河南方城县第一高级中学2025-2026学年高一上学期1月第1次周测数学试题

2025-2026学年高一上学期1月第1次周测数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．命题“存在，使得”的否定（   ） A．不存在，使得 B．存在，使得 C．对任意的，都有 D．对任意的，都有 3．某工厂甲、乙、丙三个车间，生产了同一种产品，数量分别为件、件、件，为了解各车间的产品是否存在显著差异，按车间分层抽样抽取一个样本进行检测．若在甲、乙两车间共抽取了件，在乙、丙两车间共抽取了件．则（    ）． A． B． C． D． 4．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 6．甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为．若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，则的图象（    ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于直线对称 8．若函数在区间恰存三个零点，两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若函数，则下列选项中正确的是（   ） A．的值域是 B．是偶函数 C．在区间上是增函数 D．若，则 10．，则下列命题中正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在下列四个数：①，②，③，④中，最大的数是 .（填写序号） 13．圆心角为1弧度的扇形弧长为，则扇形的面积为 14．若函数，在上单调递减，则a的取值范围是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知集合，. (1)当时，求，； (2)若，写出C所有子集. 16．体育锻炼有助于学生全面发展，为研究某市学生体育锻炼时长，随机抽取了100名学生进行调查，并绘制频率分布直方图如下： (1)估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数; (2)若规定“日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生”， （i）采用分层抽样抽取8人，再在这8人中随机抽出3人，记抽到运动积极型学生人数为Y，求Y的分布列和数学期望; （ii）现从样本中有放回地抽取n次，每次抽取1人，若希望至少抽到1名运动积极型学生的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：） 17．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； (2)假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 18．已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并用单调性定义证明； (3)若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围． 19．已知函数. (1)若，求该函数在上的最大值和最小值； (2)求该函数在上的最小值； (3)若该函数在区间上的最大值为4，求实数m的值. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年高一上学期1月第1次周测数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B B A C A ACD BC 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】化简集合，根据交集的概念求解. 【详解】因为集合， 所以， 故选：B. 2．D 【分析】利用特称命题的否定规则求解即可. 【详解】由特称命题的否定规则得原命题的否定为： 对任意的，都有，故D正确. 故选：D 3．D 【分析】根据分层抽样的定义及性质直接计算. 【详解】由分层抽样可知， 解得， 故选：D. 4．B 【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围. 【详解】函数的对称轴为， 由于在上是减函数，所以. 故选：B 5．B 【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间. 【详解】因为均为上的增函数，故为上的增函数， 而，， 故的零点所在的区间为， 故选：B. 6．A 【分析】根据给定条件，求出常数和，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可得， 乙的常数正确，由韦达定理可得， 所以原不等式为，解得， 所以解集为，故A正确. 故选：A. 7．C 【分析】根据对称性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】AB选项，，所以AB选项错误. C选项，，， 所以的图象关于点对称，C选项正确. D选项，，所以D选项错误. 故选：C 8．A 【分析】由的取值范围求出，再结合题意及正弦函数的性质得到，解得即可. 【详解】当，则，， 依题意可得，解得， 即的取值范围是. 故选：A 9．ACD 【分析】作出函数的图象，结合图象判断ABC；根据函数解析式求解判断D. 【详解】作出函数的图象，如图，    由图可知，的值域是，是非奇非偶函数，在区间上是增函数， 故AC正确，B错误； 对于D，当时，由，解得（舍去）； 当时，由，解得（舍去）或， 综上所述，，故D正确. 故选：ACD 10．BC 【分析】赋值法可判断AD；利用在上为增函数可判断B；由不等式性质可判断C. 【详解】对于A，取，有，但显然，故A错误； 对于B，在上为增函数，又因为，所以，故B正确； 对于C，由，可得，故，所以，故C正确； 对于D，当，有，但，故D错误. 故选：BC. 11．ABC 【分析】利用基本不等式和基本不等式等号成立的条件判断ACD，利用乘“1”法判断B. 【详解】选项A：因为，所以，当且仅当，即，时取等号， 所以有最大值为，A说法正确； 选项B：， 当且仅当，即，时取等号， 所以有最小值为，B说法正确； 选项C：因为，所以， 结合A中结论可得，当且仅当，时取等号， 所以有最小值为，C说法正确； 选项D：因为，当且仅当，即，时取等号， 与是正实数矛盾，D说法错误； 故选：ABC 12．④ 【分析】根据幂的运算法则，结合指数函数的单调性判断它们的大小. 【详解】因为，，，， 所以最大. 故答案为：④ 13．1 【分析】根据弧长公式得出扇形的半径，即可根据扇形的面积公式得出答案. 【详解】圆心角为1，弧长为， 所以扇形的半径为：， 即扇形的面积为：， 故答案为：1. 14． 【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，在上单调递减， 所以解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 15．(1)，； (2). 【分析】（1）应用列举法表示出集合，再应用集合的并、补运算求集合； （2）应用列举法表示出集合，再写出其所有子集即可. 【详解】（1）由题设，， 所以，； （2）由，其所有子集为. 16．(1)分钟 (2)（i）分布列见解析，；（ii）3次 【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的定义运算求解即可； （2）（i）根据分层抽样求各层人数，结合超几何分布求分布列和期望； （ii）根据独立重复实验的概率可得，结合对数运算求解即可. 【详解】（1）由题意可得这100名学生日均体育锻炼时长的平均数为：直方图中每个小矩形底边中点乘以每个矩形面积的和， 即（分钟）. （2）（i）由直方图可得日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生占的比例为， 分层抽样抽取的8人中运动积极型学生有人，其他2人， 由题意可知：Y的可能取值有1，2，3， 则，，， 故Y的分布列为 Y 1 2 3 P 所以数学期望； （ii）由题意可知：每次抽到1名运动积极型学生的概率为， 可得，即， 两边取对数可得，即， 可得， 故至少需抽3次. 17．(1) (2)甲 【分析】（1）利用事件的相互独立性即可求解； （2）根据已知条件分别写出甲或乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的分布列和数学期望，再进行比较大小即可判断. 【详解】（1）第一阶段甲次都未中的概率为， 所以进入第二阶段的概率为， 乙得分不少于分的情况包括乙投中次或次， 投中次的概率为，投中次的概率为， 所以乙得分不少于分的概率为， 因为两个阶段的比赛相互独立， 所以甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； （2）若甲参加第一阶段的比赛，设甲、乙所在队的比赛成绩为， 则的取值为， 所以， ， ， 所以 ； 若乙参加第一阶段的比赛，设甲、乙所在队的比赛成绩为， 则的取值为， 所以， ， ， 所以 ； 所以， 因为，所以，，所以， 所以应该由甲参加第一阶段比赛. 18．(1)奇函数，证明见解析； (2)单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用恒等式可证明是奇函数； （2）利用定义法来证明函数单调性即可； （3）利用奇偶性和单调性转化不等式，即可利用一元二次不等式恒成立来求参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 由， 可得，所以是奇函数； （2）令，则， 因为，所以，即， 则当时，有，所以在上单调递减； （3）因为是奇函数，所以不等式， 又因为在上单调递减，所以， 由于不等式对一切恒成立， 所以，解得， 故实数k的取值范围是. 19．(1)最大、最小值分别为； (2)答案见解析； (3)或. 【分析】（1）由二次函数的单调性计算求解； （2）结合二次函数的对称轴和单调性分类讨论可得. （3）利用二次函数的性质，分对称轴的不同位置分类讨论列式计算求解； 【详解】（1）当时，，易知函数在上单调递增， 当时，函数取最小值；当时，函数取最大值； （2）开口向上，对称轴， 当，即时，函数在上单调递增，当时取最小值为； 当，即时，函数在上单调递减，当时取最小值为； 当，即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增， 当时取最小值为； 综上， 当时，函数在上的最小值为， 当时，函数在上的最小值为， 当时，函数在上的最小值为. （3）由题意可得函数，对称轴为，且二次函数开口向上， 当时，函数在上单调递增，当时取最大值为，解得，舍去； 当时，函数在上单调递减，当时取最大值为，解得，舍去； 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增， 当或时取最大值为或，解得或. 综上所述：实数的值为或. 答案第4页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $