6.2一元一次方程的解法讲义2025-2026学年鲁教版（五四制）数学六年级下册

六年级寒假预习讲义-一元一次方程解析版 第二节 解一元一次方程 【考点梳理】 考点一 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 考点二 一元一次方程的解法 ◆合并同类项：把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用． ◆移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项． ◆去括号：括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号． ◆去分母：在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数．去分母时不要漏乘不含分母的项．当分母中含有小数时，先将小数化成整数． 【注意】（1）移项的时候注意变号； （2）去括号的时候注意，若括号前是“”号，那么去括号的时候要变号． 考点三 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值． 【重点题型】 题型一： 等式的基本性质 【典例1】运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，逐项判断，即得． 【详解】解：A、， 等号两边都减加3， 得， 故本选项正确， 符合题意； B、， 当时，， 故本选项错误， 不符合题意； C、， 当时， ， 故本选项错误， 不符合题意； D、， 两边都乘以2， 得， 故本选项错误， 不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当时，，可得， ∴或， ∴错误，符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 故选：． 【变式1-3】下列变形中，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据等式的基本性质，逐项判断变形是否正确． 【详解】解：对于A：∵ 当时，除法无意义，∴ A不正确； 对于B：∵成立时，，两边同时乘以c得，∴ B正确； 对于C：∵ 等式两边应减同一个数，但此处左边减3、右边减2，∴ C不正确； 对于D：∵ 等式两边应加同一个数，但此处左边加2、右边加3，∴ D不正确． 故选：B． 【变式1-4】若，则下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，等式两边同时加上或者减去同一个数，等式仍成立；等式两边同时加上同一个数，等式仍成立，等式两边同时除以同一个非0的数，等式仍成立，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵， ∴，故该选项不符合题意； B、∵， ∴，故该选项不符合题意； C、∵， ∴， ∴，故该选项符合题意； D、∵， ∴，故该选项不符合题意； 故选：C． 题型二： 解一元一次方程--合并同类型与移项 【典例2】解方程： （1）； （2）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等． （1）先移项、合并同类项，然后化未知数的系数为1； （2）先去移项、合并同类项；最后化未知数的系数为1． 【详解】（1）移项得， 合并同类项得； （2）移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【变式2-1】解下列方程： （1）； （2）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题概念． （1）依次移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （2）依次移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：； （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 【变式2-2】解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （2）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （3）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （4）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式2-3】解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）（2）（3）先移项，合并同类项，再系数化1，据此即可作答． （4）先去分母，移项，合并同类项，据此即可作答． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得； （2）解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得； （3）解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得； （4）解： 去分母，得 移项，得， 合并同类项，得， 【变式2-4】把方程移项后，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的移项法则，解题关键是掌握移项要变号的规则． 移项时，项从等号一边移到另一边，符号需改变．将含项移到左边，常数项移到右边． 【详解】原方程： ∵ 移项，从右边移到左边变为，从左边移到右边变为，  ∴ 与选项A一致． 故选A． 【变式2-5】解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程．方程移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， ， ， 解得． 【变式2-6】学习了“一元一次方程”后，同学们对一元一次方程的解法进行了交流，请你仔细阅读： 小明：我用去括号、移项的方法，计算比较繁琐； 小亮：我用整体求解法，先将看成整体进行移项、合并同类项，得 ，即，再将系数化为1，求出，最后求出x的值． 请你利用小亮的方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程—拓展，正确计算是解题的关键，根据整体求解法求解即可． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 移项并合并同类项，得． 【变式2-7】如果是关于的一元一次方程，那么方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、一元一次方程的解法，根据一元一次方程的定义可以求出，从而可知方程为，再求出方程的解即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程， ，， ， ， ， 或， 解得：或， ， ， 方程为， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 故答案为：． 【变式2-8】若代数式的值为，则等于（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤 根据题意列出关于x的一元一次方程，然后按照一元一次方程的解题步骤求解即可． 【详解】解：由题意得 因此，等于1， 故选：B． 题型三： 解一元一次方程——去括号 【典例3】解方程 （1）； （2）； （3） 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． （2）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． （3）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 化系数为1得：． 【变式3-1】解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1，根据步骤求解各题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3-2】解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤及注意事项是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （3）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （4）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可． 【详解】（1） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （2） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （3） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （4） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 【变式3-3】解方程： （1） （2） （3） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； （3）逐步去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； 掌握解方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ． 题型四： 解一元一次方程——去分母（整数） 【典例4】解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： 去分母， 去括号， 移项，合并同类项， 化系数为1，． 【变式4-1】解方程∶ 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 【变式4-2】解方程： （1）； （2）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ． 【变式4-3】 （1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解． 【详解】解：（1）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1得，； （2）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1得，． 【变式4-4】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项合并同类项以及化系数为1求解即可． 【详解】解：， 去分母：， 去括号：， 移项合并同类项：， 化系数为1：． 【变式4-5】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，先去分母，再去括号，然后合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 【变式4-6】解方程：． 【答案】． 【分析】本题考查了是解一元一次方程，属于基础题型．在解方程时，如果去分母的时候，一定要注意常数项也要乘以分母的最小公倍数；在去括号时，如果括号前面为负号时，去掉括号后一定要注意变号；首先进行去分母，然后进行去括号、移项合并同类项，从而得出方程的解． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 将系数化为1得： ． 题型五： 解一元一次方程--去分母（小数） 【典例5】解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可解决． 【详解】解：， 原方程化为：， 去分母，得：， 去括号得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得． 【变式5-1】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化．先化整，然后根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 方程整理得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：． 【变式5-2】解方程：； 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解含绝对值的方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可； 【详解】解：， 整理得：， 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：； 【变式5-3】解方程 （1） （2） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，比例的基本性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据比例的基本性质可得，即可求解； （2）先去分母，合并同类项，然后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 题型六： 一元一次方程的错解复原问题 【典例6】下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． ，（第一步） ，（第二步） ，（第三步） ，（第四步） ．（第五步） （1）任务一：填空． ①以上求解步骤中，第一步的依据是________________________． ②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________． （2）任务二：请直接写出该方程的解． 【答案】(1)①等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立）；②二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号 (2) 【分析】本题考查的是解方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． （1）①根据去分母的步骤进行分析，即可得到答案； ②根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：①第一步为去分母，依据是等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立， 故答案为：等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立； ②第二步开始出现错误， 原因是：括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号， 故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； （2）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：． 【变式6-1】以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得． （1）圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程； （2）请尝试解方程． 【答案】(1)有错误，见解析 (2) 【分析】（1）去分母的时候方程的右边没有乘上6，去括号后，两个括号的后一项漏乘，更正后再根据解一元一次方程的基本步骤进行解题，即可作答． （2）根据解一元一次方程的基本步骤可得答案． 本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 【详解】（1）解：圆圆的解答过程错误，正确的解答过程如下： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得； （2）解：， ， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 【变式6-2】下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：______，得    第一步 去括号，得     第二步 移项，得     第三步 合并同类项，得     第四步 方程两边同除以2，得    第五步 （1）以上求解步骤中，第一步进行的是______； （2）以上求解步骤中，第______步开始出现错误； （3）请写出正确解方程的过程． 【答案】(1)去分母 (2)三 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母， 故答案为：去分母； （2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号， 故答案为：三； （3）解： 两边同乘6得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同除以2，得． 【变式6-3】以下是小明解方程的解答过程． 解：去分母，得 第一步 去括号，得 第二步 移项，得 第三步 合并同类项，得 第四步 （1）以上过程中是从第______步开始出错的． （2）第一问中出现错误的原因____________． （3）写出这个方程的正确解答过程． 【答案】(1)一 (2)去分母的时候方程右边没有乘以6 (3)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）观察解题过程可知，以上过程中是从第一步开始出错的，原因是在去分母的时候方程右边没有乘以6； （2）由（1）可得答案； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，以上过程中是从第一步开始出错的，原因是在去分母的时候方程右边没有乘以6； 故答案为：一； （2）解：由（1）得出现错误的原因为去分母的时候方程右边没有乘以6， 故答案为：去分母的时候方程右边没有乘以6； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【变式6-4】下面是小丽同学解方程的过程： 解：去分母，得第①步 去括号，得第②步 移项，得第③步 合并同类项，得．第④步 系数化为1，得第⑤步 根据小丽的解题过程，回答下列问题： (1)第①步的依据是________________________________； (2)从第 （填序号）步开始出现错误，请你写出正确的解方程的过程． 【答案】(1)等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立 (2)②；见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1是解一元一次方程的一般步骤，每一步都要注意运算规则和符号问题． （1）根据等式的基本性质进行解答即可； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可． 【详解】（1）解：第①步的依据是等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． （2）从第②步开始出现错误，去括号时，去括号后应该是，而不是．正确的解方程过程如下： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式6-5】本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为：．……第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：．……第②步 去括号，得：．……第③步 移项，得：．……第④步 合并同类项，得：．……第⑤步 系数化1，得：．……第⑥步 所以为原方程的解． 上述小亮的解题过程中： (1)第②步的依据是_____________________________； (2)第_______（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子． 【答案】(1)等式基本性质2 (2)③； 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1． （1）根据解一元一次方程的基本步骤和依据逐一判断即可得； （2）根据一元一次方程的解法，结合小亮同学的解题过程分析即可． 【详解】（1）第②步的依据是：等式基本性质2； 故答案为：等式基本性质2； （2）第③步开始出现错误，这一步正确的式子：． 故答案为：③；． 题型七： 利用一元一次方程同解问题求解 【典例7】已知方程与方程的解相同，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的解法．根据解一元一次方程的一般步骤，可得的解，把解代入方程，解方程可得答案． 【详解】解： 解得：， ∵方程与方程的解相同， ∴把代入得：， 解得：． 故答案为： 【变式7-1】若方程与的解相同，则的值为_______． 【答案】8 【分析】本题考查同解方程，先求出方程的解，将其代入中，求出a的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入，得：， 解得：； 故答案为：8． 【变式7-2】若关于的方程和有相同的解，则_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了方程的解的定义，已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 解方程，把方程的解代入即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值． 【详解】解：解方程得：， 把代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 【变式7-3】若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得的值．掌握解一元一次方程是解答本题的关键． 【详解】解：， 去分母得， 去括号， 移项合并得， 解得得， 解， 移项合并得：， 解得， 由题意得：， 解得． 故答案为：． 【变式7-4】已知关于的方程的解与的解相同，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了同解方程的定义，掌握同解方程的定义，得出的值是解题的关键． 先解不含参数的一元一次方程，将解代入含参数的一元一次方程，即可求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：． 将代入得： ， ， ． 【变式7-5】若方程与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】求出第一个一元一次方程的解得到的值，再代入第二个方程中即可求出的值． 【详解】解：解方程得 两个方程的解相同， 把代入,得 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了同解方程及解一元一次方程，两方程未知数的值相同即为同解方程，解决问题的关键是准确计算. 【变式7-6】关于的方程与的解相同，则的值是（   ）． A．2 B．3 C．13 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；先得出方程的解，然后代入方程即可求解． 【详解】解：解方程得：， 把代入得， ∴； 故选C． 题型八： 一元一次方程整数解问题 【典例8】若关于的方程的解为正整数，整数的值是__________． 【答案】2或3或4或7 【分析】首先解方程表示出的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 关于的方程的解为正整数， 为正整数， 或或或 或或或． 故答案为：2或3或4或7 【变式8-1】若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为_________． 【答案】，0和1 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 要为的倍数， 或或． 故答案为：，0和1． 【变式8-2】关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为_______． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把的系数化为1，表示出方程的解，由方程的解为整数，确定出整数的值即可． 【详解】解： 解为整数， 或或或， 则所有整数的和为， 故答案为：． 【变式8-3】已知关于的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非整数得出的值，进而得出答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 方程的解是非负整数， ∴为1或2或5或10， 的值为或或或4， ∴， 故答案为：． 【变式8-4】关于的一元一次方程的解为正整数，其中为整数，则的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，解题关键是先解方程得到，再根据方程的解和都为正整数，确定参数的值． 【详解】解：解一元一次方程， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 方程的解为正整数， 为正整数， 的值为、、、、， 的值有个． 故选：B ． 【变式8-5】已知关于的方程有整数解，则正整数的值为（  ） A． B．或 C．或或 D．或或或 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解及解法，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．先解关于的方程得到，然后根据整数的整除性求解． 【详解】解： 为整数，为正整数， ， 故选：A． 【变式8-6】已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A．14 B．45 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．先解一元一次方程可得，再由方程的解为正整数，则或，求出的值即可求解． 【详解】解：， ， ， 方程有正整数解， ， ， 方程的解是正整数， 或， 解得或， ， 故选：D． 【变式8-7】若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值（   ） A．1 B．1或 C．0或 D．0或1或 【答案】D 【分析】本题考查根据方程的解，求参数的值，先求出方程的解，再根据方程有非负整数解，列出方程求出的值即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∵方程有非负整数解， ∴， ∴； 故选D． 课后练习 【基础训练】 1、方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程，将方程系数化为1，即可求解． 【详解】解：， 系数化为1，得． 故选：A 2、把方程去分母后，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1．方程两边同乘以8去分母得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程去分母，得， 故选：B． 3、有下列变形：若，则；若，则；若，则；若，则．其中变形正确的是___________．（请填写序号） 【答案】 【分析】本题考查了等式的基本性质，解决本题的关键是根据等式的两边同时乘以同一个数或除以同一个不为的数等式仍成立进行判断． 【详解】解：若，根据等式的基本性质可得：，故正确； 若，当时，成立，当时不成立，故错误； 若，当时，成立，当时不成立，故错误； 若，则，根据等式的基本性质成立，故正确． 故答案为： ． 4、若单项式与的和仍是单项式，则方程的解是________． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，解一元一次方程，根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同，求出m，n的值，然后代入方程进行计算即可． 【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， ∴ ∴方程为 解得： 故答案为：． 5、利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质． （1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案； （2）根据等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （3）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （4）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案． 【详解】（1） 两边加5，得， 解得． （2）， 两边除以，得， 解得． （3） 两边减2，得， ， 两边除以，得， 得． （4）， 两边加2，得， ， 两边除以4，， 解得． 6、解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解． 此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 7、解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 8、解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程． （1）方程移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：移项得：， 合并得：， 解得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 9、下面是一位同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解方程： 解：去分母，得，…………………第一步 去括号，得，……………………………第二步 移项，得，…………………………………第三步 合并同类项，得．…………………………………………第四步 (1)步骤①去分母的依据是____________________； (2)这位同学从第_____步开始出现错误，具体的错误是_______________________； (3)求解此方程． 【答案】(1)等式的基本性质2 (2)一，去分母时右边的1没有乘以6 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）变形利用了等式的性质； （2）第一步开始出错，常熟项漏乘最小公倍数； （3）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，解方程即可． 【详解】（1）解：步骤①去分母的依据是等式的基本性质2； （2）这位同学从第一步开始出错，具体的错误是去分母时右边的1没有乘以6； （3）解： ． 10、对于有理数a、b定义一种新运算，规定 (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算，如果有括号，要先做括号内的运算； （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，由，列出一元一次方程，然后根据解一元一次方程方法，求出的值是多少即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴， 解得． 【巩固训练】 1、下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、如果，那么，因此选项不符合题意； 、如果，那么，因此选项符合题意； 、如果，，那么，因此选项不符合题意； 、如果，那么，因此选项不符合题意； 故选：． 2、下列方程变形中，正确的是（   ） A．方程，移项得 B．方程，系数化为1得 C．方程，去括号得 D．方程，去分母得 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．注意移项要变号，即可判断A选项，系数化1的时候，方程两边同时除以，即可判断B选项，注意去括号时，括号前是负号，则括号内各项要变号，即可判断C选项，去分母的时候，方程两边同时乘上6，即可判断D选项． 【详解】解：A、方程，移项得，故该选项不符合题意； B、方程，系数化为1得，故该选项不符合题意； C、方程，去括号得，故该选项符合题意； D、方程，去分母得，故该选项不符合题意； 故选：C 3、已知方程的解与关于x的方程的解相同，______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的同解问题，先求出方程的解，再代入，即可求出的值，进行作答． 【详解】解：∵， ∴， 解得； ∵方程的解与关于x的方程的解相同， ∴把代入， 得， ∴， 解得， 故答案为：． 4、定义一种新的运算“”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，，比如：，则方程的解为_________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解新运算，正确建立方程是解题关键．根据新运算的定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， 故答案为：． 5、解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了解 一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． （1）先移项，再合并同类项，化系数为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，然后合并同类项，化系数为1即可． 【详解】（1）解：移项合并得：， 解得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项，合并，得：， 解得：． 6、解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可：去括号、移项、合并同类项、系数化为； （2）按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 【详解】（1）解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 7、解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）根据解一元一次方程的步骤“去括号，移项、合并同类项，系数化为1”求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：， 去分母，得： 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 8、解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 9、对于整数a、b、c、d，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1)26 (2) 【分析】本题主要考查新定义下的有理数混合运算，一元一次方程的知识； （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：原式= （2）原式     整理： 10、新定义 用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：1． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数及整式的混合运算，熟练掌握运算方法是解决问题的关键． （1）根据新运算展开，再求出即可； （2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可； （3）先根据新运算求出m、n，然后用作差法比较即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 解得； （3）解：根据题意，得，， 则， 所以． 【拔高训练】 1、新定义对于实数、，规定，若，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程，掌握新定义的计算公式和解一元一次方程的步骤是解题的关键． 根据新定义原式得出，再进行求解即可． 【详解】解：∵新定义， ∴可化为： ， ， 解得：． 故选：D． 2、关于的方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的和是________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键； 利用解一元一次方程的一般步骤解出方程，根据题意求出的值，计算即可． 【详解】解： ， 为正整数， 或， 解得：或， 所有满足条件的整数的和是； 故答案为： 3、解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算，是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化1，解方程即可； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可． （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可； （4）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可． 【详解】（1）； 解： ； （2） 解： ； （3） 解： ； （4） 解： ． 4、解方程： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤是解题关键． （1）先移项，再合并同类项计算即可； （2）先去括号，然后移项合并同类项计算即可； （3）先等式两边乘以6去分母，然后去括号，移项、合并同类项计算即可； （4）先等式两边乘以21去分母，然后去括号，移项、合并同类项计算即可； （5）先去括号得到，然后等式两边乘以60去分母，再移项、合并同类项计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： 5、已知方程与关于x的方程的解相同．求的值； 【答案】6 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握解一元一次方程的步骤成为解题的关键．先分别求出两方程的解，然后根据两方程解相同列出关于的方程求解即可． 【详解】解：解方程可得：； 解方程可得：； 所以，解得：． 6、某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘，因而求得方程的解为， (1)求的值 (2)求出方程正确的解 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了解一元一次方程及一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）先根据错误的方法解得的值； （2）将的值代入原方程得，再根据解一元一次方程的一般步骤即可求解， 【详解】（1）解：根据错误的去分母得：， 将代入得：， 解得：； （2）由（1）可知：，则原方程为：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：． ∴方程正确的解为． 7、已知关于的方程的解比的解小．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，首先分别解两个关于的方程，把它们的解用含的代数式表示出来，再根据两个方程的解的关系得到关于的一元一次方程，解方程求出的值． 【详解】解：解方程， 可得：， 解方程， 可得：， 比小， ，解得． 8、如果是关于的一元一次方程，试求，的值． 【答案】，或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，解含绝对值的方程，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可得出，，再求解即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程， ，， 解得：，或． 9、已知关于的方程与的解相同．求这个相同的解和的值． 【答案】相同的解是，的值为2 【分析】本题考查解一元一次方程，方程的解，先解得到相同的解，再将结果代入，解关于的方程即可． 【详解】解：， ， ， ，解得， 将代入，得：， ， ，解得， 综上可知，相同的解是，的值为2． 10、已知方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数，求的值． 【答案】(1)；(2) 【知识点】方程的解、一元一次方程的定义、倒数 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解，倒数的定义． （1）根据一元一次方程的定义，得到，求解即可； （2）由（1）知，即，求出x，取x的倒数代入即可求解a的值． 【详解】（1）解：方程是关于的一元一次方程， ，解得：； （2）解：由（1）可知，原方程为，解得． 方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数， 关于的一元一次方程的解为， 将，代入方程中，得，解得． 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级寒假预习讲义-一元一次方程学生版 第二节 解一元一次方程 【考点梳理】 考点一 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 考点二 一元一次方程的解法 ◆合并同类项：把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用． ◆移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项． ◆去括号：括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号． ◆去分母：在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数．去分母时不要漏乘不含分母的项．当分母中含有小数时，先将小数化成整数． 【注意】（1）移项的时候注意变号； （2）去括号的时候注意，若括号前是“”号，那么去括号的时候要变号． 考点三 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值． 【重点题型】 题型一： 等式的基本性质 【典例1】运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-1】下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式1-2】下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-3】下列变形中，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式1-4】若，则下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二： 解一元一次方程--合并同类型与移项 【典例2】解方程： （1）； （2）． 【变式2-1】解下列方程： （1）； （2）． 【变式2-2】解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2-3】解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2-4】把方程移项后，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-5】解方程：． 【变式2-6】学习了“一元一次方程”后，同学们对一元一次方程的解法进行了交流，请你仔细阅读： 小明：我用去括号、移项的方法，计算比较繁琐； 小亮：我用整体求解法，先将看成整体进行移项、合并同类项，得 ，即，再将系数化为1，求出，最后求出x的值． 请你利用小亮的方法解方程：． 【变式2-7】如果是关于的一元一次方程，那么方程的解是_______． 【变式2-8】若代数式的值为，则等于（   ） A． B．1 C．2 D． 题型三： 解一元一次方程——去括号 【典例3】解方程 （1）； （2）； （3） 【变式3-1】解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【变式3-2】解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【变式3-3】解方程： （1） （2） （3） 题型四： 解一元一次方程——去分母（整数） 【典例4】解方程： 【变式4-1】解方程∶ 【变式4-2】解方程： （1）； （2）． 【变式4-3】 （1）解方程：； （2）解方程：． 【变式4-4】解方程：． 【变式4-5】解方程：． 【变式4-6】解方程：． 题型五： 解一元一次方程--去分母（小数） 【典例5】解方程： 【变式5-1】解方程：． 【变式5-2】解方程：； 【变式5-3】解方程 （1） （2） 题型六： 一元一次方程的错解复原问题 【典例6】下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． ，（第一步） ，（第二步） ，（第三步） ，（第四步） ．（第五步） （1）任务一：填空． ①以上求解步骤中，第一步的依据是________________________． ②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________． （2）任务二：请直接写出该方程的解． 【变式6-1】以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得． （1）圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程； （2）请尝试解方程． 【变式6-2】下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：______，得    第一步 去括号，得     第二步 移项，得     第三步 合并同类项，得     第四步 方程两边同除以2，得    第五步 （1）以上求解步骤中，第一步进行的是______； （2）以上求解步骤中，第______步开始出现错误； （3）请写出正确解方程的过程． 【变式6-3】以下是小明解方程的解答过程． 解：去分母，得 第一步 去括号，得 第二步 移项，得 第三步 合并同类项，得 第四步 （1）以上过程中是从第______步开始出错的． （2）第一问中出现错误的原因____________． （3）写出这个方程的正确解答过程． 【变式6-4】下面是小丽同学解方程的过程： 解：去分母，得第①步 去括号，得第②步 移项，得第③步 合并同类项，得．第④步 系数化为1，得第⑤步 根据小丽的解题过程，回答下列问题： (1)第①步的依据是________________________________； (2)从第 （填序号）步开始出现错误，请你写出正确的解方程的过程． 【变式6-5】本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为：．……第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：．……第②步 去括号，得：．……第③步 移项，得：．……第④步 合并同类项，得：．……第⑤步 系数化1，得：．……第⑥步 所以为原方程的解． 上述小亮的解题过程中： (1)第②步的依据是_____________________________； (2)第_______（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子． 题型七： 利用一元一次方程同解问题求解 【典例7】已知方程与方程的解相同，则的值为_______． 【变式7-1】若方程与的解相同，则的值为_______． 【变式7-2】若关于的方程和有相同的解，则_______． 【变式7-3】若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为_______． 【变式7-4】已知关于的方程的解与的解相同，求的值． 【变式7-5】若方程与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【变式7-6】关于的方程与的解相同，则的值是（   ）． A．2 B．3 C．13 D．5 题型八： 一元一次方程整数解问题 【典例8】若关于的方程的解为正整数，整数的值是__________． 【变式8-1】若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为_________． 【变式8-2】关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为_______． 【变式8-3】已知关于的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和是_______． 【变式8-4】关于的一元一次方程的解为正整数，其中为整数，则的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式8-5】已知关于的方程有整数解，则正整数的值为（  ） A． B．或 C．或或 D．或或或 【变式8-6】已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A．14 B．45 C． D． 【变式8-7】若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值（   ） A．1 B．1或 C．0或 D．0或1或 课后练习 【基础训练】 1、方程的解是（   ） A． B． C． D． 2、把方程去分母后，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 3、有下列变形：若，则；若，则；若，则；若，则．其中变形正确的是___________．（请填写序号） 4、若单项式与的和仍是单项式，则方程的解是________． 5、利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 6、解方程： (1)； (2)． 7、解方程： (1) (2)． 8、解下列方程： (1)； (2)． 9、下面是一位同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解方程： 解：去分母，得，…………………第一步 去括号，得，……………………………第二步 移项，得，…………………………………第三步 合并同类项，得．…………………………………………第四步 (1)步骤①去分母的依据是____________________； (2)这位同学从第_____步开始出现错误，具体的错误是_______________________； (3)求解此方程． 10、对于有理数a、b定义一种新运算，规定 (1)求的值； (2)若，求x的值． 【巩固训练】 1、下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2、下列方程变形中，正确的是（   ） A．方程，移项得 B．方程，系数化为1得 C．方程，去括号得 D．方程，去分母得 3、已知方程的解与关于x的方程的解相同，______． 4、定义一种新的运算“”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，，比如：，则方程的解为_________． 5、解下列方程： (1) (2) 6、解方程： (1)； (2)． 7、解方程 (1)； (2)． 8、解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 9、对于整数a、b、c、d，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求x的值． 10、新定义 用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：1． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【拔高训练】 1、新定义对于实数、，规定，若，则的值为（   ） A． B． C． D．4 2、关于的方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的和是________． 3、解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 4、解方程： (1) (2) (3) (4) (5) 5、已知方程与关于x的方程的解相同．求的值； 6、某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘，因而求得方程的解为， (1)求的值 (2)求出方程正确的解 7、已知关于的方程的解比的解小．求的值． 8、如果是关于的一元一次方程，试求，的值． 9、已知关于的方程与的解相同．求这个相同的解和的值． 10、已知方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $