行投影和中心投影的特征而致错，平行投影 的光线互相平行，中心投影的光线交于一点.5.C6.D 7.中心8.②③9.410.7【易错点拨】此类求小正方体个 数的题，一般在俯视图的每个小正方形上标出相应位置可能出 现的小正方体的最多个数再相加即可，如果未掌握解题方法容 易多算或少算，11.解：如图所示. 主视图 左视图 俯视图 12.解：(1)如图，EG即为所求 (2)由题 G E CB 意，得△ABC∽△DEG,“是-瓷，即是-洽DE 号m答：旗杆DE的高度为号m13.解：()四棱柱（②由 这个几何体的三视图，得几何体的底面为对角线长分别为4和 E的菱形，高为4.“这个儿何体的底面积为子×4×厄=2VE。 ∴.这个儿何体的体积为2√2×4=8√2.14.解：(1)如图所示. 主视图 左视图 俯视图 (2)315.解：(1)由题意，得EP=FQ=1.8m,CP=2m,PQ= 6.5m△cEP△CBD.品-6品即=品cD= 2 10m.∴.QD=CD-CP-PQ=1.5m.答：小明站在Q处时，在 路灯AC下的影长QD为1.5m.(2)由题意，得△DFQo △DAC是-器即是=品AC=12n答：路灯AC 的高度为12m. 共24页)