精品解析：四川绵阳南山中学2025-2026学年高二上学期12月考试数学试题

绵阳南山中学高2024级高二上期12月考试试题 数 学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分.试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色墨水签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内. 2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3. 考试结束后将答题卡收回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 若直线过两点，，则此直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 3. 已知空间向量，若 ，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 6. 已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，是双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，连接作且与轴交于点，若则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全对得部分分，有选错得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则，，三点共线 B. 已知，，则在上的投影向量为 C. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 10. 已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则下列描述正确的有（ ） A. 直线l与圆C相交 B. 的最小值为 C. 四边形面积的最小值为4 D. 存在点，使得 11. 在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 的左焦点， 分别是 的左、右顶点，直线 与椭圆 相交于 两点，则（ ） A. 若直线 经过点 ，则 的最小值为 1 B. 若线段 的中点坐标为 ，则直线 的斜率为 C. 若直线 经过坐标原点，则 D. 若点 在椭圆 上(点 与 不重合)，且 ，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为________． 13. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为________. 14. 在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，直线的斜率为，则使成立的实数的值为________. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线的方程为. （1）若直线，且直线在轴上的截距为，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为3，求直线的方程. 16. 平面直角坐标系中，已知． （1）求过三点的圆的方程； （2）已知为坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17. 已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为. （1）求的方程； （2）过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为3，求的方程. 18. 如图，在平行六面体中，底面是矩形，，，点，分别为，的中点，且. （1）证明：平面平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度及平面与平面的夹角的余弦值. 19. 在平面直角坐标系xOy中， 已知点，，动点满足直线AW 与BW 的斜率之积为．记W的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线； （2）已知直线l与C交于M，N两点，与圆交于P，Q两点，若不重合的两条直线与分别平分线段MN，PQ． ①求证：为定值； ②已知直线与曲线C交于E，G两点，与曲线C交于D，F两点，，求四边形EFGH面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学高2024级高二上期12月考试试题 数 学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分.试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色墨水签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内. 2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3. 考试结束后将答题卡收回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 若直线过两点，，则此直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点的斜率公式，算出直线的斜率，再由倾斜角与斜率的关系和倾斜角的范围，得出倾斜角的大小. 【详解】直线过点， 直线的斜率，即直线的倾斜角满足； ， 故选：A. 【点睛】本题主要考查利用两点的坐标求直线斜率与倾斜角的应用问题，属于基础题. 2. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，求得长短半轴长及半焦距、离心率，即可判断. 【详解】对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等. 故选：D 3. 已知空间向量，若 ，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用空间向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得， 故选：A. 4. 已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义求. 【详解】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有. 故选：C 5. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 6. 已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何关系，找到点满足的条件，结合椭圆的定义，直接写出方程即可. 【详解】根据题意，作图如下： 易知，则，即， 故点的轨迹是以为焦点且长轴长为6的椭圆， 设其方程为，则，则， 故，则椭圆方程为：. 故选：C. 7. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值， 故选：B 8. 已知点，是双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，连接作且与轴交于点，若则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设点在第一象限，设，根据和求出点的坐标，再代入双曲线方程即可得解. 【详解】不妨设点在第一象限，设，， 由，得， 所以，所以， 因为，所以，即， 所以，解得（舍去），所以， 又因为点在上，所以，即， 所以，所以， 所以的渐近线方程为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全对得部分分，有选错得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则，，三点共线 B. 已知，，则在上的投影向量为 C. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 【答案】C 【解析】 【分析】选项A：根据空间向量共线的充要条件判断即可；选项B：根据投影向量计算即可； 选项C：根据空间向量共面定理判断即可；选项D：根据向量法证线面垂直判定即可. 【详解】选项A：若，，三点共线，则与成比例，即存在实数，使得. 而该选项中不存在实数满足条件，故A错误. 选项B：在上的投影向量为.故B错误. 选项C：根据空间向量共面定理可知，，所以，C正确. 选项D：因为，所以，故，D错误. 故选：C. 10. 已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则下列描述正确的有（ ） A. 直线l与圆C相交 B. 的最小值为 C. 四边形面积的最小值为4 D. 存在点，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，结合点到直线距离公式及切线长定理，逐项分析判断即可. 【详解】圆的圆心，半径，连接， 对于A，点到直线的距离，直线l与圆C相离，A错误； 对于B，点在圆上，则，B正确； 对于C，由切线长定理知，四边形面积： ， 当且仅当时取等号，因此四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，由切线长定理知，，而， 又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为， 当且仅当时取等号，因此的最大值为，D错误. 故选：BC 11. 在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 的左焦点， 分别是 的左、右顶点，直线 与椭圆 相交于 两点，则（ ） A. 若直线 经过点 ，则 的最小值为 1 B. 若线段 的中点坐标为 ，则直线 的斜率为 C. 若直线 经过坐标原点，则 D. 若点 在椭圆 上(点 与 不重合)，且 ，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，过左焦点的弦长最小值为通径长；对B，利用中点弦斜率点差法可求；对C，利用椭圆对称性可得，根据基本不等式即可求解；对D，通过角度关系得到斜率的关系，再与椭圆方程联立可求点，利用可求. 【详解】对A， 过左焦点的弦长最小值为通径长，此时，代入，解得，，故A正确； 对B，设，在椭圆上， 则，，两式相减得， ∵ 的中点坐标为 ，∴， ∴，故B错误； 对C， 直线 经过坐标原点，椭圆 ，，， 由椭圆对称性，所以， ， 当且仅当，，故C正确； 对D， 设，根据对称性不妨取点在第一象限， ，， ∵， ∴， 即，整理得， 又，代入得，解得， ∴，， ， 故D正确， 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】判断两圆相交，再把两圆方程相减消去二次项即得. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 显然，因此圆相交， 所以两圆公共弦所在直线的方程为，即. 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】设右焦点为，过作轴于，根据长度关系求出，最后根据双曲线的定义即可求出. 【详解】设右焦点为，连接，过作轴于， 因为双曲线关于轴对称，四边形为菱形，所以， 则，则，所以， 则为等边三角形，则，所以，所以， 根据双曲线的定义可知，所以. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，直线的斜率为，则使成立的实数的值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】过分别作直线平行于x轴，分别交于点，根据三角形的特征求出，设，根据，求出，最后根据即可求出. 【详解】由题意可知：，不妨设点在x轴上方，取的中点，过分别作直线平行于x轴，分别交于点， 因为，由正弦定理可得， 设，则， 则，且，可得，又因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为，可得，，则，可得，即x轴，则， 可得直线的斜率为， 设，则， 则，， 整理可得，解得， 又因为， 则， 又，则，即， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线的方程为. （1）若直线，且直线在轴上的截距为，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为3，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由垂直关系可得直线的斜率，结合斜截式方程求解即可； （2）利用平行关系可设直线的方程为，由两条平行线之间的距离公式求解即可. 【小问1详解】 由直线的斜率为，又由，可得直线的斜率为， 又由直线在轴上的截距为，可得直线过点， 可得直线的方程为，整理为. 故直线的方程为. 【小问2详解】 由直线，可设直线的方程为， 又由直线与直线之间的距离为3，有，解得或-16. 故直线的方程为或. 16. 平面直角坐标系中，已知． （1）求过三点的圆的方程； （2）已知为坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）不存在，理由如下： 设，MH ，得， 整理得，即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 而过三点的圆的圆心，半径， 又，因此圆与圆内含，无公共点， 所以不存在点满足. 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法可求圆的方程； （2）求出点的轨迹方程，根据圆心距与半径差的关系可判断两圆内含. 【小问1详解】 设过三点的圆方程为， 则，解得，满足， 所以所求圆的方程为. 【小问2详解】 略 17. 已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为. （1）求的方程； （2）过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为3，求的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据点在抛物线上得，结合抛物线定义列方程求参数，即可得方程； （2）设直线，联立抛物线，应用韦达定理、弦长及点线距离公式，结合三角形面积列方程求参数t，即可得结果. 【小问1详解】 是上一点， ，则， 由抛物线的定义，知， ，则， 的方程为. 【小问2详解】 由（1），知. 设直线，即， 代入，整理得， ， ， 又点到的距离为， ， 即，解得或（舍去）， 直线的方程为，即. 18. 如图，在平行六面体中，底面是矩形，，，点，分别为，的中点，且. （1）证明：平面平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度及平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）设，则， 则， 所以，因为为的中点，所以，， 则，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）2； 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. （2）建立空间直角坐标系，结合线面角的向量求法即可求出，再根据面面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，可得，，则， 因为平面，如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，， 则，，，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 解得，即的长度为. 设平面的法向量为，. 则，即，令，则，，所以， 又， 设平面与平面的夹角为， . 故平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 在平面直角坐标系xOy中， 已知点，，动点满足直线AW 与BW 的斜率之积为．记W的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线； （2）已知直线l与C交于M，N两点，与圆交于P，Q两点，若不重合的两条直线与分别平分线段MN，PQ． ①求证：为定值； ②已知直线与曲线C交于E，G两点，与曲线C交于D，F两点，，求四边形EFGH面积的最大值． 【答案】（1）曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为 （2）①证明：如图1，由于直线平分直线l与圆O的交线段， 所以直线l与垂直，设直线，则． 设，，则， 于是， 即，由于，， 则，又，则，得证； ② 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式计算化简即可得解； （2）①设出直线，由垂径定理可得直线l与垂直，即可表示出，再借助点差法计算可得，即可得证；②由题意可得，则可得，从而可通过基本不等式得到的最大值后得解. 【小问1详解】 直线AW的斜率为，直线BW 的斜率为， 由题意可知：，∴，∴， 所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆， 其方程为； 【小问2详解】 ①略 ②由题意，因为，则，如图2，连接DG，ED， 则， 则， 令，得， 则直线与椭圆相交所得弦长为， 同理可得直线与椭圆的一个交点坐标为，不妨记为点D， 则D到直线的距离， 所以， 由题意可知，则 ， 当且仅当时，取等号， 所以四边形EFGH面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $