第四章因式分解同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第四章因式分解 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 2．多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．8 4．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．是下列哪一个多项式分解因式后所得的结果（    ） A． B． C． D． 6．下列各式中，从左到右因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（　　） A． B．0 C． D． 8．已知，那么代数式的值是（    ） A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001 9．下面是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 10．下列多项式中，能分解因式的是（   ） A． B． C． D． 11．若，则的值为（   ） A． B． C． D．6 12．已知是的三边长，则的取值为（   ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．非负数 二、填空题 13．若，则的值为 ． 14．若，则代数式的值等于 ． 15．分解因式： （1） ； （2） ． 16．分解因式： ． 17．把多项式因式分解，结果为 ． 三、解答题 18．找出的公因式． 19．因式分解： (1)（x+3y）2－x－3y (2) 20．将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解． 21．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式 ②若，利用配方法求M的最小值： ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______． (2)若，求M的最小值． (3)已知，求的值． 22．因式分解： (1)． (2)． 23．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．将下列各式因式分解： （1）ab2﹣9a （2） 《第四章因式分解》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B C D A B A D 题号 11 12 答案 C C 1．A 【分析】根据多项式的公因式的确定方法，即可求解． 【详解】解：多项式的公因式是． 故选：A． 【点睛】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 2．D 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【详解】， ∴是公因式， 故选：D． 【点睛】本题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“−1”． 3．C 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法等知识．等式右边利用多项式乘以多项式法则，将化简成形式即可解题． 【详解】解： ， ，， 故选：C． 4．B 【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】A. 化为分式的积，不是因式分解，故该选项不符合题意； B. ，是因式分解，故该选项符合题意； C. ，不是积的形式，故该选项不符合题意；     D. ，不是积的形式，故该选项不符合题意； 故选B 【点睛】本题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 5．C 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解，根据平方差公式计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 6．D 【详解】A. ，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意； B. ∵，∴原因式分解不正确，故此选项不符合题意； C. ，从左到右的变形是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意； D. ，从左到右的变形，是因式分解，故此选项符合题意． 故选D． 7．A 【分析】首先根据，可得：，据此求出m、n的值各是多少，然后代入即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， 解得：，， ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，熟练掌握解题的方法是解题的关键． 8．B 【分析】先将化为，再将转化为，再将代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查代数式求值、提公因式法分解因式，利用整体代入求解是解答的关键． 9．A 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、符合因式分解的定义，故此选项符合题意， B、是整式乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意， C、，分解错误，故此选项不符合题意， D、，分解错误，故此选项不符合题意， 故选：A． 10．D 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据因式分解的意义求解即可，利用因式分解的意义是解题的关键． 【详解】解：A、 是平方和，无法分解，不符合题意； B、，无法分解，不符合题意； C、，无法分解，不符合题意； D、，符合平方差公式，分解为，符合题意； 故选：D． 11．C 【分析】此题考查了因式分解和整式混合运算，根据题意求出，，即可求出的值． 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴解得， ∴．即 ∵ ∴ 解得 故选：C． 12．C 【分析】将原式因式分解，利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）判断各因子的正负，从而得出表达式的符号． 本题考查了因式分解，三角形三边关系定理，有理数的乘法，熟练掌握因式分解，三边关系定理是解题的关键． 【详解】解： ， ∵是的三边长，   ∴ ，，，， ∴， ∴， 故， 故选：C． 13．25 【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的公式法是解题的关键． 先利用完全平方公式化简，再利用完全平方公式进行因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：， 当时，原式， 故答案为：． 14．4 【分析】直接利用已知代数式将原式得出x+y=2，再将原式变形把数据代入求出答案． 【详解】解：∵x+y-2=0， ∴x+y=2， 则代数式x2+4y-y2=（x+y）（x-y）+4y =2（x-y）+4y =2（x+y） =4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了公式法的应用，正确将原式变形是解题关键． 15． 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键． （1）先提取3，再利用完全平方公式进行分解； （2）先提取，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 16． 【分析】直接提取公因式，再用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法和平方差公式分解因式，正确找出公因式和熟练掌握平方差公式是解题的关键． 17． 【分析】直接提取公因式x，进而利用十字相乘法分解因式得出答案． 【详解】解： ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确应用公式是解题关键． 18． 【分析】本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键．根据公因式的定义求解即可得． 【详解】解：系数取3和6的最大公约数3，字母取相同的字母．指数取相同字母的最低次数，的最低次数是1． 所以的公因式为． 19．(1)（x+3y）（x+3y－1）； (2) 【分析】（1）用提取公因式进行因式分解． （2）先用平方差公式进行因式分解，后用完全平方公式进行因式分． 【详解】（1）（x+3y）2－x－3y ＝（x+3y）2－（x＋3y） ＝（x+3y）（x+3y－1） （2） = = 【点睛】此题考查了因式分解，解题关键是会用提取公式法和公式法进行因式分解． 20． 【分析】一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，长方形的面积为：x2+3x+2，拼成长方形的长为（x+2），宽为（x+1），由此画图解决问题． 【详解】 解：拼接如图： 长方形的面积为：x2+3x+2，还可以表示面积为：（x+1）（x+2）， ∴我们得到了可以进行因式分解的公式：x2+3x+2=（x+1）（x+2）． 故答案是：x2+3x+2=（x+1）（x+2）． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法和数形结合是解本题的关键． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式的结构即可求解； （2）类比例题求M的最小值即可； （3）先根据完全平方公式因式分解，然后根据非负数之和为0，求得的值，继而即可求解． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：． （2）解： ∵， ∴当时，有最小值为； （3）解： ， 即， ∴， 解得：， ∴ 【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用及偶次方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键． 22．(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解方法：提公因式法和公式法是解题的关键． （1）先提公因式3，再用平方差公式分解即可； （2）先用平方差公式分解，再提公因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 23．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． （1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）利用平方差公式进行因式分解即可； （3）利用平方差公式进行因式分解，再合并同类型即可； （4）利用平方差公式进行因式分解，再合并同类型即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 24．（1）；（2）． 【分析】（1）首先提取公因式a，再由平方差公式进行因式分解； （2）先整理式子，再利用由平方差公式因式分解，最后利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式法及公式法进行因式分解． 学科网（北京）股份有限公司 $