河南方城县第一高级中学2025-2026学年高一上学期1月第4次周测数学试题

2025-2026学年高一上学期1月第4次周测数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集，集合，则为（   ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．2023年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏．据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上，有种半衰期在万年以上．已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数，且．当时，；当时，．则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（ ）（参考数据：） A．33年 B．43年 C．53年 D．63年 5．若是方程的两个实根，则ab的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 6．第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 7．函数，，则图象为如图的函数可能是（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列选项正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是5 C．若，且，则的最小值是4 D．若，且，则的最小值是4 10．已知定义在上的函数满足对任意的，，均有，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．是减函数 D．的解集是（0，1） 11．设函数，已知在单调递增，下列结论正确的是（    ） A．的值可能为1 B． C．若在有且仅有1个零点 D．若在单调递减 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则的值为 ． 13．函数的定义域为 . 14．已知函数，若函数，则的所有零点之积为 ；方程有三个不同的解，则实数的范围为 . 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知向量，且. (1)求向量； (2)若，求向量的夹角的正弦值. 16．已知函数，图象的一个对称中心为，一条对称轴方程为. (1)求； (2)若，求满足条件的值的和. 17．“中老铁路”于2021年12月3日通车，玉溪作为中老铁路上的重要节点，从玉溪前往老挝，实现了朝发夕至．据悉，从玉溪到西双版纳的高铁，发车时间间隔t（单位：小时）满足，经统计在某一时段，高铁载客量与发车时间间隔t相关，当时高铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2小时时载客量为560人，记高铁载客量为． (1)求的解析式； (2)若该时段这趟高铁每小时的净收益为（千元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每小时的净收益最大？ 18．若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知． (1)试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由； (2)若，求的最小值； (3)设函数，求证：在其定义域内有且仅有两个零点． 19．已知为上的奇函数. (1)求的值； (2)试判断的单调性（不用证明），若恒成立，求的取值范围； (3)若在上有两个根，求的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年高一上学期1月第4次周测数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B C B D B ABD ABD 题号 11 答案 ABC 1．C 【分析】根据补集、交集的定义求解即可. 【详解】由，，则， 又，则. 故选：C 2．D 【分析】根据全称命题的否定书写即可得结论. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 3．A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合正弦函数的性质判断得解. 【详解】由，得；反之当时，或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．B 【分析】根据已知两组值求出，得到关系式，再代入求解. 【详解】由题意得，解得，所以， 当时，得，即， 两边取对数得，所以， 故选：B. 5．C 【分析】由韦达定理及对数的运算法则即可得解. 【详解】因为是方程的两个实根， 故由韦达定理可知，， 即，得. 故选：C. 6．B 【分析】由及诱导公式将条件化为，求得，再结合角所在的象限及同角三角函数关系求得. 【详解】由及诱导公式可得，， 所以，又为第二象限角，所以. 故选：B. 7．D 【分析】根据给定的图象，利用特值排除AB；利用单调函数的定义确定在上单调性判断CD. 【详解】观察图象知，函数图象过原点， 对于AB，，，不符合题意，排除AB； 对于C，，任取，， 则，即， 因此函数在上单调递增，C不符合题意，排除C，D符合. 故选：D 8．B 【分析】建系设，应用数量积的坐标运算得出，最后应用两角差的正切公式计算求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，则，． 设，则，，故，． 所以，当时，取得最大值， 此时． 故选：B． 9．ABD 【分析】对于ABC：直接利用基本不等式运算求解即可；对于D：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】对于选项A：因为有意义，故，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是2，故A正确； 对于选项B：因为，解得， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是5，故B正确； 对于选项C：若，且， 因为，即，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是8，故C错误； 对于选项D：若，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是4，故D正确； 故选：ABD. 10．ABD 【分析】令，求得，可判定A正确；令，求得，可判定B正确；令且，证得，结合为奇函数和，可判定C不正确；分和，求得不等式的解集，可判定D正确. 【详解】由函数满足， 对于A，令时，可得，可得，所以A正确； 对于B，令时，，可得， 所以函数为奇函数，所以B正确； 对于C，由，可得 令且，可得， 所以， 因为当时，，可得，即 所以函数在上为单调递增函数， 又因为为奇函数，所以在上为单调递增函数，且， 但函数在上为单调递增函数，所以C不正确； 对于D，由不等式， 当时，，则满足，解得； 当时，，则满足，此时解集为空集， 所以不等式的解集为，所以D正确. 故选：ABD. 11．ABC 【分析】首先根据单调性求的取值范围，判断A；再代入，结合的范围，即可判断B；根据，求的取值范围，再求的范围，即可判断C；根据的取值，结合的范围，取特殊值，即可判断选项. 【详解】设，， 当时，时，， 因为函数在单调递增，而单调递减， 所以需落在的减区间， 不可能是函数的减区间，故舍去； 当时，当时，， 由题意可知，， 所以，解得，故A正确； ，由，则， 此时，故B正确； ，由，则， 因为，所以，此时， 当时，，， 此时只有当时，，故C正确； 由以上可知，，当时，， 当时，，此时单调递减，单调递增， 所以不成立，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求，并整体代入求的范围. 12． 【分析】应用二倍角余弦公式化简结合弦化切计算求解. 【详解】由题意有. 故答案为：. 13． 【分析】由对数函数定义域，正切函数图象性质求解即可. 【详解】由题意，即， 由正切函数图像性质可得， 则定义域为， 故答案为：. 14． 1 【分析】根据题意函数的零点即方程的根，作出函数的图象，数形结合求解；方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点，求出曲线过原点的切线斜率，数形结合求解. 【详解】由题，函数的零点即方程的根，作出函数的图象，如图， 与的图象共4个交点，从右到左依次是， 当时，，则，得，故，即， 同理，可得， 所以，即的所有零点之积为1. 作出函数的图象如图， 方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点， 当时，，则，设切点为， 所以曲线过原点的切线斜率，解得， 所以曲线过原点的切线斜率， 要使得与的图象有三个不同的交点，则，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为：1，. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示，列出方程，求出参数，求出结果； （2）根据向量加法的坐标表示，和向量夹角的余弦值的坐标表示，求出向量夹角的余弦值，根据同角三角函数关系，求出正弦值. 【详解】（1）因为，且， 所以，. 解得， 所以； （2）设向量的夹角的大小为，. 由题意可得，，， 所以，得. 16．(1) (2)792 【分析】（1）根据整体代换法求对称轴、对称中心建立关于和的方程组，解之即可； （2）由（1），求得，由，得，结合等差数列的定义和前项求和公式计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，消去解得， 令，则，因为， 则，解得， 而，故，所以. （2）由（1）知，代入，得， 所以，因为， 故，解得，而，故， 则值是首项为，公差为6的等差数列的前16项，设这16项的和为， 则. 17．(1) (2)6小时 【分析】（1）由题意设减少的人数为，根据题意求出，写出各段函数的解析式即可得到答案； （2）由（1）知，结合基本不等式和函数单调性求分段函数的最大值即可. 【详解】（1）由题意设减少的人数为， 由题意得，其中为常数， 因为发车时间间隔为2小时时载客量为560人，所以， 解得， 所以 （2）由得， 即， ①当时， ，当且仅当等号成立， ②当时， 在上单调递减，当时Q取最大值， 综上，当发车时间间隔为小时，该时段这条线路每小时的净收益最大，最大为120千元. 18．(1)、是；不是，理由见解析 (2)12 (3)证明见详解 【分析】（1）结合函数新定义逐个判断即可； （2）由（1）结合，得到，再结合基本不等式即可求解； （3）确定在上单调递增，在上单调递增．根据零点存在性定理可得函数在上有且只有一个零点，再结合可判断在存在一个零点，即可. 【详解】（1）， 所以是“好玩函数”． ， 所以是“好玩函数”． 由，则或，而， 当或时无意义， 所以不是“好玩函数”． （2）因为， 所以在上单调递增， 由（1）知，，所以， 又，所以， 所以． ， 当且仅当即时等号成立． 所以，的最小值为12． （3）因为， 在上单调递增，在上单调递增． 又， 由零点存在性定理知，， 所以在上有且只有一个零点． 又 所以是“好玩函数”，， 所以， 故也是的零点， 所以在和各有一个零点， 即在定义域内有且只有两个零点． 19．(1) (2)为上的单调递增函数， (3). 【分析】（1）利用求出，再验证即可； （2）首先判断为上的单调递增函数，再移项转化得，最后分离参数求解最值即可； （3）利用换元法，再分离参数得有解，再利用对勾函数的性质求解右边值域即可. 【详解】（1）因为为上的奇函数，则，即，. 此时，则，则为奇函数. （2）由（1）知，， 因为为上的增函数，且恒成立，故为上的单调递增函数， 因此， 又为上的奇函数，所以，且为上的单调递增函数， 所以，. 令，由是双勾函数性质知，在上单调递增， 所以的最小值为，所以，， 故的取值范围为. （3）由在上有解，，， 所以有解， 令， 则根据双勾函数性质知，在上单调递减，上单调递增， 要使与的图象有2个交点，则， 即，解得， 故的取值范围为. 答案第12页，共12页 答案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $