第1章 直角三角形的边角关系(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）江西专版

第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 第1课时正切与坡度 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,则tanA的值是 B号 c D号 2.在R△ABC中，∠C-90,BC=2,anA=2,则AC的长是 A.4 B.8 C.2√5 D.4√5 3.如图，△ABC的三个顶点都在3×1的正方形网格的格点上，则tanB的值为( ) B. C.v10 5 5 B D P (第3题图) (第4题图) 4如图，正方形ABCD的边长为3，P是CD上一点.若DP=1,则tan∠BPC的值是 。 5.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD,背水坡的坡度为1：√3，已知背水坡的长AB= 10m,求拦水坝的高度. 13 ·1· 第2课时正弦与余弦 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,AB=2,则sinB的值是 ) C. D.2 B B (第1题图) (第2题图) 2.如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则cosA的值为 A.1 R号 c号 D. 3.在R△ABC中，∠C=80,若snA-号，BC=4,则AB的长为 ( ) A.6 B.4⑤ c. D.25 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3AC,则下列各式正确的是 ( ) A.sin A=10 10 B.tan A=3 C.cos B=/10 D.sin B- 1-3 5.在△ABC中，∠C=90,若sinA=,则c0sB= 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，且BC=10cm,△ABC的周长为 36cm,求∠B的正弦值. ·2· 230°，45°，60°角的三角函数值 1.2cos30°的值为 A.1 B.√2 C.√3 D.2 2.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，则tanB的值为 9 B司 C.√5 D.1 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=√3，那么∠B的度数是 A.159 B.45° C.309 D.60° 4.某森林公园一段索道的示意图如图所示，已知A,B两点间的距离为30，∠BAC=30°， 则缆车从点A到达点B上升的高度BC为 A.15m B.60m C.15√3m D.20√3m 5若1ane十15-怎则锐角a的度数为 6.计算： (1)√3tan60°+2sin45°； (2)C0s30° tan60+cos60°·tan45. 7.如图，一棵树在一次强台风中，从中间折断，倒下的部分与地面成30°角，已知树倒下后 树顶端(A)离树底端(C)的距离为5√3，则这棵树在折断前的高度是多少米？ B 77777777777 ·3· 3三角函数的计算 1.用计算器计算sin62°20的结果约是（结果精确到0.0001） A.0.8857 B.0.8856 C.0.8852 D.0.8851 2.已知cosa=0.2534,则锐角a约为 A.14.7° B.14°7 C.75.3 D.753 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=32°24'，则tanB约等于 A.1.5757 B.0.9845 C.0.7964 D.2.2057 4.如图，在斜坡屋顶的设计图中，AB=AC,屋顶的宽度1为10m,坡角a为35°，则斜坡屋 顶的高度h为 m.(结果精确到0.1m) 5.某动物园中的猴山上有一段路，每前进100m,路面就上升4m,则猴山上这段路的坡 角约为.（结果精确到1） 6.用计算器求下列各式的值：（结果精确到0.0001） (1)tan15°·cos28°-tan43°； (2)sin81°32'17"+cos38°43'47". ·4· 4解直角三角形 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7,则BC的长为 ) A.7sin35° C.7cos35° D.7tan35° 2.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=2,BC=1,那么∠A的度数是 A.30° B.45 C.60° D.75 3.如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT(PT与河岸PQ垂直)，测得PQ= 8m,cos∠PQT=专则河宽PT为 ( A.5 m B.6 m C.7.5m D.8 m B D C (第3题图) (第4题图) 4.如图，AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tanC=2,则边AB的长为 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若BC=3√2，AC=3√6，解这个直角三角形. 6.如图，在R△ABC中，∠C=90,点D是BC边上的一点，CD=6,e0s∠ADC-号， aB=号 (1)求AC的长； (2)求BD的长. ·5· 5三角函数的应用 1.如图，为了测楼房BC的高，在距离楼房10m的A处，测得楼顶B的仰角为a,那么楼 房BC的高为 ( B. 10 10 A.10tan a m -m C.10sin a m D. m tan a sin a *东 (第1题图)》 (第2题图)》 2.如图，小雅家（点O处）门前有一条东西走向的公路，测得水塔在距她家北偏东60°方向 500m的点A处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是 ( A.250m B.250√3m C.5003 3 m D.500√2m 3.如图，在高出海平面100的悬崖顶A处，观察海平面上的一艘小船B,并测得它的俯 角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC的长度为 m. 45 100m B EE= (第3题图) (第4题图) 4.如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为。，sm&=子，堤坝高BC=30m,则迎水坡面 AB的长为 m. 5.如图，长4的楼梯AB的倾斜角∠ABD=60°，为了提高楼梯的安全性能，准备重新建 造楼梯，使其倾斜角∠C=37°，求改建后的楼梯AC的长.（结果精确到0.1m,参考数 据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√3≈1.73，√2≈1.41) B ·6· 6.如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部B处的仰角为30°，看 这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高？ (√3≈1.732，结果精确到0.1m) 777777 7.如图，一艘轮船位于灯塔P北偏东37°方向与灯塔距离为200√3nile的A处，它沿 正南方向航行4h后，到达位于灯塔P北偏东60°方向的B处， (1)求此时轮船所在B处与灯塔P的距离； (2)求轮船航行的速度为多少. (结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.6，c0s37°≈0.8，tan37°≈0.75) 北 东 ·7 6利用三角函数测高 1.如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成35°的夹角.已知缆车的速度为每分钟 30m,从山脚A到山顶B需16min,则山的高度为 ( A.480sin35°m 480 B. tan35°m C.480tan35°m 480 D.- in35°m D ◇ C B (第1题图) (第2题图) 2.如图，婷婷想测量“青云塔”的高度.她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方 向前进15m至B处，测得仰角为60°，那么塔高为 m. 3.在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的 实践活动.如图，在测点A处安置测倾器，量出其高度AB=1.5m,测得旗杆顶端D的 仰角∠DBE=32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC=20.根据测量数据， 求旗杆CD的高度.（结果精确到0.1m,参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85， tan32°≈0.62) D B32.°..-E ·8·:∠BOE=180°-∠AOE=100.:AB=4,OB=2..B的长为100X2=10.(2)证明：OA=OE,∠AOE 180 =80..∠0AE=180=∠A0E=50°.·∠BAC=∠EAD-∠0AE=26.∠C=64,∠ABC=180° 2 ∠BAC-∠C=90°，即AB⊥CB.又，点B在圆上，AB为⊙O直径，.CB为⊙O的切线.14.(1)证明：，AB 是⊙O的直径，∴.∠ADB=90°..∠A+∠ABD=90°.：∠A=∠DEB,∠DEB=∠DBC,.∠A=∠DBC. ∴.∠DBC十∠ABD=∠ABC=90°，即AB⊥BC.AB为⊙O直径，∴.BC是⊙O的切线.(2)解：连接OD,过点 D作DG⊥OB于点G..BF=BC=2,且∠ADB=90°，.∠CBD=∠FBD.,OE∥BD,.∠FBD=∠OEB. :0E=0B.∠0EB=∠0BE.÷∠CBD=∠FBD=∠0BE=号∠ABC=}×90°=30，∠A=30.:0A= OD,∴.∠ODA=∠A=30°..∠BOD=2∠A=60°.易得AB=√3BC=2√3，△BOD为等边三角形.∴.⊙O的半 径为3.DGLOB,∴∠DG0=90.°∴.DG=OD·sin60°= .Sa=Snm-Ss=0XD-之X后 360 ×号-受-3￥ 4· 随堂反馈答案 第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 第1课时正切与坡度 2.A3A4号5.解：过点A作AE上BC于点E.由题意，得含能=设AE=tm,则BE= Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=BE十AE2,即10=（√5x)2十x2,解得x=5(负值已舍去）.答：拦水坝的高 度AE为5m. 第2课时正弦与余弦 1.C2.B3.A4.B5.号6，解：AB=AC,D为BC的中点，ADLBC.又：BC=10cm,△ABC的周长 为36cmAB-2×(36-10)=13(cm.:D为BC的中点BD-号BC=×10=5(cm).在R△ABD 中，由勾股定理，得AD=√AB-BD-√3-5-12(cm),sinB=AD=12 AB 13 230°，45°，60°角的三角函数值 1.C2.D3D4.A5.156,解：1)原式=5×5+2×号=3+厄.(2)原式-÷5+号×1=3+2 2T2 =1.7.解：在R1△ABC中，∠C=90°，AC=5V5m,∠A=30,∴BC=AC.tan30°=5m,AB=AC c0s30° 10m..AB+CB=10+5=15(m).答：这棵树在折断前的高度是15m. 3三角函数的计算 1.A2.C3.A4.3.55.2°6.解：(1)原式≈-0.6959.(2)原式≈1.7692. 4解直角三角形 1.C2.A3.B4.625.解：在Rt△4BC中，BC=32,AC=36,AB=BC+AC=62,tanA三C -9∠A-30∠B=90-∠A=60.6解：1在R△MCD巾.cos∠ADC-器-号CD=6AD 3 第38页（共42页） =号×6=10.AC=AD CD=06=82)在RAAc中，amB=品号C=号×8=20. 2 .BD=BC-CD=20-6=14. 5三角函数的应用 1.A2.A3.1004.505.解：.在Rt△ABD中，AB=4m,∠ABD=60°，.AD=AB·sin∠ABD= 2Bm.:在Rt△ACD中，∠C=37,AC=AD≈5,8m,答：改建后的楼梯AC的长约为5,8m,6 点A作AD⊥BC于点D.由题意，得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m,∴.BD=AD·tan∠BAD=120× =40V5(m),CD=AD·tan∠CAD=120×5=120V5(m).∴.BC=BD+CD=405+120VB=1605≈ 3 277.1(m).答：这栋高楼的高度约为277.1m.7.解：(1)延长AB,交过点P的正东方向于点C.由题意，知∠A =37°，∠BPC=30°，AP=200√3 n mile..在Rt△APC中，PC=AP·sinA≈120√5 n mile.在Rt△PBC中，PB cos∠BPC=240 mile.答：此时轮船所在B处与灯塔P的距离是240 n mile..(2)在Rt△APC中，AC= PC AP·cosA≈1605 mile,.在Rt△PBC中，：∠BPC=30,BC=2PB=120 n mile..AB=AC-BC= (160√3-120)n mile..(160√3-120)÷4=40√3-30(n mile./h).答：轮船航行的速度为(40√3-30)n mile/h. 6利用三角函数测高 1.A2.15,53.解：∠A=∠C=∠BEC=90,四边形ABEC为矩形.BE=AC=20m,CE= 2 AB=1.5m.在R△BED中，am∠DBE=8即1an32=25DE=20X1m220X062=12.4m. .CD=CE+DE=1.5十12.4=13.9(m).答：旗杆CD的高度约为13.9m. 第二章二次函数 1二次函数 1.D2.A3.A4.-25.(1)一次(2)二次6.解：(1)y=x2十34x(2)当x=2时，y=22+34×2=72. 2二次函数的图象与性质 第1课时二次函数y=x2和y=一x2的图象与性质 1.A2.D3.B4.D5.y轴4(-2,4) … 3 -2 -1 0 1 2 3 6.解：(1)列表见表格， … 9 4 0 4 9 图象如图. (2)抛物线的开口方向向上；顶点坐标为(0,0)；对称轴为y轴；当x>0时，y随 0 6 5-4-3-2-012345 x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小；函数有最小值0 第2课时二次函数y=ax2和y=ax2十c的图象与性质 1.A2.D3.B4.B5.C6.解：(1)平移后的二次函数表达式为y=一x2十4. 第39页（共42页）