第1章 直角三角形的边角关系章末复习-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）宁夏专版

第一章 章末复习 7思维导图 ◆◆、构建知识体系 一正切：∠A的 与 的比 锐角三角函数 -正弦：∠A的 与 的比 余弦：∠A的 的比 sin30°= ,c0s30°= ,tan30°= 特殊角的三 直角三角形 ,c0s45°= 角函数值 sin45°= tan45°= 的边角关系 sin60°= ,c0s60°= ,tan60°= 解直角三角形 三角函数的应用 方向角，仰角，俯角，坡度 ·考点整合 DD D 直击核心要点 考点1锐角三角函数 5.如图，A,B,C是正方形网格中的格 1.(2025·广西中考)在Rt△ABC中，∠C 点（小正方形的顶点），则sin∠ACB 90°，AB=7,AC=3,则sinB的值为( 的值为 A品 B. c品 D.月 考点2特殊角的三角函数值及解直 角三角形 2.如图，AD是△ABC的高.若BD=2CD=4, 6.(1)计算：（π-5）°+tan60°-2sin30°+|-3= tanC=3,则△ABC的面积为 A.12 B.18 C.24 D.36 (2)在△ABC中，∠C=90°，AB=8,AC= 4√，则∠B的度数为· 7.把一块直尺与一块三角尺如图放置，若 D C (第2题图) (第3题图) 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ 血∠1-9则/2的度致为 AB于点D.下列说法错误的是 CD A.sin B= BC B.cos B-AB C.tan B= AD CD CD D.cos B= AD (第7题图) (第9题图) 4.(易错题)如图，点P在反比例 8.在△ABC中，∠C=90°，tanA=2,则sinA 的值为 函数y=(<0)的图象上， 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的 PH⊥x轴于点H.若OP= 中点，过点D作AB的垂线交AC于点E,BC= 5,sin∠POH= ，则的值为 6snA=多，则DE的长为 17第一章直角三角形的边角关系 10.如图，在△ABC中，AD⊥BC,BE=AE=13.(2025·长沙中考)如图，某景区内两条互 AC-10.cos C 相垂直的道路a,b交于点M,景点A,B在 道路a上，景点C在道路b上，为了进一步 (1)求BC的长； 提升景区品质，景区管委会在道路b上又开 (2)求tanB的值. 发了风景优美的景点D.经测得景点C位 于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A 的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的 南偏西45°方向上.已知AB=800m. (1)求∠ACB的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离.（结果 保留根号) 北 十东45D 60°/ a-Bi 考点3解直角三角形的实际应用 11.(2025·武汉中考)某科技小组用无人机测 量一池塘水面两端A,B的距离，具体过程 如下：如图，将无人机垂直上升至距水面 120m的P处，测得A处的俯角为45°，B 处的俯角为22°，则A,B之间的距离是 m.(tan22°取0.4) P22° 120m} 盒B 水面 a (第11题图) (第12题图) 12.如图，先锋村准备在坡角α为30°的山坡上 栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5m,那么这两树在坡面上的距离AB为 m. 数学九年级下册配BSD版18 聚焦课标 ◆、强化情境任务 14.项目学习新趋势(2025·兰州中考)天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难 题.某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实 际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离.具体研究方法与过程如表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 P 月球 A地球 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测，点A,B,以线段AB作为基准线，再借助天文经纬 说明 仪从A,B两点同时观测月球P(将月球抽象为一个点)，并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据 实际问题画出平面示意图（如图），过，点P作PH⊥AB于点H,连接AP,BP 数据 AB≈0.8万千米，∠ABP=89°25'37.43”，∠BAP=8922'38.09" 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH.(结果精确到1万千米) (参考数据：tan89°25'37.43"≈100.00，tan89°22'38.09"≈92.00，sin89°25'37.43≈0.99995， sin89°22'38.09"≈0.99994，cos89°2537.43"≈0.00999，cos89°2238.09"≈0.01087) 19第一章直角三角形的边角关系程中到灯塔B的最短距离为15 n mile.(2)在Rt△ABE中， ∠ABE=14°，BE=15 n mile,AE=BE·tan∠ABE≈ 3.75 n mile.(1)CD=5 n mile,DE=15 n mile,.'.AC=AE+ DE+CD=23.75 n mile.23.75÷10=2.375(h)=142.5(min),从 14:30经过142.5min是16：52：30，.不改变航行速度，渔船能 在浓雾到来前到达码头A. 6利用三角函数测高 基础过关 1.A2.A3.解：(1)由题意，得BC⊥CD.在Rt△BCD中， ∠BDC=45°，CD=26m,∴.BC=CD·tan∠BDC=26m. 答：楼高BC为26m.(2)在Rt△ACD中，∠ADC=50°，CD= 26m,..AC=CD·tan50°≈26×1.2=31.2(m)..AB=AC-BC =31.2-26≈5(m).答：旗杆的高度AB约为5m.4.解：由题 意，得CG⊥AB,CD=EF=BG=1.7m.设EG=xm.:CE= DF=5.5m,.CG=CE+EG=(x+5.5)m.在Rt△ACG中， ∠ACG=16.7°，∴AG=CG·tan16.7°≈0.3(x+5.5)m.在 Rt△AEG中，∠AEG=22°，.AG=EG·tan22°≈0.4xm. .0.4x=0.3(x+5.5),解得x=16.5...AG=0.4x=6.6m. AB=AG十BG=6.6+1.7=8.3(m).答：长城第一墩的高度 AB约为8.3m. 能力提升 5.解：过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥DE于点F. 易得四边形BCFE是矩形.∴BE=CF,EF=BC.由题意，得 AB=80m,DE=40m,∠DAE=30°，∠DCF=45°.在 Rt△ADE中，∠AED=90°，.AE= DE an∠DAE=40V5m. .CF=BE=AB-AE=(80-40√3)m在Rt△DCF中， ∠DFC=90°，∠DCF=45°，∴.DF=CF·tan∠DCF=(80- 40√3)m..BC=EF=DE-DF=40√3-40≈28(m).答：楼 BC的高度约为28m.6.解：过点C作CG⊥AB于点G,过点 D作DH⊥AB于点H,则四边形CDHG是矩形，.GH=CD =10m,CG=DH.:∠1=45°，∴.CG=AG.设CG=AG=DH =xm,:在Rt△BCG中，∠2=52°，.BG=CG·tan52°≈ 1.3xm..在Rt△BDH中，∠3=65°，∴.BH=DH·tan65°≈ 2.1xm..GH=BH-BG=2.1x-1.3x=10.解得x=12.5. .AB=BG十AG=1.3×12.5十12.5≈29(m).答：大楼的高度 AB约为29m 专题二解直角三角形应用中的基本模型 1.7.42.2103.120√34.解：过点A作AE⊥CD于点E. 由题意，得四边形ABCE为矩形.所以CE=AB=13.20m. C在R△ACE中，tan∠CAE=E,÷AE= CE tan∠CAE= 品2g≈30,0(m.:在R△ADE中，as∠DAE=5, 13.20 AE c08D4E=0062g≈37.5(m.答：AD的长约为 ,.AD= 37.5m.5.100√36.解：(1)：在Rt△AOC中，∠AOC= 90,∠AC0=30,AC=8kmA0=号AC=2×8=4km. 第3页( (2)在Rt△AOC中，∠AOC=90°，∠ACO=30°，AC=8km ∴.OC=AC·cos∠ACO=4√3km.在Rt△BOC中，∠BOC 90°，∠BCO=45°，∴.∠BC0=∠OBC=45°，.OB=OC=4V5km, 六AB=0B-OA=（45-4)km,4V5-4≈0.3(km/s.答： 10 卫星从A处到B处的平均速度约为0.3km/s.7.1005 8.20059.解：(1)：四边形PQMN是矩形，∠Q=∠P= 3 90°.在Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4m,.AQ=AB· s∠ABQ-2m∠QAB=30i:四边形AD是矩形， ∴.AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90. ∠CBE=180°-∠ABQ-∠ABC=30°..AD=BC= CE tan∠CBE= 8Em.:∠PAD=180°-∠QAB-∠BAD= 5 60,AP=AD·cos∠PAD=45m.PQ=AP+AQ 5 75≈6.1(m.(2)在R△BCE中，BE=nCBE-3.2m CE 2 在Rt△ABQ中，BQ=AB·cos∠ABQ=2.7m,.该充电站有 20个停车位，∴.PV=QM=BQ十20BE=66.7m. 第一章章末复习 思维导图 对边邻边对边斜边邻边斜边？号怎号 3 19合g 2 考点整合 1.B2.B3.D4.-125.56.1)5+3(260 5 7.135°8.2y59.15 10.解：(1)AE=BE=AC=10,AD 5 ⊥BC,DE=DC在R△AcD中，msC-是=号CD 号AC=号×10=6.DE=DC=6.CE=DE+DC=12. BE=AE=10,.BC=BE十CE=10+12=22.(2)在 Rt△AED中，由勾股定理，得AD=√AE-DE=√/I0-6 =8又BD=BE+DE=10+6=16,amB=部-是= 11.18012.10,513.解：1)由题意，得∠CBE=60°，∠CAF 3 =30°，∠BDM=45°，BM⊥DM,BE∥AF∥DM,∴.∠BCM= ∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°.∴.∠ACB=∠BCM ∠ACM=60°-30°=30°.(2)∠CBE=60°，∴∠CBM=90° ∠CBE=90°-60°=30°.由(1)得∠ACB=30°，.∠CBM= ∠ACB=30°..AB=AC=800m.在Rt△ACM中，sin∠ACM A0ms∠ACM-0AM=AC·sm∠ACM=8mX AM sin30=800X2=40(m),CM=AC·cas∠ACM=800× 共24页) cos30=800×5=4005(m.:BM=BA+AM=800+400 2 1200(m.:∠BDM=45°，BM⊥DM,∴.DM=BM=1200m. .DC=DM-CM=1200-400√3(m).答：景点C与景点D之 间的距离为(1200一400√3)m 聚焦课标 14.解：设PH=x万千米.在Rt△PHB中，∠PHB=90°， ∠ABP=时2石驭.4BH=Pm的房.g 0“在Rt△PHA中，∠PHA=90,∠BAP=8922'38.09, ..AH=-PH Fam∠BAP-an892238.0g≈g2:AH+BH=AB ≈0.8万千米，0十2=0.8，解得x≈38，即PH≈ 38万千米.答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米. 第二章二次函数 1二次函数 基础过关 1.A2.C【变式题】B3.y=-3x2+4x-7-34-7 4.C5.y=-2x2+8x6 能力提升 6.C7.B8.解：(1)由题意，得=(300+20x)(60-40-x) =-20x2十100x十6000.(2)0≤x≤20(3)当x=5时，0= -20×52+100×5+6000=6000..当每个商品降价5元时， 商场可获得利润6000元. 2二次函数的图象与性质 第1课时二次函数y=x2和y=一x2的图象与性质 基础过关 1.D2.B3.C4.D5.(1)-9(2)减小(3)(3,9) (-3,-9)(-3,9)(4)CB,D6.解：(1)-1(2)由 (1),得y=一x2,函数图象如图所示. 顶 5-4-3-2y2345x 3 5 点坐标为(0,0)，对称轴为y轴.7.解：线段AB⊥y轴，且 AB=6,函数y=x2的图象关于y轴对称，∴点B到y轴的距 离为3，点B的横坐标为3.将x=3代入y=x,得y=9.点 B的坐标为(3,9).8.D 能力提升 9.D10.B11,212.解：(1)把点(2，n)代入抛物线y= -x2,得n=一4.把点(2，一4)代入直线y=3x十m,得m= -10.(2)存在.令3x-10=-x2,解得x1=-5,x2=2.当x= -5时，y=一(-5)2=-25.∴.存在另一个交点，这个点的坐标 为（一5，一25）.13.解：(1)由题意，得y=x2(x>0),画出图象 第4页( 如图所示 (2)当y=1时，x=1.(3)当x≥2 时，y≥4. 思维拓展 14.解：(1)(2,4)（一2,4）(2)四边形CDFE是正方形， ∴.CD=CE.设点C的横坐标为a,AB⊥y轴，根据抛物线的 对称性，易得CE=CD=2a.:CE⊥x轴，.点E的坐标为 (a,4-2a).:点E在抛物线y=x2上，∴.a2=4-2a,解得a= -1-√5（舍）或a=-1+√5..CD=2a=-2+2√5. 第2课时二次函数y=ax2和y=ax2十c的图象与性质 基础过关 1.C2.C3.B4.C5.C6.D7.解：(1)当x=2时，y= 十×4十3=4.点2,4)在该函数的图象上.(2)当x=0时，函 数有最小值3.(3)<8.y=3x2-29.下 能力提升 10.A11.D12.A13.a>b>cd14.解：(1)将A(-1, 6)代入y=ax2,得6=a×(-1)2,解得a=6.(2)当-1≤m<2 时，n的取值范围是2≤n<26.[解析：由(1)知抛物线L的函数 表达式为y=6x.将抛物线L向上平移2个单位长度得到抛物 线L'的函数表达式为y=6.x2十2.：点P(m,n)为抛物线L'上 一点，.n=6m2十2.：-1≤m<2,∴.当m=0时，n有最小值 2;当m=2时，n=6×22+2=26.∴.当-1≤m<2时，n的取值 范围是2≤n<26] 思维拓展 15.解：(1)x为任意实数 ②③如图所示. (3)B(4)a<b 10 第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 基础过关 1.B2.D3.B4.C5.解：(1)由题意，得h=-2,则y= a(x+2)2.把1，-3)代入，得-3=a1十2)2，解得a=-子 “该抛物线的函数表达式为=一子(x十2)，开口向下.(2)> 6.D7.y=-2(x十4)28.解：(1)：抛物线y=a(x+b)的 对称轴为直线x=-2,.b=2.:抛物线y=a(x十b)2与抛物 线y=5x2的形状、开口方向相同，∴a=5,∴.该抛物线的函数 表达式为y=5(x十2)2.(2)当x>-2时，y随x的增大而增 大.(3)将抛物线y=5(x十2)向右平移2个单位长度可得到 抛物线y=5x2.9.a≤2 共24页)