安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

定远县育才学校2025-2026学年九年级（上）期末 数学试卷 一、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标， 其图案是中心对称图形的是() D 2.对于线段a,b,如果a:b=2:3,那么下列四个选项一定正确的是() A.2a=3b B.b-a=1 C.atb5 a b二 D.b-a=2 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点B的对应点为E,点A的 对应点D落在线段AB上.若∠A=70°，则∠BCE的度数为() A38 B.39° C.40° D.41 4.如图，A、B、C、D是在⊙O上的四个点，AC是直径，∠ACB=40°，则∠BDC 的度数是() A D A35 B.40° C.45 B D.50 5.如图，有一个亭子，它的地基是正六边形，其外接圆的半径为4m,则该亭子地基的面积为() 0 A.4v3m2 B.83m2 C.12V3m2 D.24V3m2 6.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,C,D,E都在小正方形顶点的位置上，连接AB,CD相交于 点P,根据图中提示添加的辅助线，可以得到cos∠BPC的值等于() A B号 c号 D.2-√2 7.对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)如图所示，小明同学得出了以下结论： ①abc<0;②b2>4ac;③4a+2b+c>0;④3a+c>0;⑤a+b≤ m(am+b)(m为任意实数)，其中正确结论的个数是() A3个 B.4个 C.5个 D.2个 8.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E,分别以点E和点C为圆心、大于 EC的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线AP交BC于点D.若∠B=45°，∠C=2LCAD,则∠BAE的度数为 () A30 B.25 C.20° D.15 9.如图，在口ABCD中，延长AD至点E,使AD=2DE,连接BE交CD于点F,交AC于点G,则C的值是() AG A D E G A B号 c D 10.如图，直线y=2x与直线y=2x-6分别交函数y=(x>0)图象于点A,B,则以点A,0,B为顶点的三 角形面积是() y=2x AV13-1 y=2x-6 B.3 C.V13+1 0 D.4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11.己知抛物线y=x2-2x-1,若抛物线的函数值为2<y<3,则x的取值范围是一· 12.如图，线段AB的长是10，点C和点D均为线段AB的黄金分割点，那么线段CD A C D B 的长是 13.如图，△ABC内接于⊙O,∠A=60°，BC=9,D为BC上一动点，BE⊥直线 OD于E,当点D从B点沿BC运动到C点时，点E所经过的路径长为一· 0 0 14.如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系 D 中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M.已知反比例函数 y=(x<0)的图象恰好经过点F、M,若直尺的宽CD=1,三角板的斜边FG=5, E 则k=一· BA(G) 0 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题6分) 计算：(sin30)2+tan60°-(sin45)2+(c0s30)2. 16.(本小题8分) 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）△ABC, 为过网格线的一条直线 (1)画出△ABC关于直线对称的△A1B1C1: (2)将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90°得到△A2B2C2,画出△A2B2C2; (3)填空：△A2B2C2的面积为 : ---------- 17.(本小题8分) 月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能如图1是某园林中的一处月洞 门，门洞的形状为圆弧形如图2是该月洞门的几何示意图，设该弧所在圆的圆心为O,过点O作CD⊥AB,C 为垂足，与该弧交于点D.测得弦AB=1.2m,CD=1.8m.求这个月洞门所在圆的半径 D 1.8m 04 ch -1.2 可B 图1 图2 18.(本小题8分) 如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的点，且OC//BD,AD分别与BC,OC相交于点E,F. (1)求证：BC平分LABD: (2)若AB=2V5,AD=4,求CF的长. 19.(本小题10分) 株洲市清水塘大桥于2023年8月28日正式通车，弧形设计的清水塘大桥在两岸公园的映衬下，被株洲市民称 之为“湘江最美大桥”，它是株洲市内第八座跨江大桥，桥梁的跨度AB为410米，也称“八桥”，某天小 红和小明在“八桥”左岸边点C处游玩，如图2此时他们发现桥梁左岸支座点A在正西方向，桥梁的右岸支座 点B在北偏西45°方向，然后他们继续沿着河岸AC方向游玩到达D点，这时他们观测到桥梁的右岸支座点B在 北偏西60°方向.求此过程中他们游玩路径CD的长度？（结果精确到1米，参考数据V2≈1.41，V3≈1.732） B C 图1 图2 20.(本小题10分) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，以AD为直径作⊙O,交BD的延长线于点E,连接CE, 若CE切⊙O于点E. (1)求证：CE=BC; (2)若CD=8,an∠BEC=5求O0半径的长. D B 21.(本小题12分) △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的 中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点 Q. D E B E 图① 图② (1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌aCQE; (2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：·BPE一△CEQ;并求当BP=2,CQ=9时BC的长. 22.(本小题14分) 己知：如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过x轴上的两点A(x1,0),B(x2,0)和y轴上的点C(0,-),⊙P的 圆心P在y轴上，且经过B,C两点若b=V3a,AB=2V3. (1)求抛物线的解析式. (2)设点D在抛物线上，且C,D两，点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P,并说明理由， (3)设直线BP交⊙P于另一点E,求经过点E的⊙P的切线的解析式. C 23.(本小题14分) 在△ABC中，将BC绕点B顺时针方向旋转90°得到BD,连接CD. (1)如图1，若LCAB=45°，∠ACB=60°，CD=2√2，求AC的长； (2)如图2，连接AD,点F为AD中点，连接BF,过点C作CG⊥AB,垂足为G过点B作BF的垂线交直线CG于点 H,猜想BH与BF之间的数量关系，并证明； (3)如图3，连接AD,点F为AD中点，点E是BC的中点，连接EF,点P是直线BD上一动点，连接CP.当EF取 最大值时，将△CPB沿CP翻折到△ABC所在的平面内，得到△CPQ,连接FQ.若AB=√2，BC=4,直接 写出此条件下FQ的最小值， C H E F D y B B 图1 图2 图3 答案 1.A2.D3.C4.D5.D6.B7.A8.D9.A10.B 11.3<x<1+V5或1-V5<x<-1 12.10V5-20 13.23m 14.-20 15解：原式=2+V3-(2+(2 =+-+ 1 =tv3. 16.解：(1)△ABC关于直线对称的△A1B1C1,如图1即为所求； 图1 (2)△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90°得到△A2B2C2,如图2即为所求； B。2 图2 (3)Sa4c,=3×4-×2×1-2×2×4-×2×3=4, 故答案为：4. 17.解：如图，连接0A,设⊙O的半径为rm,则0A=0C=rm,OD=(1.8-r)m, ADB CD⊥AB, AD=BD=AB=号×1,2=0.6(m),∠0DA=90°， 在直角△0AD中，由勾股定理得：0A2=0D2+AD2, r2=(1.8-r)2+0.62, 解得：r=1 答：这个月洞门所在圆的半径为1m. 18.(1)证明：0C//BD, .∠OCB=∠DBC, OC=0B, ·∠OCB=∠OBC ∴.∠OBC=∠DBC, ·BC平分∠ABD; (2)解：AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， OC//BD, ∠AF0=∠ADB=90°， .OF⊥AD, AF=DF=3AD=3×4=2, AB=25, 0A=0C=2AB=5, 0F=V(V5)2-22=1, .CF=0C-0F=V5-1, 19.解：AB⊥AD,∠ACB=45°， “△CAB是等腰直角三角形， AC=AB=410米， 在Rt△DAB中，∠ADB=90°-60°=30°， 又tanzADB=AB, AD 9=m 410 CD=410×V3-410, ·.CD≈300米， 答：他们游玩的路径CD的长度为300米， 20.解：(1)CE切⊙0于点E, ∴.OE⊥CE,∠OEC=90°，即∠OED+∠CED=90°， OE=OD, ∴.∠OED=∠ODE, ∠ACB=90°，即∠BDC+∠DBC=90°， 又∠BDC=∠ODE, ∴.∠BDC=∠OED, .∠DBC=∠DEC, ..CE=BC; (2)~Rt△BCD中，tan-DBC=-tan-BEC-=号=5，CD=B, CB=8×9=号5，则cE=GB=号5， 5 设OD=OE=r, 在Rt△0CE中，0E2+CE2=0C2,即r2+(25)2=+82, 5 若CD=8,tan-BEC=5,求O0半径的r=禁 21.(1)证明：·ABC是等腰直角三角形， ·∠B=∠C=45°，AB=AC, AP=AQ, :BP=CQ, E是BC的中点， ..BE=CE, 在△BPE和△CQE中，