专题2 解直角三角形应用中的基本模型-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）宁夏专版

程中到灯塔B的最短距离为15 n mile.(2)在Rt△ABE中， ∠ABE=14°，BE=15 n mile,AE=BE·tan∠ABE≈ 3.75 n mile.(1)CD=5 n mile,DE=15 n mile,.'.AC=AE+ DE+CD=23.75 n mile.23.75÷10=2.375(h)=142.5(min),从 14:30经过142.5min是16：52：30，.不改变航行速度，渔船能 在浓雾到来前到达码头A. 6利用三角函数测高 基础过关 1.A2.A3.解：(1)由题意，得BC⊥CD.在Rt△BCD中， ∠BDC=45°，CD=26m,∴.BC=CD·tan∠BDC=26m. 答：楼高BC为26m.(2)在Rt△ACD中，∠ADC=50°，CD= 26m,..AC=CD·tan50°≈26×1.2=31.2(m)..AB=AC-BC =31.2-26≈5(m).答：旗杆的高度AB约为5m.4.解：由题 意，得CG⊥AB,CD=EF=BG=1.7m.设EG=xm.:CE= DF=5.5m,.CG=CE+EG=(x+5.5)m.在Rt△ACG中， ∠ACG=16.7°，∴AG=CG·tan16.7°≈0.3(x+5.5)m.在 Rt△AEG中，∠AEG=22°，.AG=EG·tan22°≈0.4xm. .0.4x=0.3(x+5.5),解得x=16.5...AG=0.4x=6.6m. AB=AG十BG=6.6+1.7=8.3(m).答：长城第一墩的高度 AB约为8.3m. 能力提升 5.解：过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥DE于点F. 易得四边形BCFE是矩形.∴BE=CF,EF=BC.由题意，得 AB=80m,DE=40m,∠DAE=30°，∠DCF=45°.在 Rt△ADE中，∠AED=90°，.AE= DE an∠DAE=40V5m. .CF=BE=AB-AE=(80-40√3)m在Rt△DCF中， ∠DFC=90°，∠DCF=45°，∴.DF=CF·tan∠DCF=(80- 40√3)m..BC=EF=DE-DF=40√3-40≈28(m).答：楼 BC的高度约为28m.6.解：过点C作CG⊥AB于点G,过点 D作DH⊥AB于点H,则四边形CDHG是矩形，.GH=CD =10m,CG=DH.:∠1=45°，∴.CG=AG.设CG=AG=DH =xm,:在Rt△BCG中，∠2=52°，.BG=CG·tan52°≈ 1.3xm..在Rt△BDH中，∠3=65°，∴.BH=DH·tan65°≈ 2.1xm..GH=BH-BG=2.1x-1.3x=10.解得x=12.5. .AB=BG十AG=1.3×12.5十12.5≈29(m).答：大楼的高度 AB约为29m 专题二解直角三角形应用中的基本模型 1.7.42.2103.120√34.解：过点A作AE⊥CD于点E. 由题意，得四边形ABCE为矩形.所以CE=AB=13.20m. C在R△ACE中，tan∠CAE=E,÷AE= CE tan∠CAE= 品2g≈30,0(m.:在R△ADE中，as∠DAE=5, 13.20 AE c08D4E=0062g≈37.5(m.答：AD的长约为 ,.AD= 37.5m.5.100√36.解：(1)：在Rt△AOC中，∠AOC= 90,∠AC0=30,AC=8kmA0=号AC=2×8=4km. 第3页( (2)在Rt△AOC中，∠AOC=90°，∠ACO=30°，AC=8km ∴.OC=AC·cos∠ACO=4√3km.在Rt△BOC中，∠BOC 90°，∠BCO=45°，∴.∠BC0=∠OBC=45°，.OB=OC=4V5km, 六AB=0B-OA=（45-4)km,4V5-4≈0.3(km/s.答： 10 卫星从A处到B处的平均速度约为0.3km/s.7.1005 8.20059.解：(1)：四边形PQMN是矩形，∠Q=∠P= 3 90°.在Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4m,.AQ=AB· s∠ABQ-2m∠QAB=30i:四边形AD是矩形， ∴.AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90. ∠CBE=180°-∠ABQ-∠ABC=30°..AD=BC= CE tan∠CBE= 8Em.:∠PAD=180°-∠QAB-∠BAD= 5 60,AP=AD·cos∠PAD=45m.PQ=AP+AQ 5 75≈6.1(m.(2)在R△BCE中，BE=nCBE-3.2m CE 2 在Rt△ABQ中，BQ=AB·cos∠ABQ=2.7m,.该充电站有 20个停车位，∴.PV=QM=BQ十20BE=66.7m. 第一章章末复习 思维导图 对边邻边对边斜边邻边斜边？号怎号 3 19合g 2 考点整合 1.B2.B3.D4.-125.56.1)5+3(260 5 7.135°8.2y59.15 10.解：(1)AE=BE=AC=10,AD 5 ⊥BC,DE=DC在R△AcD中，msC-是=号CD 号AC=号×10=6.DE=DC=6.CE=DE+DC=12. BE=AE=10,.BC=BE十CE=10+12=22.(2)在 Rt△AED中，由勾股定理，得AD=√AE-DE=√/I0-6 =8又BD=BE+DE=10+6=16,amB=部-是= 11.18012.10,513.解：1)由题意，得∠CBE=60°，∠CAF 3 =30°，∠BDM=45°，BM⊥DM,BE∥AF∥DM,∴.∠BCM= ∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°.∴.∠ACB=∠BCM ∠ACM=60°-30°=30°.(2)∠CBE=60°，∴∠CBM=90° ∠CBE=90°-60°=30°.由(1)得∠ACB=30°，.∠CBM= ∠ACB=30°..AB=AC=800m.在Rt△ACM中，sin∠ACM A0ms∠ACM-0AM=AC·sm∠ACM=8mX AM sin30=800X2=40(m),CM=AC·cas∠ACM=800× 共24页)专题二 解直角三角 类型1单个直角三角形 1.(2025·辽宁中考)如图，为了测量树AB的 高度，在水平地面上取一点C,在C处测得 ∠ACB=51°，BC=6m,则树AB的高约为 m.(结果精确到0.1m.参考数据： sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23) 2.人文关怀情境化如图，某公园入口处原有三 级台阶，每级台阶高为18cm,宽为30cm,为 方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，已知台阶 的起点为A,斜坡的终点为C.现设计斜坡BC 的坡度i=1:5,则AC的长为 cm. (单位：cm) 类型2背靠背型 3.(2025·内蒙古中考)如图，因地形原因，湖 泊两端A,B的距离不易测量，某科技小组需 要用无人机进行测量，他们将无人机上升并 飞行至距湖面90m的点C处，从点C测得 点A的俯角为60°，测得点B的俯角为30 (A,B,C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两 端A,B的距离为 m.(结果保留 根号) 60°C 、30 ->B 4.(2025·安徽中考)某公司为庆祝新产品上 市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造 喜庆气氛.如图，甲楼和乙楼分别用与水平 地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线 段AD表示.工作人员在点A处测得点C的 俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°.已 15第一章直角三角形的边角关系 形应用中的基本模型 知AB=13.20m,求AD的长.（结果精确到 0.1m,参考数据：sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈ 0.91,tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60， cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75) A369 23.8 B地面C 类型3子母型 5.如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上， 在B处测得点P在北偏东30°方向上.若 AB=200m,则点P到直线AB的距离CP 为 m. 北 30 60 ◇ 6.(2025·银川模拟)2024年4月3日6点56 分，我国成功发射遥感四十二号01星，如 图，在发射的过程中，卫星从地面O处发射， 当卫星到达点A时，从位于地面C处的雷达 站测得AC的距离是8km,仰角为30°，10s 后卫星到达B处，此时测得仰角为45°. (1)求点A离地面的高度AO; (2)求卫星从A处到B处的平均速度.（结果 精确到0.1km/s,参考数据：√3≈1.73) A 30 45 类型4拥抱型 7.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的 仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部 D处的俯角是45°.已知甲楼的高AB是 100m,则乙楼的高CD是 m 457 ◇ 口 甲 楼 楼 30 (第7题图) (第8题图) 类型5生活中其他角度的应用（拓展视野） 8.小明家的花洒的实景图及其侧面示意图如图 所示，花洒安装在离地面高度160cm的A 处，花洒AD的长度为20cm.已知花洒与墙 面所成的角∠BAD=120°，当花洒喷射出的水 流CD与花洒AD成90°角时，水流喷射到地 面的位置点C与墙面的距离为 cm. 9.科技创新情境化中国新能源汽车为全球应 对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡 献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区 增设了充电站，矩形PQMN充电站的平面 示意图如图所示，矩形ABCD是其中一个停 车位.经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4m, CE=1.6m,GH⊥CD,GH是另一个停车位 的宽，所有停车位的长、宽均相同，按图示并 列划定.根据以上信息解答下列问题：（结果 精确到0.1m,参考数据：√3≈1.73) (1)求PQ的长； (2)若该充电站有20个停车位，求PN的长， D G H B 提示 请完成基本功专练（一） 数学九年级下册配BSD版16