第1章 直角三角形的边角关系综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）宁夏专版

第一章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目 要求) R 题号 3 4 5 6 7 敏 答案 1.tan60°的值为 A.√3 B号 C.3 1 3 0.2 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,则cosA的值为 A B专 3 C. (第2题图)》 (第5题图) (第7题图) (第8题图) 苹 3.在R△ABC中，∠C=90,mA=号，BC=6,则AB的长为 A.4 B.6 C.8 D.10 封 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子一定成立的是 A.sin A=sin B B.cos A=cos B C.tan A=tan B D.sin A=cos B 5.如图，为测量一河两岸相对两电线杆A,B间的距离，在距点A15m的点C(AC⊥BA)处测得 ∠C=50°，则点A,B间的距离为 ( A.15sin50°m 15 B.15c0s50°m C.15tan50°m D tan50°m 6.在△ABC中，锐角∠A,∠B满足sinA- 1十(cmsB2)=0,则△A议是 线 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 7.如图，某梯子长10m,斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙 放 面上的点A处，底端落在水平地面上的点B处.现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角 为及已知sn=c0s一则梯子顶端上升了 ( A.1 m B.1.5m C.2m D.2.5m 8.第14届国际数学教育大会(ICME一14)会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”， 兰 如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD. 若EF:AH=1:3,则sin∠ABE的值为 c 5 D. 5 第1页（共6页） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.如果tanB=2,BC=2,那么AC的长为 V 40m 10m B (第9题图) (第11题图) (第12题图) 10.若a是锐角，且sina=cos77°，则a的度数为 11.如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在10m高的天桥两端分别修建了40m长的斜道，用 科学计算器计算这条斜道的倾斜角∠A的度数为 (精确到1). 5 12.如图，在平面直角坐标系中，点P在射线OA上，OP-=13,cosa=3,则点P的坐标为 13.已知锐角A与锐角B的余弦值满足cosA<cosB,则∠A与∠B的大小关系是∠A ∠B.(填“>”“<”或“=”) 14.已知a是锐角，且sina=3,则tan(90°-a)的值为 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=16,分别以点A和点B为圆心，大于2AB的长为半径画 弧，两弧相交于M,N两点，作直线MN,交边AC于点D,连接BD.若tan∠CBD=是，则BC 的长为 D 水M B OA N 图① 图② (第15题图) (第16题图) 16.图①为《天工开物》记载的用于春(chong)捣谷物的工具一一“碓(dui)”,图②为其平面示意图. 已知ABLCD于点B,AB与水平线l相交于点O,OE⊥I,CF⊥I.若BC=4dm,OF= 8V行dm.sn∠B0E=25,则CF= dm. 三、解答题（本题共10小题，其中17,18,19,20,21,22题每题6分，23,24题每题8分，25,26题每 题10分，共72分) 17.计算：2sin30°+c0s60°+cos245°. 第2页（共6页） 5 18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90,BC-12,tanB=2,求cosA的值. 19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠BDC=45°，BD=10√2，AB=20,求sinA的值 645° 20.由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB= ,AC=4√3，求AB的长.”这时小明去翻看了标准答案，显示AB=10.请你帮助小明 通过计算说明污渍部分的内容是什么： 21.如图，为了测量河对岸A,B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得点A, B均在点C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走100m至观测点D,测得点A在点D的正北 方向，点B在点D的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离.（结果精确到1m,参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 北 东 E B 37 、53 第3页（共6页） 22.由边长相等的小正方形组成的网格如图所示，B,C均在格点（网格线的交点）上，连接BC.在网 格中，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法 1)作∠CBA,使sin∠CBA-号，且点A为格点： (2)作∠CBD,使tan∠CBD=?,且点D在线段AC上. 23.拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的 西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品.某数学兴趣小组 决定测量东塔CD的高度.他们首先在A处安置测角仪，测得塔顶C的仰角∠CFE=21°，然后 往塔的方向前进50m到达B处，此时测得仰角∠CGE=37,已知测角仪AF高号m,请你根据 以上数据计算出东塔CD的高度.（参考效据：m37,an37≈，sim21≈号am21≈8） 第4页（共6页） 24.如图，D是△ABC的边AC上一点，CD=2AD,AE1BC,垂足为E,AE=9,sim∠CBD=. (1)求BD的长： (2)若BD=CD,求tan∠BAE的值. B E 25.如图，在△ABC中，AB=AC,∠CAD=∠ABC,DC⊥AC,AD与边BC相交于点P. (1)求证：AB=AP·BC: (2)若sin∠ABC=号，求BP:PC的值； (3)若BD⊥BC,求∠ABC的正切值 第5页（共6页） 26.通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，锐角A的正弦值等于这个角的对边与斜边 的比，记作snA=∠A的对边.对于锐角A的每一个确定的值，sinA都有唯一确定的值与它 斜边 对应，显然，0<sinA<1,因此建立了直角三角形中的边与角的关系.类似地，可以在等腰三角 形中建立边角之间的联系.规定：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sd),如图①， 在△AC巾A5=AC顶角A的正对记作sadA,此时adA-一器如：当/A=60时， sad60°=1.根据上述信息，解答下列问题： (1)求sad90°的值； (2)对于0°<∠A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 (3)如图②，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，sinA=3（∠A为锐角)，求sadA的值。 图① 图② 第6页（共6页）综合评价答案 第一章综合评价 1.A2.D3.D4.D5.C6.D7.C8.C9.410.13° 11.14°2912.(5,12)13.>14.2√215.816.2√5 17,解：原式=2×十十（号）-2,18，解：在R△ABC 2 5 中，BC=12,tanB=2,AC=BC·anB=5.AB= VAC+BC=13.osA-6-是19.解：在R△BDC 中，∠C=90°，∠BDC=45°，BD=10√E,.BC=BD· sin∠BDC=10.:在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=20,.sinA =器=合20解：过点C作CH上AB于点.：在 R△ACH中，∠A=30,AC=43,CH=号AC=25,AH =AC·cosA=6.:AB=10,.BH=AB-AH=4.∴.tanB= 鼎：污黄部分的内容是号21解：由超意，∠A ∠ACE=37°，∠ADB=53°..∠CBD=∠A+∠ADB=90. .∠ABD=180°-∠CBD=90°.：在Rt△BCD中，CD= 100m,∠BDC=90°-∠ADB=37°，∴.BD=CD·cos∠BDC ≈100×0,80=80(m).:在Rt△ABD中，∠A=37°，∴.AB= 六0号≈107a.答：A,B两点间的距离约为107m BD 22.解：(1)如图，∠CBA即为所求.(2)如图，∠CBD即为所求. 23.解：设CE=xm.易得四边形ABGF和 ADEF是矩形，·FG=AB=50m,DE=AF=号m.在 R△CFE钟，BF=an乙C距≈含xm在R△CGE中，BG an乙CGE寺xm.由EF-EG=FG,得号x-号=50，解得 4 1=空.CE=空mCD=CE+DE=39m答：东塔CD的 高为39m.24.解：(1)过点D作DF⊥BC于点F.:AE⊥ BCDF∥AE△(DFO△CAE.E-界CD 2AD,8=号：AE=9,5=号DF=6.在 9 R△BDF中，m∠CBD=器=子，即品=子BD=& (2)由(1)知DF=6,BD=8,∠DFB=90°，.BF= √BD-DF=2√7.BD=CD,DF⊥BC,∴.CF=BF=2V7. DF/AE景-器=2EF=CT=.BE=BF EF=7.tam∠BAE=BE=.25.1)证明：∠CAP= AE 9 ∠ABC,∠AcP=∠BCA,△ACP△BCA-= 第13页( :AB=AC提-品A=AP,BC(2)解：过点A作 AE⊥BC于点E.:AB=AC,AE⊥BC,.BE=CE=号BC :sm∠ABC=怎=手设AE=4k,则AC=AB=5k.∴BE =√AB-AE=3k.∴.CE=3k..BC=BE+CE=6k.由(1) 知△ACPn△BCA.∴瓷-器∴CP-瓷-答：BP- BC-CP=k.BP:PC=11:25.(3)解：BD⊥BC, 6 ∠DBP=∠AEP=90°.：AB=AC,.∠ABC=∠ACB. ∠CAD=∠ABC,∴∠CAD=∠ACB.∴.PA=PC.:DCL AC,∴∠ACB+∠DCP=90°，∠CDP+∠CAD=90°.∴.∠DCP =∠CDP.∴PD=PC..PA=PD.又∠APE=∠DPB, ∴△PAE≌△PDB(AAS).∴.PB=PE.设PB=PE=a,则BE =CE=2a..CP=PE+CE=3a.∴.AP=CP=3a.∴.AE= VaD-PE=2a.m∠ABC-能-E.26解：1)当 ∠A=90°时，AB=AC,.BC=√AB+AC=√2AB.∴sad90 -BC=EAB-2.(2)0<sadA<2[解析：当∠A接近0°时， AB AB sdA接近0.，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的 2倍，故sadA接近2..sadA的取值范围为0<sadA<2] (③延长AC到点D.使得AD=AB,连接BD:smA-答 亭∴设BC=3k,AB=5k,在R△ABC中，由匀股定理，得AC =VAB2-BC2=4k..CD=AD-AC=AB-AC=5k-4k= k,在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=√CD+BC= 干四=在等腰三角形A8D巾A铝- 第二章综合评价 1.C2.B3.C4.B5.C6.C7.B8.D9.1(答案不 唯一，a>0即可)10.y=(x-4)2-211.012.-3 13>>n142,-)15.21617.解：y -2x2十4x-1=-2(x-1)2+1,∴.该函数图象的开口向下，对 称轴为直线x=1.18.证明：由题意，得△=m2一4(m一2)= (m-2)2+4.(m-2)≥0，.(m-2)2十4>0，即△>0.∴.无 论取何实数，抛物线与x轴总有两个交点.19.解：由题意， 得a=2,∴.抛物线的函数表达式为y=2(x十1)2+b.把(2,3)代 入，得2×(2+1)2十b=3,解得b=-15.20.解：(1)把 B(-1,0)代入y=x2+2mx十m十1，得1-2m十m十1=0，解得 m=2..抛物线的函数表达式为y=x2+4x十3=(x十2)2-1. ∴.抛物线的对称轴为直线x=一2.(2)由题意，得新抛物线的函 数表达式为y=(x+2-n)2-1.把(0,0)代入，得(2-n)2-1= 0,解得n=3,或n=1.21.解：(1)(1，-4)5(2)如图所示. (3)x1=4,x2=-222.解：(1)把A(-1,0) 共24页)