陕西西安中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试题

西安中学2025-2026学年度第一学期期末考试 高二数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 命题人：薛恒 1、 选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 2.已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B． C． D．4 3.等差数列的前项和为，若，则的值是 A． B． C． D． 4.如图1，在平行六面体中，，，，点M为线段的中点，则（   ） A． B． C． D．图1 5.若函数在时取得极小值，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 6.等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 7.已知是圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形的外接圆的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8.已知函数，，若恒成立，则a的取值范围为(     ) A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题4分共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.） 9.等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 的公差为2 B. C. 的最大值为32 D. 使得的的最大值为11 10.已知圆的圆心为，抛物线的焦点为，准线为，动点满足，则（ ） A．曲线与有两个不同的公共点 B．点的轨迹为椭圆 C．的最大值为 D．当点在上时， 11.如图2，在棱长为2的正方体中，点为的中点，且点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若点与重合，则， B. 若平面，则图2 C. 存在唯一的点使得平面 D. 若，，则点到平面的距离为 三、填空题：(本题共3小题，每小题4分，共12分) 12.若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ． 13.如图3，在正三棱柱中，若， 则点C到直线的距离为          . 14.已知数列、满足，，，设数列的前项和为，若存在使得对任意的都成立，则正整数的最小值为 ．图3 四、解答题：(本题共5小题，共52分．应写出文字说明、证明过程演和算步骤．) 15．（本小题满分8分） 已知函数，且曲线在点处的切线为l，直线m平行于直线l且过点. （1）求出直线l与m的方程； （2）指出曲线上哪个点到直线m的距离最短，并求出最短距离. 16．（本小题满分10分） 已知数列 的首项 且满足 （1）求证: 是等比数列； （2）求数列 的前n项和 17．（本小题满分10分） 如图4，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 18.（本小题满分12分）图4 已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)当且时，判断与的大小，并说明理由． 19.（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率. (1)若椭圆过点，求椭圆的标准方程. (2)若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设. ①求； ②记，求数列的前项和. 高二年级 数学试题 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $西安中学2025-2026学年度第一学期期末考试 高二数学试题 (时间：120分钟 满分：100分) 命题人：薛恒 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题給出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.椭圆3x2+y2=1的离心率是（) A.2 B.V3 c. D.6 3 2 3 2.已知点B是点A(2,3,1)在坐标平面Oy内的射影，则O=() A.5 B.√10 C.√13 D.4 3.等差数列{a}的前n项和为Sn,若a+a,+a2=30,则S3的值是 A.130 B.65 C.70 D.75 4.如图1，在平行六面体ABCD-AB,CD中，AB=a,AD=b,AA=c,点M为 线段AC的中点，则AM=() D a+5- A 2 c. za+-b-3c D.a+6-1c 222 2 图1 5若函数f)=4 e 一在x=2时取得极小值，则f(x)的极大值为(） e A. B.1 C. D.e 8 高二年级数学试题第1页共4页 6.等比数列{a}的前n项和为Sn,若S。:S,=3:1,则S。:S,=() A.4:1 B.6:1 C.7:1 D.9:1 7.已知P是圆x2+y2+2x-15=0上一动点，过点P作圆C:x2+y2-2x=0的两条 切线，切点分别为A、B,则四边形PACB的外接圆的面积的最大值为() A.8π B.9元 C.16π D.36元 8.已知函数f(x)=ax-2a,g(x)=e,若f(x)<g(x)恒成立，则a的取值范围为 () A.(0,e3) B.[0,e) C.[0,e3] D.(0,e3] 二、选择题（本题共3小题，每小题4分共12分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.) 9.等差数列{a}的前n项和为Sn,若S2=So,a=3,则() A.{a}的公差为2 B.Sa,=27 C.Sn的最大值为32 D.使得Sn>0的n的最大值为11 10.已知圆C:(x+2)+y2=4的圆心为E,抛物线C,:y2=8.x的焦点为F,准线为1， 动点P满足PE+PF=6,则() A.曲线C与C,有两个不同的公共点 B.点P的轨迹为椭圆 C.PF的最大值为5 D.当点P在l上时，P=2 11.如图2，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，点O为BD的中点，且点P满 足BP=BC+uBB,则下列说法正确的是() A.若点P与C重合，则2=2，=2 B.若DP/平面ABD,则2+u=1 高二年级数学试题第2页共4页 图2 C.存在唯一的点P使得OP⊥平面ABD D.若=1，从-行，则点P到平面AD的面离为5 三、填空题：（本题共3小题，每小题4分，共12分） 12若函数)--+ar+4的单调递减区间恰为-14，则实数a的值为 13.如图3，在正三棱柱ABC-AB,C1中，若BB=√2AB=22, B 则点C到直线AB的距离为 14.已知数列{a.}、{c,}满足a=1,a1=2a.+1,c.(2n+1)2n+3) B 图3 设数列c,}的前n项和为T,若存在m使得T,>】对任意的n∈N都成立，则正整 数的最小值为 四、解奢题：（本题共5小题，共52分.应写出文字说明、证明过程演和算步骤.） 15.(本小题满分8分) 己知函数f(x)=4x2,且曲线y=f(x)在点(1，f①)处的切线为1，直线m平行 于直线1且过点(0，-6). (1)求出直线1与m的方程； (2)指出曲线y=f(x)上哪个点到直线m的距离最短，并求出最短距离. 16.(本小题满分10分) 已知数列{a}的首项4=6，且满足a1+21=4a. (1)求证：{a-2}是等比数列： (2)求数列{an}的前n项和S. 高二年级数学试题第3页共4页 17.(本小题满分10分) 如图4，在正四棱柱ABCD-AB,CD1中，AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D分别 B 在棱AA,BB,CC1,DD上，AA=1,BB2=DD,=2,CC2=3. A (1)证明：B,C2∥AD2; B (2)点P在棱BB上，当二面角P-A,C2-D2为150°时，求B,P. D 18.(本小题满分12分) 图4 已知函数f(x)=,其中a≥0. (I)求f(x)的单调区间： (2当<且名x>0时，判断f(5)一)与-的大小，并说明理由. 19.(本小题满分12分) 已知椭园：+y a+6=(a>b>0)的离心率e=V2 (1)若椭圆E过点(2，√2)，求椭圆E的标准方程 (2)若直线l,12均过点P(Pn,0)(0<Pn<a,n∈N)且互相垂直，直线l1交椭圆E 于A,B两点，直线I,交椭圆E于C,D两点，M,N分别为弦AB和CD的中点，直线 MN与x轴交于点Q(4,0),设卫.=3 1 ①求tn: ②记a.=Pg,求数列 的前n项和Sn 高二年级数学试题第4页共4页 西安中学2025-2026学年度第一学期期末考试 高二数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题3分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A C D C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题4分． 题号 9 10 11 答案 BD BC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题4分． 12. −4 13. 14. 5 四、解答题：本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分8分） 解：（1），，， 直线l的方程为，即. 直线l平行于直线m，. 直线m的方程为，即. （2）最短距离即为l与曲线的切点到直线m的距离， 即. 16．（本小题满分10分） 解：（1）因，则， 又，所以， 从而，则是以为首项，公比为4等比数列. （2）由（1）可得：. 则 17． （本小题满分10分） 解：（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 如图，则， ，， 又不在同一条直线上，. （2）设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得，， 设平面的法向量， 则， 令 ，得，， ， 化简可得，，解得或，或，. 18． （本小题满分12分） 解：（1）的定义域为，且． 令，得．与的情况如下： - - 0 + 所以的单调递增区间为；单调递减区间为和． （2）当且时，，证明如下： 令，则． 设，则． 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 从而，即． 所以的单调递增区间为和． 当时，，即； 当时，，即． 综上，当且时，． 19．（本小题满分12分） 解：（1）因，可得： ①， 又椭圆过点，可得 ②， 联立①，②，解得， 故椭圆的标准方程为； （2）①当直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 直线与轴重合，不符合题意，故直线的斜率均存在且不为0. 设直线的方程为， 联立，消去，整理得：， 因直线交椭圆于两点，则，且，则， 因直线的方程为，同理可得：， 因三点共线，则，即， 易知，则， 因，则； ②结合①可知，则 ， 因，则数列是首项为9，公比为3的等比数列， 所以数列的前项和为. 高二期末考试数学参考答案 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 西安中学2025-2026学年度第一学期期末考试 高二数学答题卡 考场/座位号： 准考证号 姓名： 班级： [o] [o] [o] [0] [o] [o] [o] [o] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] ▣8▣ [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] 4] [4 [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] 正确填涂■缺考标记☐ [8] [8] [8 [8] [8J [8j [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题(18为单选题：9~11为多选题) I[A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][c][D] 10[A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11 [A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 填空题 12. 13. 14 解答题 15 囚▣■ ■囚囚 91 ■ ■ 0 S 囚■囚 ■ 0 0 0 0 8I ■ 19. 囚■囚 请勿在此区域作答或 者做任何标记