第10章 分式 单元提优卷 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第10章 分式 单元提优卷 2025-2026学年苏科版八年级数学下册 一．选择题（共10小题） 1．下列代数式是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A．x≠1 B．x＝0 C．x≠0 D．x＝1 3．下列各式从左到右变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 5．如果分式的值为零，那么x的值为（　　） A．0 B．±1 C．﹣1 D．1 6．解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（　　） A．0 B．﹣2 C．2 D．2或﹣2 7．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马速度的2倍，根据题意列方程为，其中x表示（　　） A．总路程 B．规定的时间 C．快马的速度 D．慢马的速度 8．若（A、B均为常数）的计算结果为，则A+2B的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．若关于x的分式方程3的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜3且m≠1 B．m＜3且m≠2 C．m＜3 D．m＜6且m≠2 10．关于x的不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 二．填空题（共8小题） 11．分式方程0的解为　 　 ． 12．当a＝﹣1时，分式的值是　 　 ． 13．有一个分式，两位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是m≠1；请你写出满足上述全部特点的一个分式：　 　 ． 14．分式，的最简公分母是 　 　 ． 15．已知，则代数式的值为 　 　 ． 16．小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200m，3000m，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4min出发，求小明和小刚两人的速度．设小明的速度是xm/min，根据题意可列方程为　 　 ． 17．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如，． 类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式，那么 （B+1）﹣（A+1）＝　 　 ． 18．若，则a的值是　 　 ． 三．解答题（共8小题） 19．解方程： （1）3． （2）0． 20．已知关于x的分式方程2的解为正数，求k的取值范围． 21．定义a⊗b＝2a．根据定义，解答下列问题： （1）2⊗（﹣1）＝　 　 ； （2）计算； （3）求方程2⊗（x﹣2）＝1⊗（4﹣2x）的解． 22．阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知x≠0， ∴，即， ∴， ∴． 请你仿照上述方法，解决下面问题： （1）若，求的值； （2）已知，求的值． 23．嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． （1）他把“◆”猜成5，请你解方程：； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 24．为加快乡村振兴步伐，不断改善农民生产生活条件，某乡镇计划修建一条长18千米的乡村公路，拟由甲、乙两个工程队联合完成．已知甲工程队每天比乙工程队每天少修路0.3千米，甲工程队单独完成修路任务所需天数是乙工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍． （1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）已知甲工程队每天的修路费用为9万元，乙工程队每天的修路费用为12万元，若先由甲工程队单独修路若干天，再由甲、乙两个工程队联合修路，恰好15天完成修路任务，则共需修路费用多少万元？ 25．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式A2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式C，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； （2）已知分式P，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值； （3）已知分式M（a，b为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求ab的值． 26．下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象． 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜； 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是ag，其中含有bg糖（a＞b＞0），则糖水的浓度为． ①如果加入mg水，糖水的浓度变为 　 　 ，因为糖水变淡，可以得到不等式 　 　 ； ②如果加入ng糖，糖水的浓度变为 　 　 ，因为糖水变甜，可以得到不等式 　 　 ； 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有a1g，a2g糖水，分别含糖b1g，b2g．它们浓度相同，则有． … 任务1：直接写出小明笔记当中的“_____”处空缺的内容． 任务2：证明②中的不等式． 任务3：将现象2中的两杯糖水倒入一个大空杯中，则大杯糖水的浓度与原来各小杯糖水的浓度相同，请说明其中的道理． 任务4：请运用现象1中的结论证明： 设a，b，c是△ABC三边的长，则． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B D B D D A C 1．下列代数式是分式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、不是分式，故此选项不符合题意； B、不是分式，故此选项不符合题意； C、是分式，故此选项符合题意； D、不是分式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A．x≠1 B．x＝0 C．x≠0 D．x＝1 【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0， ∴x≠1． 故选：A． 3．下列各式从左到右变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，则A不符合题意； 1，则B符合题意； 与不一定相等，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：B． 4．如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【解答】解：原分式为，当 x和y均扩大为原来的2倍时，新分式为： ， 分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍，因此分式的值整体扩大2倍； 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 5．如果分式的值为零，那么x的值为（　　） A．0 B．±1 C．﹣1 D．1 【解答】解：当x2﹣1＝0，x+1≠0， x＝1或x＝﹣1， x≠﹣1， ∴x＝1， 故选：D． 6．解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（　　） A．0 B．﹣2 C．2 D．2或﹣2 【解答】解：分式方程的分母为x﹣2和2﹣x＝﹣（x﹣2）， 令分母为零，得增根x＝2． 方程两边同乘x﹣2去分母，得：5（x﹣2）+x＝﹣m． 将增根x＝2代入整式方程：5×（2﹣2）+2＝﹣m， 即0+2＝﹣m，解得m＝﹣2． 故选：B． 7．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马速度的2倍，根据题意列方程为，其中x表示（　　） A．总路程 B．规定的时间 C．快马的速度 D．慢马的速度 【解答】解：根据题意列方程为， ∴x表示慢马的速度， 故选：D． 8．若（A、B均为常数）的计算结果为，则A+2B的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：， ∵（A、B均为常数）的计算结果为， ∴， ∴A＝2，B＝1， ∴A+2B＝2+2×1＝4． 故选：D． 9．若关于x的分式方程3的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜3且m≠1 B．m＜3且m≠2 C．m＜3 D．m＜6且m≠2 【解答】解：去分母得： x+m﹣3m＝3（x﹣2）． 去括号得： x﹣2m＝3x﹣6． ∴x＝3﹣m． ∵分式方程有可能产生增根， ∴3﹣m≠2． ∴m≠1． ∵关于x的分式方程3的解为正实数， ∴3﹣m＞0． ∴m＜3． 综上，实数m的取值范围是m＜3且m≠1． 故选：A． 10．关于x的不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 【解答】解：解不等式组得， ∵不等式组的解集为x≤a， ∴a≤5， 原分式方程可化为：1， 解得y， ∵分式方程的解为正整数， ∴， 解得a＞﹣3，a≠1， ∴a的取值范围：﹣3＜a≤5，且a≠1， ∵分式方程的解为正整数， ∴3+a＝2或3+a＝4或3+a＝6或3+a＝8， 解得a＝﹣1，a＝1，a＝3，a＝5， ∵a≠1， ∴所有满足条件的整数a的和为：7． 故选：C． 二．填空题（共8小题） 11．分式方程0的解为x＝1　 ． 【解答】解：0， 方程两边同乘x（x﹣2），得x+x﹣2＝0， 解得x＝1， 检验：当x＝1时，x（x﹣2）≠0， 所以分式方程的解是x＝1， 故答案为：x＝1． 12．当a＝﹣1时，分式的值是　﹣1　 ． 【解答】解：当a＝﹣1时，原式1． 故答案为：﹣1． 13．有一个分式，两位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是m≠1；请你写出满足上述全部特点的一个分式：　（答案不唯一）　 ． 【解答】解：由题意，可知所求分式可以是：． 故答案可以是：（答案不唯一）． 14．分式，的最简公分母是 　6x2y ． 【解答】解：分式，的最简公分母是6x2y． 故答案为：6x2y． 15．已知，则代数式的值为 　　 ． 【解答】解：∵， ∴y﹣x＝xy， ∴x﹣y＝﹣xy， ∴ ， 故答案为：． 16．小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200m，3000m，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4min出发，求小明和小刚两人的速度．设小明的速度是xm/min，根据题意可列方程为　　 ． 【解答】解：∵小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，小明的速度是xm/min， ∴小刚骑自行车的速度是3xm/min， 由题意可得， ∴， 故答案为：． 17．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如，． 类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式，那么 （B+1）﹣（A+1）＝　　 ． 【解答】解： ， ∵， ∴， 则， 解得：， 所以（B+1）﹣（A+1）＝3﹣2， 故答案为：． 18．若，则a的值是　8　 ． 【解答】解：∵ ， ∴， 两边同乘1﹣x32，得8a＝64， 解得a＝8． 故答案为8． 三．解答题（共8小题） 19．解方程： （1）3． （2）0． 【解答】解：（1）原方程去分母得：2x﹣5＝3x﹣3﹣3（x﹣2）， 整理得：2x﹣5＝3， 解得：x＝4， 检验：当x＝4时，x﹣2≠0， 故原方程的解为x＝4； （2）原方程去分母得：5（x﹣1）﹣（x+1）＝0， 整理得：4x﹣6＝0， 解得：x， 检验：当x时，x（x+1）（x﹣1）≠0， 故原方程的解为x． 20．已知关于x的分式方程2的解为正数，求k的取值范围． 【解答】解：去分母得x﹣2（x﹣1）＝﹣k， ∴x＝k+2， ∵关于x的分式方程2的解为正数， ∴k+2＞0，且x＝k+2≠1， ∴k＞﹣2且k≠﹣1． 21．定义a⊗b＝2a．根据定义，解答下列问题： （1）2⊗（﹣1）＝　3　 ； （2）计算； （3）求方程2⊗（x﹣2）＝1⊗（4﹣2x）的解． 【解答】解：（1）原式＝2×2 ＝4﹣1 ＝3， 故答案为：3； （2）原式（） ； （3）由题意可得42， 解得：x， 经检验，x是分式方程的解． 22．阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知x≠0， ∴，即， ∴， ∴． 请你仿照上述方法，解决下面问题： （1）若，求的值； （2）已知，求的值． 【解答】解：（1）由，得， 则， ∴． （2）两边取倒数得， 即， ∴， 对于，两边取倒数得， 故． 23．嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． （1）他把“◆”猜成5，请你解方程：； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【解答】解：（1）方程整理得：2， 去分母得：x＝2（x﹣3）+5， 解得：x＝1， 检验：把x＝1代入得：x﹣3≠0， ∴分式方程的解为x＝1； （2）设原题中“◆”是a， 方程变形得：2， 去分母得：x＝2（x﹣3）+a， 由分式方程无解，得到x＝3， 把x＝3代入整式方程得：a＝3． 24．为加快乡村振兴步伐，不断改善农民生产生活条件，某乡镇计划修建一条长18千米的乡村公路，拟由甲、乙两个工程队联合完成．已知甲工程队每天比乙工程队每天少修路0.3千米，甲工程队单独完成修路任务所需天数是乙工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍． （1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）已知甲工程队每天的修路费用为9万元，乙工程队每天的修路费用为12万元，若先由甲工程队单独修路若干天，再由甲、乙两个工程队联合修路，恰好15天完成修路任务，则共需修路费用多少万元？ 【解答】解：（1）设甲工程队每天修路x千米，则乙工程队每天修路（x+0.3）千米， 依题意得：1.5， 解得：x＝0.6， 经检验，x＝0.6是原方程的解，且符合题意， ∴x+0.3＝0.6+0.3＝0.9． 答：甲工程队每天修路0.6千米，乙工程队每天修路0.9千米． （2）设先由甲工程队单独修路m天，则乙工程队修路（15﹣m）天， 依题意得：0.6×15+0.9（15﹣m）＝18， 解得：m＝5， ∴9×15+12（15﹣m）＝9×15+12×（15﹣5）＝255． 答：共需修路费用255万元． 25．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式A2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式C，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； （2）已知分式P，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值； （3）已知分式M（a，b为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求ab的值． 【解答】解：（1）C不是D的“雅中式”，理由如下： ∵C， ∴C﹣D1， ∵﹣1＜0， ∴C不是D的“雅中式”； （2）∵P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1， ∴P﹣Q＝1， ∵P， ∴1， ∴， ∴E﹣3x﹣x2＝9﹣x2， ∴E＝9﹣x2+3x+x2＝3x+9， ∴P， ∵x为整数，且“雅中式”P的值也为整数， ∴3﹣x为±1或±3， ∴x为0或2或4或6； （3）∵M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1， ∴M﹣N＝1， ∵M（a，b为整数）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴a﹣b﹣1＝1，b＝0， ∴a＝2，b＝0， ∴ab＝20＝1． 26．下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象． 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜； 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是ag，其中含有bg糖（a＞b＞0），则糖水的浓度为． ①如果加入mg水，糖水的浓度变为 　　 ，因为糖水变淡，可以得到不等式 　　 ； ②如果加入ng糖，糖水的浓度变为 　　 ，因为糖水变甜，可以得到不等式 　　 ； 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有a1g，a2g糖水，分别含糖b1g，b2g．它们浓度相同，则有． … 任务1：直接写出小明笔记当中的“_____”处空缺的内容． 任务2：证明②中的不等式． 任务3：将现象2中的两杯糖水倒入一个大空杯中，则大杯糖水的浓度与原来各小杯糖水的浓度相同，请说明其中的道理． 任务4：请运用现象1中的结论证明： 设a，b，c是△ABC三边的长，则． 【解答】任务1：解：原来的糖水总质量是ag，其中含有bg糖，加入mg水，则浓度为， ∵糖水变淡了， ∴， 如果加入ng糖，糖水的浓度变为， ∵糖水变甜， ∴， 故答案为：，，，； 任务2：证明：， ∵a＞b＞0， ∴0， ∴； 任务3：证明：∵在两个杯子中分别盛有a1g，a2g糖水，分别含糖b1g，b2g， ∴混合后的浓度， ∵， ∴b1＝ka1，b2＝ka2， ∴k， ∴浓度不变； 任务4：证明：由现象1，，，， ∴1； 由现象2，，，， ∴2； ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $