第3章 圆(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）宁夏专版

根，其中一2<x<-1,0<x2<1.用计算器进行探索： -1.9-1.8-1.7-1.6 0.50.60.7 y… 0.710.440.19-0.04 -0.25-0.040.19… .方程的近似根是x1=一1.6，x2=0.6. 第三章圆 1圆 知识梳理 ②弦直径圆弧半圆等圆等弧( ③d>rd=rdr 当堂练习 1.C 2.D 3.D 4.AC,AB AB ABC.BAC AC.BC 5.解：(1)0<r<3.(2)3<<4. 2圆的对称性 知识梳理 ①过圆心圆心②相等相等③分别相等 当堂练习 1.D2.A3.C4.D5.(1)解：△AOC是等边三角形.理由 如下：：AC=CD,.∠AOC=∠COD=60°.又OA=OC, .△AOC是等边三角形.(2)证明：·∠BOD=180°-（∠AOC +∠COD)=180°-(60°+60)=60°，.∠BOD=∠AOC. .'BD=AC. *3垂径定理 知识梳理 ①平分弦所对的弧②垂直弦所对的弧 当堂练习 1.B2.A3.50°4.解：连接OA.D为AB的中点，∴.CD ⊥AB,AD=号AB=0,5m,∠ODA=90,设⊙0的半径为 rm,则OA=OC=rm..OD=CD-OC=(2.5-r)m.在 Rt△OAD中，由勾股定理，得OA=OD十AD,即r2=(2.5 r)2十0.52，解得r=1.3.∴.⊙0的半径为1.3m. 4圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角定理及其推论1 知识梳理 ①圆周角②一半③相等 当堂练习 1.C2.C3.60°4.120°5.解：C=⑦，.∠BAC= ∠CAD=28°.：∠ABD=∠ACD=50°，∴∠ADB=180° ∠ABD-∠BAC-∠CAD=74 第2课时圆周角定理的推论2,3 知识梳理 ①直角直径②互补 当堂练习 1.B2.A3.120°4.6.55.解：AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°..∠A+∠ABC=90°.∠A=∠D=32°， ∴.∠ABC=90°-∠A=58.:BD平分∠ABC,∠ABD= Z∠ABC=29.·∠ACD=∠ABD=29. 1 5确定圆的条件 知识梳理 ①不在同一条直线上②三边垂直平分线相等 第24页( 当堂练习 1.C2.B3.C4.105.解：(1)如图，点M即为所求，点M 的坐标为(5,5).(2)如图，点E即为所求.1 6直线和圆的位置关系 第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质 知识梳理 ①相交相切相离②切线切点 ③<=> ④过 切点 当堂练习 1.B2.B3.(1)4(2)相离4.3√55.证明：连接OC. OA=OB,CD=BC,.OC是△ABD的中位线.∴.OC∥AD. CE切⊙O于点C,.OC⊥CE..CE⊥AD. 第2课时切线的判定及三角形的内切圆 知识梳理 ①半径外端垂直②内切圆三条角平分线内心 当堂练习 1.B2.63.80°4.155.证明：∠B=29°，∴∠AOC= 2∠B=58°..∠OAP=180°-∠P-∠AOC=90°..OA⊥PA. OA是⊙O的半径，∴.PA是⊙O的切线. *7切线长定理 知识梳理 ①切线长 ②相等 当堂练习 1.B2.C3.34.55°5.解：根据切线长定理，得AF=AE, BF=BD,CE=CD.设AE=AF=xcm,则CE=CD=(26- x)cm,BD=BF=(18-x)cm.BC=28cm,∴.(18-x)+(26 -x)=28,解得x=8..AF=8cm,BD=10cm,CE=18cm. 8 圆内接正多边形 知识梳理 ①外接圆 当堂练习 1.C2.B3.B4.45°5.4 26.解：如图，正六边形 ABCDEF即为所求. 9 弧长及扇形的面积 知识梳理 目nR 180 9πR 360 子R 当堂练习 1.D2.D3.2V24.解：1)B配的长为120X25=50(m. 180 3 (2):AB=25cm,BD=15cm,.AD=AB-BD=25-15= 10(cm).S张=S0形c-S用影Me=120xX25-120元X102 360 360 175π(cm). 共24页)第三章圆 1圆 知识梳理 ①圆的概念：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中定点就是圆 心，定长就是半径.以点O为圆心的圆记作⊙O,读作“圆O” ②连接圆上任意两点的线段叫做 ,经过圆心的弦叫做 ;圆上任意两点间的部分 叫做·圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做 ·能 够重合的两个圆叫做 ·在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做 ③点与圆的位置关系：已知点P到圆心O的距离为d,且⊙O的半径为r,则点P在⊙O 外台 ;点P在⊙O上曰 ;点P在⊙O内台 当堂练习 1.下列图形为半圆的是 B D 2.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是 A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，点M,N在⊙O上，∠M=50°，则∠MON的度数为 A.50 B.60° C.709 D.80° (第3题图) (第4题图) 4.如图，点A,B,C在⊙O上，弦有 ,直径是 ,优弧有 ,劣弧有 5.如图，在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°，以点C为圆心作⊙C,半径为r. (1)当r在什么范围时，点A,B在⊙C外？ (2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？ ·20· 圆的对称性 2 知识梳理 ①圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 的直线.圆是中心对称图形，对称中心 为 ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦 ③在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都 当堂练习 1.圆是轴对称图形，其对称轴有 A.1条 B.2条 C.4条 D.无数条 2.下列说法不正确的是 A.直径是圆的对称轴 B.圆既是轴对称图形，也是中心对称图形 C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D.圆围绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合 3.如图，在⊙0中，AB=CD,∠1=45°，则∠2的度数为 ) A.60° B.30° C.45° D.40° D B (第3题图) (第4题图) 4.如图，已知∠AOB=∠COD,则下列结论不一定成立的是 A.AB=CD B.AB-CD C.△AOB≌△COD D.△AOB,△COD都是等边三角形 5.如图，AB是⊙O的直径，AC=CD,∠COD=60. (1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由. (2)求证：BD=AC ·21· *3垂径定理 知识梳理 ①垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且平分 ②平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且平分 目在圆中，弦长a、半径R与弦心距d之间的关系是(a)十=R. 当堂练习 1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4,则⊙O的半径为() A.4 B.4√2 C.5 D.52 M B (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=8cm,OC LAB于点C,则OC的长为( A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 3.如图，MN为⊙O的直径，与弦AB交于点C.若C为AB的中点，∠AMC=25°，则 ∠AMB的度数为 4.如图，圆形拱门的形状可以看作是以点O为圆心的圆的一部分，D为⊙O中弦AB的中 点，连接DO并延长，交⊙O于点C.已知AB=1m,CD=2.5m,求⊙O的半径. A DB ·22· 4圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角定理及其推论1 知识梳理 ①顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点.像这样的角，叫做 ②圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的 3推论1：同弧或等弧所对的圆周角 当堂练习 1.如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P,则AB所对的圆周角是 A.∠APB B.∠ABD C.∠ACB D.∠BAC B (第1题图) (第2题图) 2.如图，AB,AC为⊙O的两条弦，连接OB,OC.若∠A=45°，则∠BOC的度数为( A.609 B.75 C.90° D.135° 3.如图，⊙O的直径AB平分弦CD.若∠D=30°，则∠ACD的度数为 B (第3题图) (第4题图) 4.如图，点A,B,C,D在⊙O上，C为BD的中点.若∠A=30°，则∠BCD的度数为 5.如图，点A,B,C,D在⊙O上，BC=CD,∠CAD=28°，∠ACD=50°，求∠ADB的度数. 。0 ·23· 第2课时圆周角定理的推论2,3 知识梳理 ①推论2：直径所对的圆周角是 ;90°的圆周角所对的弦是 ②推论3：圆内接四边形的对角 当堂练习 1.如图，四边形ABCD内接于⊙O.若∠A=80°，则∠C的度数是 ( ) A.80° B.100° C.110° D.120° B D (第1题图) (第2题图) 2.如图，AB是⊙O的直径.若∠CDB=60°，则∠ABC的度数是 A.30° B.45° C.60° D.90° 3.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BOD=120°，则∠C的度数为 (第3题图) (第4题图) 4.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示 的测量，测得AB=12cm,BC=5cm,则圆形镜面的半径为 cm. 5.如图，已知AB为⊙O的直径，C,D为⊙O上两点，且BD平分∠ABC,连接CD,AC.若 ∠D=32°，求∠ACD的度数. ·24· 5确定圆的条件 知识梳理 ① 的三个点确定一个圆. ②三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形的三个顶点的距 离 当堂练习 1.已知△ABC的外接圆为⊙O,那么点O是△ABC A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 2.已知点A,B间的距离为2cm,则经过A,B两点，半径为2cm的圆能作 A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 3.如图，已知点O是△ABC的外心，∠A=40°，连接BO,CO,则∠BOC的度数是 ( B A.60° B.70° C.80 D.90° 4.已知Rt△ABC的外接圆⊙O的半径r=5cm,则斜边AB的长是 cm. 5.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,7),B(0,3),C(3,0). (1)画出△ABC的外接圆的圆心M,并写出点M的坐标； (2)画出⊙M与x轴的另一个交点E. ·25· 6直线和圆的位置关系 第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质 知识梳理 ①直线和圆有三种位置关系： 和 ②直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切时），这条直线叫做圆的 ,这个唯一 的公共点叫做 ③如果我们设r为⊙O的半径，d为圆心O到直线l的距离，则d r台直线1与⊙O相 交；d r台直线1与⊙O相切；dr台直线1与⊙O相离. ④圆的切线垂直于 的半径 当堂练习 1.“光盘行动”的宣传海报（部分）如图所示，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系 是 A.相切 B.相交 C.相离 D.平行 (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA,OB.若∠B=20°，则∠AOB的度数为 ( A.80 B.709 C.60° D.50° 3.如图，已知∠O=30°，M为射线OB上一动点，以点M为圆心，2cm长为半径作⊙M. (1)当OM=cm时，⊙M与直线OA相切； (2)当OM=5cm时，⊙M与直线OA的位置关系是 .(填“相交”“相切”或 “相离”) 4.如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B.若∠P=30°， BP=3,则线段AP的长为 5.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，延长BC到点D,使CD=BC,CE切⊙O于点C,交 AD于点E.求证：CE⊥AD, ·26· 第2课时切线的判定及三角形的内切圆 知识梳理 ①过 且 于这条半径的直线是圆的切线. ②和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的 ,内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 当堂练习 1.利用尺规作任意三角形的内心P,下列作法正确的是 P D 2.如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O外，连接AB,AC.若BC=8cm,AB=10cm,则AC的长 为 cm时，AC是⊙O的切线. (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心.若∠BOC=130°，则∠A的度数为 4.如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,O为△ABC的内心.若△ABO的面积为20，则 △ACO的面积为 5.如图，AB为⊙O的直径，点P在⊙O外，连接AP,OP,线段OP交⊙O于点C,连接 BC,∠P=32°，∠B=29°.求证：PA是⊙O的切线. ·27· *7切线长定理 知识梳理 ①过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的 ②切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长 当堂练习 1.如图，PA,PB与⊙O分别相切于点A,B,PA=2,∠P=60°，则AB的长为 ) A.3 B.2 C.6 D.4 B (第1题图) (第2题图) 2.如图，PA,PB是⊙O的切线，切点为A,B.若OP=4,PA=25,则∠AOB的度数为 ( A.60° B.90° C.120° D.无法确定 3.如图，AB,AC,BD是⊙O的切线，P,C,D为切点.若AB=8,AC=5,则BD的长为 B (第3题图) (第4题图) 4.如图，PA,PB分别切⊙O于点A,B.若∠P=70°，则∠C的大小为 5.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=18cm,BC= 28cm,CA=26cm,求AF,BD,CE的长. D ·28· 8圆内接正多边形 知识梳理 ①顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的 ②正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；正多边形的每一条边所对的圆心角 叫做这个正多边形的中心角；中心到一边的距离叫做这个正多边形的边心距. 当堂练习 1.下列说法错误的是 A.圆内接正多边形的每个内角都相等 B.圆内接正多边形都是轴对称图形 C.圆内接正多边形都是中心对称图形 D.圆内接正多边形的中心到各边的距离相等 2.中心角为30°的圆内接正n边形的n等于 ( A.10 B.12 C.14 D.15 3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O.若正六边形ABCDEF的周长是12，则⊙O的直 径是 A.2 B.4 C.2√3 D.43 (第3题图) (第4题图) (第5题图) 4.如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD上不同于点C的任意一点， 则∠BPC的度数是 5.如图，若圆内接正三角形的边长是4√3cm,则圆的半径R为 cm,正三角形的边心 距r为cm. 6.如图，已知⊙O和⊙O上的一点A,作⊙O的内接正六边形ABCDEF.(不写作法，保留作 图痕迹) ·29·