第1章 直角三角形的边角关系(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）宁夏专版

第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 第1课时正切与坡度 知识梳理 ①在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的 与 的比便随之确定，这个 比叫做∠A的正切，记作tanA. ②梯子的倾斜程度与tanA的关系：tanA的值越大，梯子越 ③正切也经常用来描述山坡的坡度，坡面的 与 的比称为坡度（或 坡比). 当堂练习 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,则tanA的值是 c D. 5 =1:5 5m 25° (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰三角形ABC,AB=AC,其中斜坡AB与水 平地面BC所成夹角∠ABC=25°，当BC=4m时，土堆顶端A到地面的距离AD为 ( 2 A.4tan25°m B tan25°m C.2tan25°m D.2sin25°m 3.如图，某地修建一座高BC=5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1：√，则斜坡AB 的长为m. 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB的中点，CO=6.5,BC=5.求tanB的值. B ·1 第2课时正弦与余弦 知识梳理 ①在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之 确定.∠A的 与 的比叫做∠A的正弦，记作 ;∠A的 与 的比叫做∠A的余弦，记作 ;锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三 角函数. ②梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：sinA的值越大，梯子越 ;cosA的值越小， 梯子越 当堂练习 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,AB=2,则sinB的值是 c D.2 B B (第1题图) (第3题图) 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=5,下列结论正确的是 ) A.tan B=12 B1nA=号 CmA=号 D.cos B= 5 3.如图，在△ABC中，∠C=90. ID若nA-号AB=8,则BC的长为 (2)若AC:AB=3:5,则cosB的值为 4.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，且BC=10cm,△ABC的周长为36cm, 求∠B的正弦值 ·2· 230°，45°，60°角的三角函数值 知识梳理 特殊角的三角函数值： 三角函数 三角函数值 sin a cos a tan a 角a 30° 45° 60° 图象记忆法 26011 451 B30° 人45° 5 C B 1 当堂练习 1.计算2sin30°的值为 A号 B.1 C.√2 D.√3 2.如图，在R△ABC中，∠C=S0C-5,则∠A的度数为 3.计算： (1)(-2)2-2sin30°=；(2)2cos60°-cos45°= 若sin(a十15)三，则锐角。的度数为 5.如图，一棵树在一次强台风中，从中间折断，倒下的部分与地面成30°角，已知树倒下后 树顶端(A)离树底端(C)的距离为5√3m,则这棵树在折断前的高度是多少米？ ·3· 3三角函数的计算 知识梳理 ①用科学计算器求三角函数值，要用到 sin cos 和tan键. ②已知三角函数值求角度，要用到sin cos tan键的第二功能“ ”和 键. 当堂练习 1.用计算器计算sin62°20的结果约是（结果精确到0.0001） ) A.0.8857 B.0.8856 C.0.8852 D.0.8851 2.已知cosa=0.2534,则锐角a约为 A.14.7 B.147' C.75.3 D.753' 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=32°24'，则tanB约等于 A.1.5757 B.0.9845 C.0.7964 D.2.2057 4.如图，在斜坡屋顶的设计图中，AB=AC,屋顶的宽度1为10m,坡角a为35°，则斜坡屋 顶的高度h为 m.(结果精确到0.1m》 B a Dh 5.用计算器求下列各式的值：（结果精确到0.0001） (1)tan15°·cos28°-tan43°； (2)sin8132'17"+cos38°43'47". ·4 4解直角三角形 知识梳理 ①由直角三角形中 的元素，求出所有 元素的过程，叫做解直角三角形， ②解直角三角形常用的边角关系 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则有： (1)三边之间的关系：a2+b=c2(勾股定理)； (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°； （3)边角之间的关系：nA=只.msA=名amA=号sin月=名emsB=名anB=么 当堂练习 1.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=2,BC=1,那么∠A的度数是 A.30 B.459 C.60° D.75° 2.在R△ABC巾，∠C=90,0sA=号AC=5,则AB的长为 A 65 B.3 0 c号 D号 3.如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT(PT与河岸PQ垂直)，测得PQ= 8m,os∠PQT-青则河宽PT为 ( A.5 m B.6 m C.7.5m D.8m P B (第3题图) (第4题图) 4.如图，AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tanC=2,则边AB的长为 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边上的一点，CD=6,cos∠ADC= 3 tamB=号，求BD的长. ·5· 5三角函数的应用 知识梳理 ①方位角一般指正北或正南方向与目标方向线所成的锐角. ②应用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为解直角三角形 问题，由于实际问题中往往没有直角三角形，因此合理构造直角三角形是解题的关键， ③在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在视线与水平线所成的 角中，视线在水平线下方的角叫做俯角，如图： 铅垂线 4视线 角水平线C 、俯角 B视线 当堂练习 1.如图，小雅家（点O处）门前有一条东西走向的公路，测得水塔在距她家北偏东60°方向 500m的点A处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是 ( A.250m B.250√3m C.500 -m D.500√2m 3 北 100m B →东 a =: (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.神舟二十号载人飞船于北京时间2025年4月24日在酒泉卫星发射中心成功发射.如 图，当火箭上升到点A时，在位于水平地面距离发射中心ak的R处的雷达测得仰角 为0，则此时火箭距地面的高度AL为 ( ) A.acos 0 km B. tan 0 km C.atan 0 km D.akm cos 0 3.如图，在高出海平面100的悬崖顶A处，观察海平面上的一艘小船B,并测得它的俯 角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC的长度为 m. ·6· +.如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为a,sina=号，堤坝高BC=30m,则迎水坡面 AB的长为 m. B 西O B ·东 南 (第4题图) (第5题图) 5.如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东60°方向，距离12 n mile,10 点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行n mile.. 6.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD=60°，为了提高楼梯的安全性能，准备重新建造 楼梯，使其倾斜角∠C=37°，求改建后的楼梯AC的长.（结果精确到0.1，参考数据： sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75，√/3≈1.73，√2≈1.41) D 7.如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部B处的仰角为30°，看这 栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高？ (√3≈1.732，结果精确到0.1m) 77777 ·7· 6利用三角函数测高 知识梳理 ①测量倾斜角可以用测倾器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成. ②测量底部可以到达的物体的高度时所得到的数学模型如图①所示，这时物高h满足的 关系式为h=ltan a十a. 图① 图② ③测量底部不可以到达的物体的高度时所得到的数学模型如图②所示，这时物高h满足 的关系式为h= btan atan2十a. tan B-tan a 当堂练习 1.如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成35°的夹角.已知缆车的速度为每分钟 30m,从山脚A到山顶B需16min,则山的高度为 ( ) B. 480 480 A.480sin35°m tan35°m C.480tan35°m D. in35°m (第1题图) (第2题图) 2.如图，婷婷想测量“青云塔”的高度.她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向 前进15m至B处，测得仰角为60°，那么塔高为 m. 3.在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实 践活动.如图，在测点A处安置测倾器，量出其高度AB=1.5,测得旗杆顶端D的仰角 ∠DBE=32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC=20m.根据测量数据，求旗杆CD 的高度.（结果精确到0.1m,参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62） B-132 ·8·随堂反馈答案 第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 第1课时正切与坡度 知识梳理 ①对边邻边②陡③铅直高度水平宽度 当堂练习 1.C2.C3.104.解：∠ACB=90°，O是AB的中点，C0 =6.5,∴.AB=2C0=13.BC=5,.AC=/132-5=12. mB-瓷=导 第2课时正弦与余弦 知识梳理 ①对边斜边sinA邻边斜边cosA②陡陡 当堂练习 1.C2.C31)452)号4.解：AB=AC,D为BC的 中点，.AD⊥BC.又：BC=10cm,△ABC的周长为36cm, ÷AB=2×(36-10)=13(cm).:D为BC的中点BD= 号BC=合X10=5(em.在R△ABD中，由勾股定理，得AD =VaB-D-可=12cm.∴sinB-铝是 230°，45°，60°角的三角函数值 知识梳理 名号誓竖1合 2 当堂练习 1.B2.30°3.1)3(21-4.45°5.解：在Rt△ABC 2 中，∠C=90°，AC=5W3m,∠A=30°，∴.BC=AC·tan30°= 5 m,AB=- cos30=10m.AB+CB=10+5=15(m.答：这棵树 AC 在折断前的高度是15m. 3三角函数的计算 知识梳理 ②sin cos-1 tan-I SHIFT 当堂练习 1.A2.C3.A4.3.55.解：(1)原式≈-0.6959.(2)原式 ≈1.7692. 4解直角三角形 知识梳理 ①已知未知 当堂练习 1A2.A3.B4.6√E5.解：在Rt△ACD中， as∠Ac-器=号.cD-6AD=o2x-号 CD 6 10.由勾股定理，得AC=√AD-CD=√10-6=8.在 第22页( R△ABC中，：amB-瓷=号BC AC=8=20, tan B 5 .BD=BC-CD=20-6=14. 5三角函数的应用 当堂练习 1.A2.C3.1004.505.336.解：在Rt△ABD中， AB=4m,∠ABD=60°，.AD=AB·sin∠ABD=2√5m. 在R△ACD中，∠C=37“AC三5,8m,答：改建1 的楼梯AC的长约为5.8m.7.解：过点A作AD⊥BC于点 D.由题意，得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m.在 R△ABD中，BD=AD·tan∠BAD=120X5=405(m).在 3 Rt△ACD中，CD=AD·tan∠CAD=120X3=120V3(m). ..BC=BD+CD=40√3+120√3=160√3≈160×1.732≈ 277.1(m).答：这栋高楼的高度约为277.1m. 6利用三角函数测高 当堂练习 1.A2.153 2 3.解：：∠A=∠C=∠BEC=90°，∴四边形 ABEC为矩形..BE=AC=20m,CE=AB=1.5m.在 R△BED巾，am∠DBE=B即an82-2器.DE=20X 20 tan32≈20×0.62=12.4(m)..CD=CE+DE=1.5+12.4= 13.9(m).答：旗杆CD的高度约为13.9m. 第二章二次函数 1二次函数 知识梳理 y=ax'+bx+c 当堂练习 1.D2.C3.y=x2十8x二次4.解：(1)根据题意，得 m一m=0,解得m=0.(2)根据题意，得m一m≠0m≠0 m-1≠0， 且m≠1,5.解：根据题意，得y=(x-30)m=(x-30)(162 3x),即y=-3x2+252x-4860,它是y关于x的二次函数. 2二次函数的图象与性质 第1课时二次函数y=x和y=一x的图象与性质 知识梳理 ①描点连线②抛物线向上y轴(0,0)减小增大 抛物线向下y轴(0,0)增大减小 当堂练习 1.D2.B3.D4.y轴4(-2,4)5.解：(1)9410 149图象如图. (2)抛物线的开 --8 22.345 口方向向上；顶点坐标为(0,0)；对称轴为y轴：函数有最小值 共24页)