第2章 二次函数综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

第二章综合评价 Sa (时间：120分钟满分：120分) 、选择题（每小题3分，共36分） 2 1.下列函数中，是y关于x的二次函数的是 ( ) A.y=3x+1 B.y=x2+2x C.y= D.y=2 2.抛物线y=2x2+1的顶点坐标是 敏 A.(2,1) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,2) 3.在平面直角坐标系中，将抛物线y=一x先向右平移1个单位长度， 再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是( A.y=(x+1)2+2 B.y=(x-1)2+2 C.y=-(x-1)2+2 D.y=-(x-1)2-2 弥 4.已知二次函数y=a(x一1)2十3，当x<1时，y随x的增大而增大，则 a的取值范围是 ( 批 A.a≥0 B.a≤0 C.a>0 D.a<o 5.二次函数y=ax2+bx十c(a≠0，a,b,c为常数)的图象如图所示，则方 程ax2+bx十c=m有实数根的条件是 A.m≥-4 B.m≥0 C.m≥5 00 苹 D.m≥6 6.根据下列表格的对应值，判断方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的一个解的 范围是 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26 7.二次函数y=ax2+bx十c的图象如图所示，对称轴是直 线x=1,其中结论正确的为 A.abc0 B.b2-4ac=0 C.a-b+c>0 D.4a+2b+c<0 8.如图①是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形状，该 放 水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图②所示，点 B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC,垂足为 点D,OA=2m.若BD=6m,OD=2m,则OC的长为 ) A.4 m B.5m C.(√6-2)m D.(√6+2)m 图① 图② 0 D (第8题图) (第9题图) 第1页（共6页） 9.如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P,Q都在x轴 上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A,B,C,D四点.若 AB=10,BC=5,CD=6,则PQ的长度为 A.7 B.8 C.9 D.10 10.一次函数y=ax十b的图象如图所示，则二次函数y=ax2十b的大 致图象是 木木平 11.某产品的进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件.若每件 涨价1元，则销售量就减少10件.该产品能获得的最大利润为( A.5000元B.8000元 C.9000元 D.10000元 12.二次函数y=4√3x2的图象如图所示，点O为坐标原 点，点A在y轴的正半轴上，点B,C在函数图象上，四 边形OBAC为菱形，且∠ABO=120°，则点C的坐标 为 ( A() B(9 c(-1.) D.(-1w3) 二、填空题（每小题3分，共18分） 13.把二次函数y=x2一12x化为形如y=a(x一h)2十k的形式为 14.抛物线的函数表达式为y=3(x一1)2+1，若将x轴向下平移1个单 位长度，将y轴向左平移2个单位长度，则该抛物线在新的平面直 角坐标系中的函数表达式为 15.已知二次函数y=x2十bx十c的图象如图所示，则点 P(b,c)在第 象限. 16.行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距 离，这段距离称为“刹车距离”.某车的刹车距离s(m)与车速 x(km/h)之间的函数关系式是s=0.01x+0.002x2,则在限速 100km/h的高速公路上，该车的正常刹车距离最大为 m. 17.衡山红脆桃是湖南省衡阳市衡山县特产，全国农产品地理标志，衡 山红脆桃为早熟品种，肉质甜脆爽口，成熟果肉呈血红色、多汁、离 核，深受人们喜爱.某特产批发店以30元/箱的价格购进了一批衡 山红脆桃，根据市场调查发现：售价定为58元/箱时，每天可销售 600箱.为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天 可增加销量60箱，每天的利润（元）与每箱降价x(元)之间的函数 表达式为 第2页（共6页） 18.如图，抛物线y=a.x2+bx十c与x轴交于点(3,0)，则 下列结论中，正确的是 .(填序号) ①a>0;②c>0:③b-4ac<0:④9a+3b+c=0. 三、解答题（共66分） 19.(6分)已知抛物线y=x2一4x十c经过点(0,9). (1)求c的值； (2)若点A(3,y1),B(4,y2)在该抛物线上，试比较y1,y2的大小. 20.(6分)已知二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象经过（一2,0），(4， 0),(0,-8)三点 (1)求此抛物线的函数表达式； (2)当x为何值时，y随x的增大而减小？ (3)写出不等式ax2+bx十c<0的解集. 21.(8分)如图，已知抛物线的顶点为A(0,1),矩形CDEF的顶点C,F 在抛物线上，D,E在x轴上，CF交y轴于点B(O,2),且矩形CDEF 的面积为8，求此抛物线的函数表达式 O E 第3页（共6页） 22.(8分)将抛物线y=号2先向上平移2个单位长度，再向左平移 m(m>0)个单位长度，所得到的新抛物线经过点(-1,4). (1)求新抛物线对应的函数表达式； (2)求新抛物线与y轴的交点坐标. 23.(8分)某次掷实心球项目的练习时，小强同学站在地面上点O的位 置，P为实心球被掷出后脱手的点，如图，点O,P,M,N在同一平 面，且OP⊥MN.已知小强扔出实心球后，实心球在空中的运动路线 为抛物线，且实心球运动到距离小强4处时，距地面达到最大高 度3m.经测量，实心球落地点距小强所站位置为10m,根据评分标 准，该次训练获得满分. (1)求实心球被掷出后脱手时距地面的高度；（精确到0.1m) (2)若在小强扔实心球的过程中，另一名同学在距离小强7m处横 穿过实心球场地，已知该同学身高1.80，请通过计算说明该名 穿过实心球场地的同学是否有危险？ M O 4 第4页（共6页） 24.(8分)如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm,AD=4cm,点P,Q 分别从A,B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的 速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速 运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动时间为x(s), △PBQ的面积为y(cm). (1)求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)求△PBQ的面积的最大值. D C o B 25.(10分)丽江华坪芒果是华坪特产，中国国家地理标志产品.其皮色 新鲜，着色良好有光泽，外观亮丽，肉色橙黄嫩滑，核小肉厚，纤维 少，口感清甜爽口，深受大家的喜爱.某华坪芒果生产基地生产的礼 品盒包装的芒果每箱的成本为30元，按定价50元出售，每天可销售 200箱.为了增加销量，该生产基地决定采取降价措施，经市场调研， 每降价1元，日销售量可增加20箱. (1)求出每天销售量y(箱)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并 写出x的取值范围； (2)若该生产基地每天要实现最大销售利润，则每箱礼品盒包装的 芒果应定价多少元？每天可实现的最大利润是多少？ 第5页（共6页） 26.(12分)如图，已知抛物线y=-x2+bx十c与x轴交于A(-1,0), B(3,0)两点，交y轴于点C. x=1x ox=i文 备用图 (1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标； (2)连接BC,点E是线段OC上一点，点E关于此抛物线对称轴的 对称点F正好落在BC上，求点F的坐标； (3)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动， 过点M作x轴的垂线交抛物线于点N,交线段BC于点Q.设运 动时间为t(t>0)s.△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的 值；若不能，请说明理由. 第6页（共6页）AB是⊙O的直径，∠ACB=90°.在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=2,∴BC= 1.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB-BC=√22-1下=√5.由(1)可知PA =AC,∴PA=√5.15.解：(1)AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A十∠ABD =90°.∠A=∠DEB,∠DEB=∠DBC,∴∠A=∠DBC,.∠DBC+∠ABD= ∠ABC=90°，即AB⊥BC,.BC是⊙O的切线：(2)连接OD.由(1)知∠ADB=90°，即 BD⊥AD.又：BF=BC=2,∴.BD平分∠CBF,∴∠CBD=∠FBD.:OE∥BD, ∴∠FBD=∠OEB.OE=OB,∴.∠OEB=∠OBE.∴.∠CBD=∠FBD=∠OBE= 号∠ABC=子×90=30，在R△BFD中，BD=BF·eas30=2×号=5， ·∠ABD=∠OBE十∠FBD=30°十30°=60°.又OD=OB,.△OBD是等边三角形， :OB=BD=B,六⑨O的半径为3，.S用能=Sm形B SALOB二60TX3)号义 360 4 综合评价答案 第一章综合评价 1.B2.B3.A4.A5.D6.C7.D8.B9.B10.B11.A12.D13.15 14.2 1 15.4V5cm16.(60-80sina）17.6018.(8,2）19.解：1)原式=8× (图)+1-4×号=8×号+1-28=6+1-2g=7-252原式=65十 +2× 3 2× ()=3+号+2g5--3+25.20.解：AD1Bc,∴∠A ∠ADB=90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√AC-CD=√52-3=4.在 Rt△ADB中，由勾股定理，得BD=√AB-AD=√8-车=43..tanB=AC= BD 4= 后=含tanC品=专，21.解：D在R△ABC中，simB三C=4 AB=5,AC=8, .AB=10.由勾股定理，得BC=√AB-AC=√10-82=6，.BD=BC-CD=6- 2=4;(2)在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√AC+DC=√8+2=2√I7, m∠DaC-品2行=‘2第，过点B作D1AC,垂足为n曲 意，得∠BAC=25°+25°=50°，∠BCA=70°-25°=45.在Rt△ABD中，AB=4km, sinp、BD。BAD=A,.BD=ABs1n604入0,7f=3.08(km).4n AB·c0s50≈4X0.,64=2.56(km）.在R△BDC中，an∠BCA=0:CD=aB0 =3.08(km),.AC=AD十CD=2.56十3.08≈5.6(km),∴.小宇家A到劳动基地C的 距离AC约为5.6km.23.解：延长BA交PQ于点C.由题意，得BC⊥PQ,BC= 50m,PQ=25m.在Rt△BCQ中，∠CQB=45°，∴.CQ=BC=50m,∴.PC=PQ+CQ= 25+50=75(m.在R△ACP中，∠APC=23,an∠APC-A瓷，AC=PC1m23 ≈75×0.42=31.5(m),.AB=BC-AC=50-31.5=18.5(m).答：北山石塔AB的高 度约为18.5m. 24.解：如图 过点E作EM⊥AB于点M,作EN⊥ M中- C N BC,交BC的延长线于点N,则四边形BNEM是矩形，∴.ME=BN,EN=BM.,斜坡 CD的坡度i=1:2,∴.设EW=xm,则CN=2xm.在Rt△CNE中，由勾股定理，得 EN2十CN2=CE,即x2十(2x)2=(2√5)，解得x=2(负值舍去).∴BM=EN=2m, 第31页（共42页） CN=4m,∴.ME=BN=BC+CN=8+4=l2(m).在Rt△AME中，：an∠AEM= e,∠AEM=∠1=50.3，AM=ME·tan50.3≈12X1.2=14.4(m),AB= 十BM=14.4十2=16.4(m).答：旗杆的高度AB约为16.4m.25.解：过点A作AF ⊥DE于点F,易证四边形ABEF为矩形，.AF=BE,EF=AB=2m.设DE=xm.在 Rt△CDE中，CE=DE CEsu=6o=3xm.在△AD中’·BC5'AB= 2m,BC=25m.在R△AFD中，：DF=DE-EF=(x-2)mAF=an∠DAF DF =m品-5r-2mA=E=Bc+E=(5+9)m5-2》=25+ 号2解得x=6.答：树DE的高度为6m26.解：10厅2)256③)设点D E,F,如图②.北 3 由题意，得∠APB=180°-45°-60°=75°，PE∥AB, 东 60 ∴.∠APF=∠A=60°，∠EPB=∠B=45°.在Rt△APD中，∠A=60°，AP=50 n mile, smA-器msA-0:PD=AP.n60=50X号=255amie,AD=AP cos60°=50Xz=25(n mile).在Rt△BDP中，∠BPD=∠PBD=45,DP=BD= AB n milc.::AB=AD+BD=(25+25J3)n mile. 50 2陆n5 4 第二章综合评价 1.B2.B3.C4.D5.A6.C7.D8.D9.B10.C11.C12.B13.y= (x-6)2-3614.y=3(x-3)+215.三16.2117.=-60x2+1080x+16800 18.②④19.解：(1)当x=0时，y=c=9,c的值为9；(2)由(1)，得抛物线的函数表 达式为y=x2-4x十9.当x=3时，y1=9-4×3+9=6;当x=4时，y2=16-4×4+9 =9.,6<9,∴y1<y2,20.解：(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x十2)(x-4).将 点(0，一8)的坐标代入表达式，得a×(0十2)×(0一4)=一8.解得a=1.故此抛物线的 函数表达式为y=(x十2)(x-4)=x2-2x-8;(2):y=x2-2x-8=(x-1)2-9,抛 物线的开口向上，对称轴为直线x=1,∴当x<1时，y随x的增大而减小；(3)：抛物 线经过(-2,0)，(4,0)两点，且抛物线开口向上，.不等式ax2十bx十c<0的解集为一2 <x<4.21.解：B(0,2),EF=OB=2.:矩形CDEF的面积为8，.DE=4,:抛 物线的顶点为A0,1)心抛物线关于y轴对称0E=DE=号X4=2.F(2,2). 设抛物线的函数表达式为y=ax+1.将点F(2,2)的坐标代入表达式，得2=a×22十 1.解得a=子·此抛物线的函数表达式为y=子x2十1.22.解：(1)由题意，得新抛物 线对应的函数表达式为y=号(x十m)+2.“新抛物线经过点(-1,4)，4=号(-1十 m)+2.解得m=3,m:=一1（舍去）.·新抛物线对应的函数表达式为y=合(x十3) 十2：(2)当x=0时，y=号×(0+3)十2=号：新抛物线与y轴的交点坐标为(0， 号)2.解：1以点0为原点，MN所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平 面直角坐标系，如图.设抛物线的函数表达式为y=a(x一h)2十k(a≠0).由题知，抛物 线过点(10,0)，以及顶点为(4,3)，∴h=4,k=3,a×(10-4)+3=0.解得a=一2 1 抛物线的函数表达式为y=一立(x一4)+3.当x=0时，y=一立×0-4十3 第32页（共42页） 号即0P=号≈1.7m实心球被掷出后脱手时距地面的高度约为1,7m:2)当工 =7时一立×1-4)十3=号.“号>1.8该名穿过实心球场地的同学没有危险。 1 24.解：(1)点P运动到终点B需要18÷2=9(s),点Q运动到终点C需要4÷1=4(s), .当点Q运动到终点C时，点P和点Q均停止运动，即O<x≤4，由题意，得PB=AB -AP=(18-2x)cm,BQ=xcm,∴Sare=号PB·BQ=号(18-2x)x=-x+9x(0 <≤4.即y=-+9x(0<x<0:(2=-+9x=-(-号)+”-1<0. 2 ·当0<x≤4时，y随x的增大而增大，当x=4时，y取得最大值，此时y=一4十9 ×4=20.故△PBQ的面积的最大值为20cm2.25.解：(1)根据题意，得y=200+ 20(50-x)=-20x+1200(30≤x≤50)，∴·y与x之间的函数关系式为y=-20x十 1200(30≤x≤50)；(2)设每天的利润为.根据题意，得=(x-30)y=(x-30)(-20x 十1200).整理，得=-20x2十1800x-36000,即=-20(x-45)2十4500.，a=-20 <0,∴.当x=45时，有最大值，最大值是4500.答：每箱礼品盒包装的芒果应定价45 元，每天可实现的最大利润是4500元.26.解：(1)已知抛物线y=一x2十bx十c与x 轴交于A(一1,0)，B(3,0)两点，将A,B两点的坐标分别代入函数表达式，得 1-1-6+c=0, -9+3b+c=0 解得=2抛物线的函数表达式为y=一十2z十3.“抛物线y 1c=3. =一x2+2x十3交y轴于点C,.令x=0,得y=3,点C的坐标为(0,3)：(2)设直线 BC的函数表达式为y=mx十n.将点B(3,0),C(0,3)的坐标分别代入表达式，得 3十n= 0解得m,1:直线BC的函数表达式为y=一x十3.：抛物线y=一x n=3. n=3. +2x十3的对称轴为直线x=1,.点E,F关于直线x=1对称.点E在线段OC上， .点E到对称轴的距离为1，EF=2,∴.点F的横坐标为2.将x=2代入y=一x十3， 得y=一2十3=1，.F(2,1):(3)△BOQ能为等腰三角形.理由如下：如 答图.M(2t,0),MN⊥x轴，.Q(2t,3-2t).·△BOQ为等腰三角形， .分三种情况讨论：①当OQ=BQ时，QM⊥OB,.OM=MB,.2t= OM 3-2t=是.②当B0=BQ时，在R△BMQ中，易得∠0BQ=45, 答图 .BQ=2BMB0=2BM,即3=2(3-2)，.t=6-3E.③当0Q=OB时，则点 4 Q,C重合，此时t=0,而>0，故不符合题意，综上所述，：的值为子或8- 4 期中综合评价 1.A2.B3.A4.A5.C6.D7.B8.D9.A10.B11.B12.C13.105 14.215.1,016.10517.118(号，0）19解：1)原式=-2×分-厄 ×号-3-1-1=1：2)原武=1+厄-2×号+4=1+区-+4=5.20.解：CD 1AB∠CDA=90snA=号CD=4mA-0-花=合AC=6.在 Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√JAC-CD=√-4F=3,∴BD=AB-AD=5 32,tamB品号2.21.解：i=am∠DBC-E=有=9.∠D0 =30.:DE=10m,DC=号DE=5m:四边形ABCD为矩形，AB=CD=5m, 斜孩AF的按度为：=1：4品=子，BF=4B=4X5=20(m.在R△ABF 中，由勾股定理，得AF=√AB2十BF严=√52+20=5√17≈20.62(m).答：斜坡AF 的长度约为20.62m.2.解：1：y=-x-6=(x-x+寸-)-6= (-)-空∴抛物线的顶点坐标为（分，-克）：(2)令2-x-6=0,解得1 第33页（共42页）