精品解析：广东省兴宁市齐昌中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年第一学期高二年级中段测试题 齐昌中学数学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 25 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（ ） A. B. C. 6 D. 4 5. 若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 7. 已知空间中三点则下列说法不正确的是（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标是 B. 在上的投影向量的坐标是 C. 与夹角的余弦值是 D. A､B两点间距离为 8. 已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （ ） A. B. C. D. 二、多选题、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分） 9. 在正方体中，在线段BC上存在点，使得有（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 10. 圆和圆的交点为，，则有（　　） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 11. 椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（ ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知点，若，则点的坐标是_____ 13. 过点与圆相切的直线方程为_______. 14. 已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率______． 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线：上. （1）求圆C的方程； （2）求直线被圆C所截得的弦长. 16. 已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，且点在椭圆上. 求椭圆的标准方程； 若直线椭圆相交于两点，求为坐标原点)的面积. 17. 如图，在三棱锥中，平面. （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，点在线段上，且，求直线与平面所成角的余弦值. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）D为BC上一点，． （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值． 19. 设椭圆：的离心率为，且以椭圆上顶点为圆心，半径为的圆恰好经过椭圆的两焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过定点的直线交椭圆于两点、，椭圆上的点满足，试求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二年级中段测试题 齐昌中学数学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果. 【详解】由题意知，命题的否定为 . 故选：A 2. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，利用当直线 与线段  垂直时，点  到直线 的距离最大，可得答案. 【详解】直线方程可改写为 ，表明直线 恒过定点 ， 点  与点  的距离为：. 当直线 与线段  垂直时，点  到直线 的距离最大，且最大值为 . 此时线段  的斜率为 ，直线  垂直于 ，直线  的斜率为 . 故选：C 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求函数的定义域，然后f（x）可分解为y＝和u＝x2+2x﹣3，根据复合函数单调性的判断方法可求得f（x）的增区间． 【详解】由x2+2x﹣3≥0可得，x≤﹣3或x≥1， 可看作由y＝和u＝x2+2x﹣3复合而成的， u＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4在（﹣∞，﹣3）上递减，在（1，+∞）上递增， 又y＝递增， ∴f（x）在（﹣∞，﹣3）上递减，在（1，+∞）上递增， 故的单调递增区间是（1，+∞）． 故选D． 【点睛】本题考查对数函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断，属中档题，注意单调区间要在函数的定义域内求解． 4. 直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（ ） A. B. C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求得的长，再求得圆心到直线距离，再求得点到直线的距离的范围，故可得面积的取值范围，结合选项可得答案． 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，，则， 点在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离， 故点到直线的距离的范围为， 则．所以面积的最大值是 故选：C． 5. 若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法将函数转化为，再利用二次函数求最值即可求解. 【详解】令，，， 可转化为， 又开口向上，且对称轴为， 在上单调递增，， 函数在上恒成立，即在上恒成立， 也就是，，解得. 实数的取值范围为. 故选：C. 6. 关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，利用常数代换法，结合基本不等式可得. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两根，且， 由韦达定理可得，所以，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：B 7. 已知空间中三点则下列说法不正确的是（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标是 B. 在上的投影向量的坐标是 C. 与夹角的余弦值是 D. A､B两点间距离为 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据单位向量的定义，投影向量的公式，向量夹角的公式及模长公式即可判断. 【详解】， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确. 在上的投影向量的坐标是，故B正确； ，故C错误； 两点间的距离即，故D正确. 故选：C 8. 已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及三角形面积公式先求出的纵坐标，然后根据椭圆方程求出横坐标，最后根据向量的数量积的坐标公式求出结果. 【详解】根据题意知，. 因为的内切圆半径为， 所以. 设，所以， 所以，解得. 因为在椭圆上，且在第一象限，所以满足， 解得，所以. 所以，所以. 故选：A. 二、多选题、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分） 9. 在正方体中，在线段BC上存在点，使得有（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】当点与重合时，即可判断A；当点与重合时，利用空间向量的关系证明即可判断B；易知平面，即可判断C；当点与重合时，利用线面平行的判定定理即可判断D. 【详解】A：如图， 当点与重合时，，故A正确； B：建立如图空间直角坐标系，设， 则，当点与重合时，， 得， 所以，所以，故B正确； C：易知平面，所以平面不成立，故C错误； D：当点与重合时，， 又平面，平面，所以平面，故D正确. 故选：ABD 10. 圆和圆的交点为，，则有（　　） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】两圆方程相减即可得公共弦的方程即可判断A，求出其中一个圆的圆心坐标，由垂直关系可得中垂线的斜率，利用点斜式方程可求中垂线方程即可判断B；求出其中一个圆的圆心到直线的距离，则公共弦的长可求，即可判断C；利用点到直线的距离公式求圆心到的距离，加上半径即为最大值，即可判断D. 【详解】对于A，因为圆，即，则圆心为，半径， 圆，即，则圆心为，半径； 又，则，所以两圆相交， 将两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故A正确； 对于B，圆的圆心为，又， 则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为， 整理可得，故B正确； 对于C，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以，故C错误； 对于D，为圆上一动点，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以到直线距离的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（ ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的定义，得到，结合基本不等式，可判定A正确；利用离心率的定义，可判定B错误；取椭圆的上顶点，利用向量的数量积的坐标计算公式，可判定C正确；设，求得，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】由椭圆，可得，则， 对于A，点是椭圆上一点，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由椭圆离心率的定义，可得，所以B不正确； 对于C，取椭圆的上顶点，且， 可得，则， 所以椭圆存在点，使得，所以C正确； 对于D中，由椭圆，可得，且， 设，其中，则， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知点，若，则点的坐标是_____ 【答案】 【解析】 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】设， 则， 所以，解得， 所以点的坐标是， 故答案为： 13. 过点与圆相切的直线方程为_______. 【答案】或 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，然后分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况，由圆心到直线距离等于圆的半径即可求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径， 过点，斜率不存在的直线方程为，圆心到直线的距离为2，该直线为圆的切线； 过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得， 此时切线方程为. 故答案为：或 14. 已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用椭圆的对称性可得四边形是平行四边形，求得，再利用数量积的定义及椭圆定义求得，进而求出离心率. 【详解】连接，由点、关于原点对称，得四边形是平行四边形， 由，得， 由，得，即， 又，则，因此为等边三角形，， 所以椭圆的离心率为. 故答案为： 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线：上. （1）求圆C的方程； （2）求直线被圆C所截得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：设圆的标准方程，结合点，在圆上，列出等式求解即可；法二，易知圆心在上，求得中垂线方程，联立两直线，可得圆心坐标，进而可得圆的方程； （2）由弦长公式即可求解. 【小问1详解】 法一：设圆C的方程为， 依题意得， 解得，，. 所以圆C的方程为. 法二： 设线段的垂直平分线为直线m， 则C既在直线m上，又在直线上. 因为的中点为即（2，2）， 直线的斜率为， 所以直线m的斜率为-1. 所以直线m的方程为， 即. 联立，解得. 所以点C坐标为. 又因为圆的半径为， 所以圆C的方程为. 【小问2详解】 因为圆心到直线的距离 设直线与圆C交于M，N两点， 由垂径定理得，弦长. 16. 已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，且点在椭圆上. 求椭圆的标准方程； 若直线椭圆相交于两点，求为坐标原点)的面积. 【答案】 【解析】 【分析】 （1）由离心率得，点在椭圆上得，结合可求得得椭圆方程； （2）设，直线过焦点，因此，由直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可求得． 【详解】椭圆的左、右焦点为，离心率为，且点在椭圆上， 可得，椭圆的标准方程为. 设，直线过焦点， 由，联立得，∴， ， ∴． 【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的面积问题．首先确定直线过轴上的点，从而得，由直线方程与椭圆方程联立，消元后利用韦达定理可求得．这就是“设而不求”思想． 17. 如图，在三棱锥中，平面. （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，点在线段上，且，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：由平面，平面，故， 又，，，平面， 则平面，又平面，故平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直的性质与线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可得证； （2）由平面可得，则可建立适当空间直角坐标系，再求出直线的方向向量与平面的法向量后，结合空间向量夹角公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，平面，故， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、，则， 则，，，， 由，则， 则， 设平面的法向量为， 则有， 取，则，，即可取， 设直线与平面所成角为， 则， 则. 所以直线与平面所成角的余弦值为 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）D为BC上一点，． （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简求解. （2）（i）利用正弦定理，结合和角的正弦公式求解；（ii）利用向量数量积的运算律及基本不等式求出最大值，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 则，即， 整理得，而，所以. 【小问2详解】 （i）由，得，， 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得， 所以. （ii）由得，得，则， 因此，即， 当且仅当时取等号，则，， 所以当时，的面积取得最大值. 19. 设椭圆：的离心率为，且以椭圆上顶点为圆心，半径为的圆恰好经过椭圆的两焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过定点的直线交椭圆于两点、，椭圆上的点满足，试求的面积. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率及可求,即可写出椭圆方程（2）设过点的直线方程为，联立椭圆方程可求出，，由向量坐标运算得，代入椭圆方程可求出，即可求出三角形面积. 【详解】（1）∵，，∴， ∴椭圆的标准方程为. （2）设过点的直线方程为，，两点的坐标分别为，， 联立方程得，， ∴，， ∵，∴点， ∵点在椭圆上，有， 即， ， 即，解得， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角面积公式，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $