第3章 圆综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）宁夏专版

第三章综合评价 (asa (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目 舒 要求) 题号 2 3 5 6 > 8 兹 答案 1.已知⊙0的半径为4，若PO=5,则点P与⊙0的位置关系是 A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.无法确定 2.如图，AB是⊙O的直径，∠AOD=70°，C是BD的中点，则∠DOC的度数为 A.65° B.55° C.110° D.60 弥 B (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 3.如图，A,B,C,P是圆上四点，∠P=50°，∠ABC=60°，则∠ACB的度数为 A.40° B.50° C.60° D.70° 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,C为BD的中点.若∠A=50°，则∠CBD的度数为 封 A.50 B.40° C.30 D.25 5.如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的边心距是 A.2 B.2√/3 C.4 D.4√3 6.我国是世界上最早制造并使用水车的国家.1556年第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷 仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰，水车及其舀水灌溉示意图如图所示，水车轮的辐条（圆的 半径)OA的长约为6m,则水斗从A处逆时针旋转150°至B处所经过的路程为 A.3πm B.5πm C.6πm D.10πm B ※ (第6题图) (第7题图) (第8题图) 7.如图，在⊙O中，∠A=55°，分别过B,C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P,则∠P的度数 为 ( A.55 B.70° C.110 D.140 8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是BC延长线上一点，连接OA,OC,PA,D是AC的中点，OD的 延长线交AP于点Q,连接CQ.若∠PCA=∠PAB,则下列结论不一定正确的是 A.∠B=∠AOD B.OQ垂直平分AC C.PA,CQ都是⊙O的切线 D.CQ∥AO 第1页（共6页） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9.如图，正九边形内接于⊙O,AB为正九边形的一边，C为正九边形的一个顶点，则∠ACB的度数 为 (第9题图) (第10题图) (第12题图) (第13题图) 10.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则BE的长 为 11.已知⊙O的直径为10cm,圆心O到直线l的距离为10cm,则直线l与⊙O的位置关系是 .(填“相交”“相切”或“相离”) 12.如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A,B,C.若A点的坐标为(0,4)，C点 的坐标为(6,2)，则圆心M点的坐标为 13.近年来，宁夏充分利用丰富的太阳能和风能资源，在“沙戈荒”地区加快新能源基地建设，全力 助力我国能源绿色转型.如图为风力发电机的示意图，叶片OA外端A到旋转中心O的距离为 20m,叶片OA当前在塔筒OB左侧且与塔筒夹角为30°.当叶片从当前位置顺时针旋转到点 A与塔筒OB在一条直线上时，叶片OA扫过的面积至少为 m.（结果保留π) 14.如图，点O是△ABC的内心.若∠A=80°，则∠BOC的度数为 B (第14题图) (第15题图) (第16题图) 15.如图，将量角器的中心O与含30°角的三角尺ABC斜边上的中点重合，AB的长等于量角器最 外圈半圆直径长，D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E,则∠BED= 16.如图，⊙O的半径为2，点O到直线1的距离为3，P是直线l上的一个动点.若PB切⊙O于点 B,则PB长的最小值是 三、解答题（本题共10小题，其中17,18,19,20,21,22题每题6分，23,24题每题8分，25,26题每 题10分，共72分) 17.如图，在⊙O中，AB=CD,求证：∠B=∠C 第2页（共6页） 18.如图，AB是⊙O的直径，点C,D均在⊙O上，∠ACD=30°，AD=4cm,求⊙O的直径. 19.如图，PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,⊙O的切线EF分别交PA,PB于点E,F,切点C在 AB上.若PA=12,求△PEF的周长. 20.如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆. (1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为_； (2)连接BE,已知BE是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值. 21.如图，在⊙O中，弦AC,BD相交于点E,连接AD,已知AC=BD. (1)求证：∠A=∠D; (2)若AC⊥BD,⊙O的半径为2，求CD的长. 0。 E 第3页（共6页） 22.如图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1， ⊙O的圆心O和弦AB的端点均在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画 图，不要求写出画法，并保留作图痕迹， (1)在图①中以AB为边画⊙O的内接正方形ABCD; (2)在图②中画圆周角∠AEB=135°，且点E在格点上。 B B 图① 图② 23.“板车”具有悠久的历史，20世纪90年代以前是农村主要运输交通工具，它发挥过重要的作用， 如图②是板车侧面部分的示意图.AB是车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地 时，地面CD与车轮⊙O相切于点D,连接AD,BD. (1)求证：∠ADC=∠DBC: (2)若CD=2√3，CB=3,求车轮的半径长. D 图① 图② 24.如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的一条弦，D为BC的中点，过点D作DE⊥AC于点E,延 长ED,AB,交于点F,连接DA. (1)若AB=9,求圆心O到EF的距离； (2)若DA=DF=6√3，求阴影部分的面积. 第4页（共6页） 25.在⊙O中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形.约定：当这个三角形为等腰直角三角形 时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角 形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个 三角形为圆的“完美三角形”.已知AB为半圆O的直径，C为半圆弧上一动点， (1)如图①，若以AC为底边作⊙O的“沉毅三角形”，以BC为底边作⊙O的“朴实三角形”，求 ∠DCE的度数. (2)如图②，△ACD是⊙O的“沉毅三角形”，且AD与⊙O相切： ①判断△ACD是否为⊙O的“完美三角形”，并说明理由； ②若AB=10,则△ACD的周长为 0 图① 图② 第5页（共6页） 26.在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后 再研究一般情况，证明结论 如图，已知△ABC,CA=CB,⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，连接AD,BD,CD (AD>BD). 【特殊化感知】 (1)如图①，若∠ACB=60°，点D在AO的延长线上，则AD-BD与CD之间的数量关系为 【一般化探究】 (2)如图②，若∠ACB=60°，点C,D在AB同侧，判断AD一BD与CD之间的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 (3)若∠ACB=90°，直接写出AD,BD,CD之间的数量关系. 0 图① 图② 第6页（共6页）标为（分-空）(2)令父-x-6=0,解得1=-2，=3. .点B的坐标为(3,0)，OB=3.令x=0,得y=-6,∴点C的 坐标为(0，一6).∴.OC=6.在Rt△OBC中，由勾股定理，得BC =0m+0W-后牛=86m∠0cB-- 、.(3)点P(m,m)在该抛物线上，∴m一m-6=m,即m 2m-6=0,解得m1=1十√7,2=1-√7.即m的值为1十√7或 1-√7.24.解：(1)在图③中，设法线为ST,则M ST∥BF,∴.∠BDT=∠DBF=∠MDS.:BF =12 em,DF=16 cm,'tan DBF=DF BF H 号.an53≈号，∠DBF=53.∠MDs 图③ =53°，即a=53°.(2)设法线ST与AB的交点为H,则DH⊥ AB.易得BH=DF=16cm”n=青a=53,0g=号 sin B3 sng=器=号设CH=3江m,CD=5xcm,则DH= 4xcm,..4x=12,解得x=3...CH=9cm..BC=BH-CH= 7cm.即光斑移动的距离BC为7cm,25.解：(1)根据题意，得 AD=AB=8m,AE=EF=xm,四周是八个全等的矩形，∴.AG =(8-2x)m,MN=(8-4x)m.∴.y=550×8x(8-2x)+ 500(8-4x)2=-800x2十3200x十32000.∴.y关于x的函数表 达式为y=-800x2+3200x+32000;(2)在y=-800x2+ 3200x+32000中，令y=34400,得-800x2+3200x+32000 =34400,整理，得x2一4x十3=0.解得x=1,或x=3(此时 MN为负数，舍去)，.8-2x=8-2×1=6.答：甲类材料中矩 形的长是6m,宽是1m(3),MN不小于2m,∴.8-4x≥2，解 得x≤号.0<<号.：y=-800r+3200x+3200 -800(x-2)2十35200，-800<0，.抛物线开口向下，在对称 箱左侧y随x的增大而增大.当0<<号时，3200<≤ 35000.当x=1时，y=34400.∴.当0<x≤1时，32000<y≤ 34400,(2)中开发商的费用够：当1<x≤号时，34400<y≤ 35000,(2)中开发商的费用不够.26.解：(1)把A(一4,0)， 16a-4b+c=0, C(2,6),O(0,0)代入y=ax2+bx+c,得4a+2b十c=6,解得 c=0, 1 a=2' b=2, 抛物线的函数表达式为y=号r十2x c=0. (2)A(-4,0),C(2,6),Sa=zX4X6=12.Saa0= 2S△0c=24.设直线AC的函数表达式为y=kx十d.将A(-4, 0),C2,6)代入，得0=-+d 解得-l直线AC的西 16=2k+d, 1d=4. 数表达式为y=x十4.设点Q的坐标为(g9十4)..S△oQ=之 第15页( ×4×1q十4|=24，解得q=-16,或q=8.当q=-16时，9+4 =-12:当q=8时，q十4=12..点Q的坐标为(-16，-12)或 (8,12).(3)存在，点N,H的坐标分别为N(2+6√2,6)， H(6√2-4,0)或N(2-6√2,6)，H(-6√2-4,0)或N(-4, 6),H(2,0)或N(2,-6),H(8,0).【解析】分三种情况讨论： ①当AC为菱形的对角线时，如答图①.由(2)可知，OA=OB= 4,∴.∠BAO=45°..∠NAO=2∠BAO=90°，∴.菱形AHCN 为正方形.∴.AN=CH=AH,.N(-4,6),H(2,0);②当AH 为菱形的对角线时，CN⊥AH,点C,N关于x轴对称，点A,H 关于CN对称，如答图②.∴.N(2,-6),H(8,0);③当AN为菱 形的对角线时，如答图③④.AC=/(2十4)2十(6一0)2=6√2， ∴.CN=AC=6E.N(2+62,6),H(6√2-4,0)或V(2 6√2,6)，H(-6√2-4,0).综上所述，点N,H的坐标分别为 N(2+6√2,6)，H(6√2-4,0)或N(2-6√2,6)，H(-6√2-4， 0)或V(-4,6),H(2,0)或N(2,-6),H(8,0). 答图② 答图③ 答图④ 第三章综合评价 1.C2.B3.D4.D5.B6.B7.B8.D9.20°10.2 1.相离12.2,0)13.0914130°15.105°165 【解析】连接OB,OP,过点O作OP'⊥l于点P',则OP=3. PB切⊙O于点B,∴.OB⊥PB.∴∠PBO=90°.PB= √OP-OB=√OP一2.当点P运动到点P'的位置时，OP 的长有最小值，则PB长的值最小，此时OP=OP=3,∴.PB长 的最小值为√3-2=√5.17.证明：AB=⊙D,.∠AOB ∠COD.OA=OD,OB=OC,∴.△AOB≌△DOC(SAS). ∠B=∠C.18.解：AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° AD=AD,.∠ABD=∠ACD=30°..AB=2AD=8cm .⊙O的直径为8cm.19.解：：PA,PB分别与⊙O相切于点 A,B,EF与⊙O相切于点C,,.PB=PA=12,AE=CE,BF= CF.·△PEF的周长为PE+EF+PF=PE十CE+CF+PF= PE+AE+PF+BF=PA十PB=24.20.解：(1)W2:1(2)连 接OA,OB,OE.·四边形ABCD为⊙O的内接正方形， ∴∠AOB=90°.：六边形AEFCGH为⊙O的内接正六边形， “∠AOE=60°，∴∠B0E=∠AOB-∠AOE=30,÷n=60 =12.21.(1)证明：：AC=BD,.AC=BD.∴.BD-C=AC 共24页) -C,即C⊙D=AB.∴∠A=∠D.(2)解：连接OC,OD.:AC⊥ BD,∴∠AED=90°.∴.∠A=∠ADE=45.∠COD=2∠A= 90,:00的半径为2,1o=90X2=元22.解：(1)如图， 180 正方形ABCD即为所求，(2)如图， □点E即为所求.23.(1)证明：连接OD.AB 是车轮⊙O的直径，.∠ADB=90°.：CD与⊙O相切于点D, .OD⊥DC,.∠ODC=90°，.∠DBC=∠ADB+∠A=90°+ ∠A.OA=OD,∴∠A=∠ODA,∴∠DBC=90°+∠A=90 +∠ODA.:'∠ADC=∠ODC+∠ADO=90°+∠ODA, .∠ADC=∠DBC.(2)解：设车轮的半径长为r,∴.OD=OB= H在Rt△ODC中，∠ODC=90°，：OD+CD=OC,∴.2+ (2=(,十3)，解得r=号，即车轮的半径长为 24.解：(1)连接OD.D为BC的中点，.C⑦=B①.∴∠CAD= ∠BAD.OA=OD,∠BAD=∠ADO.∴∠CAD=∠ADO. ∴.OD∥AE.DE⊥AC,∴OD⊥EF..OD的长是圆心O到 EF的距离.：0D=号AB=4.5,圆心0到EF的距高是4 5.(2)过点O作OG⊥AD于点G.:DA=DF,∴∠F= ∠BAD.由(1)得∠CAD=∠BAD,.∠F=∠CAD.:∠F十 ∠BAD+∠CAD=90°，∴.∠F=∠BAD=∠CAD=30. ∠BOD=2∠BAD=60.OD⊥EF,∠ODF=90°.∴OD =DF·tanF=6.在Rt△OAG中，OA=OD=6,∠OAG=30°， 0G=合0A=3.5am=DA·0G=9万.Ss S形m十Sm=60xXE+95=6m十9V5.25.解：1)：AB为 360 半圆O的直径，.∠ACB=90°.，△ACD是以AC为底边的 “沉毅三角形”，∴.△ACD为等边三角形.∴.∠ACD=60°. :△BCE是以BC为底边的“朴实三角形”，∴△BCE为等腰直 角三角形.∴.∠BCE=45°.∴.∠DCE=360°-∠ACD-∠ACB -∠BCE=165°.(2)①△ACD为⊙O的“完美三角形”.理由如 下：连接OC.:△ACD是以AC为底边的“沉毅三角形”， △ACD为等边三角形.∴∠DAC=∠DCA=60°.：AD与 ⊙O相切，∴.OA⊥AD.∴.∠OAD=90°..∠OAC=90° ∠DAC=30°.：OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=30°..∠OCD =∠DCA十∠OCA=90°..OC⊥CD.OC为⊙O的半径， .DC为⊙O的切线..“沉毅三角形”△DAC的两条边都与圆相 切.∴△ACD为⊙O的“完美三角形”.②15√326.解：(1)AD一 BD=CD(2)AD-BD=CD.理由如下：在AD上取一点E, 使DE=CD,连接CE.:CA=CB,∠ACB=60°，∴.△ABC是等 边三角形..∠BAC=∠ABC=60°.∴∠ADC=∠ABC=60°， ∠BDC=180°-∠BAC=120°..△CDE是等边三角形. 第16页( .∠DEC=60°.∴.∠AEC=180°-∠DEC=120°.∴.∠AEC= ∠BDC.又CA=CB,∠CAE=∠CBD,∴.△CAE≌ △CBD(AAS)..AE=BD..AD-AE=DE,∴.AD-BD= CD.(3)AD-BD=√2CD或AD十BD=√2CD.【解析】①当点 C,D在AB的同侧时，如答图①，过点C作CE⊥CD,交AD于 点E,则∠DCE=90°.CA=CB,∠ACB=90°，∴.∠CAB= ∠ABC=45°.∴∠ADC=∠ABC=45°，∠CDB=180°-∠CAB =135°.∠CED=90°-∠ADC=45°=∠ADC..CE=CD, ∠CEA=180°-∠CED=135°=∠CDB.:'∠CAE=∠CBD, .△CAE≌△CBD(AAS)..AE=BD.在Rt△CDE中，根据 勾股定理，得DE=√CD十CE=√2CD.AD-AE=DE, AD-BD=√2CD.②当点C,D在AB的异侧时，如答图②， 过点C作CE⊥CD,交DA的延长线于点E.与①同理可得 AD,BD,CD之间的数量关系为AD十BD=√2CD. 答图① 答图② 期未综合评价（一） 1.B2.B3.C4.B5.B6.B7.C8.A9.y=(x 1)2+210.W311.110°12.a>-1且a≠013.(2√/3-1)m 14.2后15.+号165,2)或(-后，2)17.解：在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3W3,∠B=90°-∠A -90-30-60 tan A-C,BC=AC.tan A am30=35×9=3.osA=品AB=AS-9 3 cosA 2 =6.18.解：(1)，y=2x2-4x=2(x-1)2-2,.抛物线的开 口向上，对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1，一2).(2)把x -1代入y=2x2-4x,得y=2×(-1)2-4×(-1)=2+4=6, 点A(一1,6)在此二次函数的图象上.19.解：在Rt△ACD 中：AC=6,AD=4E,cos∠CAD=A8=5=号 .∠CAD=30°.，AD是∠BAC的平分线，.∠BAC= 2∠CAD=60°，∴.∠B=90°-∠CAB=90°-60°=30°，AB= AC 6 sin 301 -=12,BC=AC·tan60°=6×√5=6√5.20.解： 2 如图②，A门D连接OB,OM,过点O作EF⊥BC,交BC于点E, 图② 交MN于点F.:BC∥MN,.EF⊥MN,∴.EF平分BC,MN. 由条件可知BE=7mm,MF=15mm.:⊙O的半径为25mm, AB=36mm.在Rt△BEO和Rt△MOF中，OB=OM=25mm, 由勾股定理，得OE=√OB2-BE=√25-7产=24(mm),OF 共24页)