第1章 直角三角形的边角关系综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）江西专版

第一章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 的 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2,BC=1,则sinA的值为 N.2 B.⑤ 3 C.2 D.2 超 B B B O (第1题图) (第3题图) (第4题图) 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,cosB= 则BC的长为 A.4 B.2√21 C.√21 D.3 3.如图，为方便行人过天桥，市政府在10m高的天桥两端修建斜道，设计斜坡AC的坡度i=1：3,则 斜坡AC的长度是 ( ) A.30m B.10√J10m C.40m D.20√5m 4.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上.若点A的坐标为(0,3)， tan∠ABO=√5，则菱形ABCD的周长为 ) A.6 B.6√3 C.12√3 D.8√3 5.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C都在格点上，直线AB与直线CD相交于 点O.若∠DAO=∠BCO,则tan∠ADC的值为 ) . .3 C.1 D. 2 B D (第5题图) (第6题图) (第8题图) (第10题图) 6.如图，在R1△ABC中，∠BAC=90,OsB=子，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作 ! 等腰三角形ADE,使∠ADE=∠B.差接CE,则需的值为 A是 B.√3 C.5 D.2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.比较大小：sin45°tan45°.（填“<“=”或“>”） 8.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B,再以B为圆心，BO长为半径画弧， 两弧交于点C,画射线OC,则cos∠AOC的值为 9.已知在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对应边分别为a,b,c,∠C=90°，3a=√3b,则∠B的度数为 10.长为6的梯子搭在墙上与地面成60°角，作业时调整为45°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙 面降低了 m.(结果保留根号) 第1页（共6页） 1山.如图，在R△ABC中，∠ACB=90,AB的垂直平分线交AC于点E,若an∠DEA=专，BC 6,则CE的长为 C/E B (第11题图) (第12题图) 12.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E为CD的中点，点P在BE上方矩形的边上，当∠BPE=90° 时，sin∠BEP的值为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.计算： (1)(-2025)0+-1-tan45°： (2)2cos30°-2sin30°+5tan60°. 14.如图，在△ABC中，AC=5,AB=8,ADLBC于点D,CD=3,求tanB,tanC的值. 15.如图，已知两点A(2,0),B(0,4),且∠1=∠2，求tan∠QCA的值. 第2页（共6页） 16.在如图所示4×4方格中，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）. (1)在图①中作射线OB,使tan∠AOB的值等于1； (2)在图②中作射线OB,使an∠A0B的值等于2： 0 图① 图② 17.如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C,货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东 60°方向上.为了躲避A,C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它 航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20nile到达码头C.求货轮从A到B航行的距 离.（结果精确到0.1 n mile,参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192） 北 投10 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.如图，在R△ABC中，已知∠C=90,simB=号AC=8,D为线段BC上一点，CD=2. (1)求BD的长； (2)求cos∠DAC的值. 第3页（共6页） 19.如图①，这是某市的一个党建文化宣传栏，其主视图的一部分如图②所示，在图②中，∠A= 67°，∠B=90°. (1)若∠D-∠C=11°，则∠C的度数为 (2)若AD=0.8m,AB=2.2m,求点D到BC的距离.（结果精确到0.1m,参考数据：sin67°≈ 0.92,cos67°≈0.39，tan67°≈2.36) 远 党 走 CB 图① 图② 20.如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面的距离PC=2,看前方一栋建 筑物顶部点M的仰角为53°，且点P与建筑物的水平距离为20m. (1)求建筑物MN的高度（结果精确到0.1m); (2)驾驶员从点P看地面的斑马线两端A,B的俯角分别是20°和76°，若每个人所占斑马线的 宽度按0.5m计算，求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数.（参考数据：tan53°≈ 3,tan20°≈0.36，tan76°≈4 M建筑物 23 B N地面 第4页（共6页） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.如图，D是△ABC的边AC上一点，CD=2AD,AELBC,垂足为E,AE=9,Sin∠CBD=3 (1)求BD的长； (2)若BD=CD,求tan∠BAE的值. 22.在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了 浓厚的兴趣，进行了一些研究. (1)初步尝试：我们知道：tan60° ,tan30°= ,发现结论：tanA= 2tan2∠A(填“=”或“≠”)， (2)实验探究：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1,求tan- ∠A的值，小明想构 造包含？∠A的直角三角形：延长CA至点D,使得DA=AB,连接BD,所以得到∠D= ∠A,即转化为求∠D的正切值.请按小明的思路进行余下的求解，解出∠D的正切值。 (需要写出解题过程) (3)拓展延伸：如图②，在R△ABC中，∠C=90,AC-2,tanA=号求出tan2A的值. 图① 图② 第5页（共6页） 六、解答题（本大题共12分） 23.一平台前的台阶的侧面可抽象成图①，已知AB=BM=180cm,每一个踏步的宽相等且互相 平行，每一个踏步的高相等且互相平行，OP的长是踏步的宽，OQ的长是踏步的高，OP∥BM, OQ⊥BM,且PM=OP=OQ=·=AD=20cm.现要把一集装箱运上平台，为了省力可以通过 台阶架设滑板DC进行拖运，如图②，集装箱侧面可抽象成矩形EFGH.量得：EF=100cm, FG=120cm,FG可在DC上滑动，点F滑到点D处时停止.（结果精确到1cm) (1)当滑板DC=360cm时. ①∠C= ②求MC的长度. (2)如图②，由于场地限制，MC≤340cm,当点E到地面BC的距离最大时，求： ①∠C≈ ②点E到地面BC的距离. (参考数据：√3≈1.73，√2≈1.41，tan20°≈0.36，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94) AD G M 图① 图② 第6页（共6页）3.解：(1)如图，射线CD即为所求.(2)如图，直线AE即为所求 图① 图② 4.解：(1)如图，圆心O即为所求.(2)如图，点P即为所求 M 图① 图② 第三章章末复习 思维导图 <=> n元R。 nπR 180 360 R 考点整合 1B2.303.4455.C6.85°7.75°8C9.D10.号山.1)i证明：连接CE.:0M=0C-0B, ∴.∠BAO=∠OBA,∠OBC=∠BCO..'∠BAO=∠BCO,.∠BAO=∠OBA=∠OBC=∠BCO.∴.∠AOB= ∠COR.=风.：BE是O0的直径，∠BCE=90.∠E+∠0BC=90.:∠E=号∠COB,∠BCD= Z∠A0B.∠BCD=∠E.∴∠BCD+∠BC0=∠E+∠OBC=90,即∠DC0=90.0C1CD,:OC是⊙0 的半径，.CD是⊙O的切线.(2)解：，四边形ABCO是平行四边形，OA=OC,.四边形ABCO是菱形.∴.BC= OC=OB,AC1OB,0F=2OB=2OE.∴△OBC是等边三角形.∴∠B0C=60.∠E=2∠BOC=30:EF =3,∴.OF=1,OE=2..OC=2..∠DOC=60°，.CD=OC·tan∠DOC=2×tan60°=23.12.12013.90° 14.号元 综合评价答案 第一章综合评价 1.A2AB4D5A6D1.<8专960m8F-31.子12.或号或2 5 【解析】当点P在AB边上时，BP=2,BE=2V0,则sn∠BEP=;当点P在AD边上时，易得AABP △DPE小部-能设AP=x则DP=6-∴写产专解得==2.即AP=4或AN=2.BP 4E或2后.易得B防=2而，sn∠BBp2或913解：1)原式=1+1-1=1(2②)原式=2×号2X号 5 2 +5×√3=√5-1+5√3=6√3-1.14.解：：AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°.在Rt△ACD中，由勾股定理， 得AD=√AC-CD=√5-32=4.在Rt△ADB中，由勾股定理，得BD=√AB-AD=√⑧2-4=4V5. 8amB品9，amC吉15.解：0A0B∠+∠0nB=∠2+∠0cAD.ZD ∠2.∠0AB=∠0CA.A2,0,B0,0.0A=2,0B=4.tam∠0AB=8=2.am∠0CA=2 第24页（共42页） 16.解：(1)如图①，射线OB即为所求.(2)如图②，射线OB即为所求. OB 图① 图② 17.解：过点B作BD⊥AC于点D.由题意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，则∠C=180°-30°-30°-70°=50°. 在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20 n mile...BD=BC·sin50°≈20×0.766=15.32(n mile).在Rt△ABD 中，∠BAD=30°，BD=15.32 n mile...AB=2BD=30.64≈30.6(n mile).答：货轮从A到B航行的距离约为 30.6nmid18.解：(1)在R△ABC中，smB-8-素AC-8,AB=10.BC=VB-AC- √102-82=6.∴.BD=BC-CD=6-2=4.(2)在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√AC+DC=√8+2= 2c0sDAC8-28生.，I9.解：I)96(②)过点D作DE LAB,.垂是为E,过点D 17· DF⊥BC,交BC的延长线于点F.:∠B=90°，∴.四边形DEBF是矩形..DF=BE.在Rt△AED中，，cosA= AD,AE=cosA·AD=c0s67°X0.8≈0.39X0.8=0.312≈0.31(m.∴.DF=BE=AB-AE=2.2-0.31 A =1.89≈1.9(m).答：点D到BC的距离约为1.9m.20.解：(1)过点P作PQ⊥MN于Q.则PC=QN=2m, PQ=CN=20m.在Rt△PQM中，“∠PQM=90,∠MPQ=53,QM=PQ·tan53°≈20×号≈26.7(m). ∴.MN=QM+QN=28.7m.答：建筑物MN的高度约为28.7m.(2)连接PB.在Rt△PBC中，，'∠PBC=76°， BC-0-导专m.在R△APc中，：∠PAC-20.aC=0-6-号(m.aB=AC 4 BC=91 m器÷0.5=10了答：行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为10.21.解：1)过点D作 DF1BC于点.AELBC..DF/∥AE.△CDF△CAE.RE-积CD=2AD,:光=号AE=9, 0-景DF=6在R△BDF巾，m∠CBD-邵-是，即而-=景BD=8(②)由1)知DF=6,BD- 8,∠DFB=90°，∴.BF=√BD-DF2=2√7..BD=CD,DF⊥BC,∴.CF=BF=2√7..DF∥AE,CD=2AD, 4CF-2EF..EF-CF-T.4.BE-BF-EF-/T.i.ton /BAE- . 22.解：(1)55 (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1,.AB=AC+BC=√5.AD=AB,∴.∠D=∠ABD,AD= .:∠BAC=2∠D.CD=AD+AC-2+后.1am3∠A=amD=瓷=，=5-2.(3)如图，作AB的垂 DC5+2 直平分线交AC于点E,连接BE..AE=BE..∠A=∠ABE.∴.∠BEC=∠A+∠ABE=2∠A..在 R△AC中，∠C=60,AC=-2amA-号-分BC=1AB=VaCC-后.设AE=BE=,则 EC=2-,在R△EBC中，由勾股定理，得EB=EC+BC,即=(2-x)+1,解得x=是即AE=BE= 子CE=AC-AE=2-是=是.∴an2A=1am∠BEC-斧=分23.解：1①30②如答图①，过点D作 DN⊥BC,垂足为N.在Rt△DNC中，，∠C=30°，DN=AB=180cm,∴.NC=√5DN≈180X1.73= 第25页（共42页） 311.4(cm).又.MN=BM-BN=BM-AD=180-20=160(cm),..MC=NC-MN≈311.4-160≈ 151(cm).(2)①20° 答图① 答图② ②如答图②，当MC=340cm时，点E到地面BC的距离最大.此时由①知∠C≈20°.过点E作AF的垂线，交 AF的延长线于点R.易得∠FER=20°.在Rt△EFR中，：cos∠FER= FE,∴.ER=cos∠FER·EF=cos20° ×100≈0.94×100=94(cm).∴.点E到地面BC的距离为ER+FV=94+180=274(cm). 第二章综合评价 1.C2.D3.D4.B5.B6.A【解析】如图，分别过点A,C作y轴的垂线，垂足分别为点M,V.A(m, -m2+c),C(n,-n2+c),∴.AM=m,MO=-m2+c,CN=n,NO=-n2+c.易得△CDN≌△DAM(AAS), ..DM=CN=n,DN=AM=m,..MN=DM+DN=m+n..MN=NO-MO=m2-n2,..m2-n2=m+n.. （m+mm-)=m+.“m>>0,m-n=1.7.增大8.y=5(x+1)2-29.-29<y≤310.2y5 11.(4049,1)12.(2,3)或(1+5,1)或(1-√3,1)【点拨】点P为直线y=3与抛物线y=-x2+2x+3的交 点，或点P为直线y=1与抛物线y=一x2+2x+3的交点.13.解：(1)当x=0时，y=c=9,∴.c的值为9. (2)由(1)可知抛物线的函数表达式为y=x2一4x十9.当x=3时，y1=32-4×3十9=6；当x=4时，y2=42一4× 4十9=9.6<9，y1<y2.14.解：令y=0,则x2-2x十m=0.,抛物线与x轴有两个交点，∴.△=（-2)2一 4m>0,解得m<1.15.解：(1)由题意，设二次函数的表达式为y=a(x+1)2+2,把A(1,-3)代入，得-3=(1 十1)a十2，解得a=一是二次函数的表达式为y=一x+1十2(2)点A1,一3)关于对称轴对称的点N 的坐标为（一3，一3）.16.解：(1)如图①，点D即为所求.(2)如图②，点P即为所求 图① 图② 17.解：(1)当每盒书签的售价为x元(x>40)时，销售量为200一5(x一40)=-5.x十400.由题意，得y=(x一30) (-5.x+400)=-5.x2+550x-12000.(2)由(1)整理，得y=-5(x-55)2+3125..-5<0,.当x=55时，y有 最大值3125.答：当售价定为55元/盒时，月利润最大.最大月利润是3125元.18.解：(1)由题意知，抛物线的 顶点为(5,3.2)，且过点P(0,0.7).则抛物线的函数表达式为y=a(x一5)2+3.2，将P(0,0.7)代人，得0.7=25 十32，解得a=0y=一红一5十32=一十x十品“抛物线的函数表达式为y=一十x十 品2)当)=1.6时。六2十品=1,6，解得=1或=9.地与爸爸的水半距离为3-1=2m)或9-3= 6(m).答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m或6m.19.解：(1)a=4,b=5.(2),点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴.设B(2,m)(m>0).设直线OA的函数表达式为y=kx.把 A(5,5)代入，得5k=5,解得=1.∴.直线OA的函数表达式为y=x.设直线OA与抛物线的对称轴交于点H,则 H(2,2.BH=m-21.:Ssms=15,Sae=SAm+5am=2BH·G-0∴7Xm-2X5=15,解 第26页（共42页）