专题3 解直角三角形应用中的基本模型-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）江西专版

=0.3(.x+5.5),解得x=16.5.∴.AG=0.4x=6.6m.∴.AB=AG+BG=6.6十1.7=8.3(m).答：长城第一墩的 高度AB约为8.3m. 能力提升 4.605.解：过点C作CG⊥AB于点G,过点D作DH⊥AB于点H,则四边形CDHG是矩形，∴.GH=CD= 10m,CG=DH..∠1=45°，∴.CG=AG.设CG=AG=DH=xm,在Rt△BCG中，∠2=52°，.BG=CG· tan52°≈1.3.xm.,在Rt△BDH中，∠3=65°，.BH=DH·tan65°≈2.1xm..GH=BH-BG=2.1x- 1.3x=10.解得x=12.5.∴.AB=BG+AG=1.3×12.5+12.5≈29(m).答：大楼的高度AB约为29m. 思维拓展 6解：斜技E的坡度=1：后，BE=I6m,在R△ABE中，an∠BEA=是-复：∠BEA=0, ∴AB-号BE-号×16=8(m).答：点B离水平地面的高度AB为8m(2)过点B作BFLCD于点F,则AB CF=8m,BF=AC.在Rt△ABE中，AE=BE·cos∠BEA=16×cos30°=8√3(m).设EC=xm,则BF=AC =AE+EC=(x+8√3)m..在Rt△DEC中，∠DEC=60°，∴.CD=EC·tan60°=√5xm.在Rt△DBF中， ∠DBF=45°，.DF=BF·tan45°=(x+8√3)m.DF+FC=CD,∴.x+8√3+8=√3x,解得x=16+8√3. ∴.CD=√5.x=24+16√≈24+16×1.73≈51.7(m).答：绳金塔CD的高度约为51.7m. 专题三解直角三角形应用中的基本模型 1.7.42.40.03.120√54.37.55.解：过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D.依题意，∠CAD= 26.5,∠CBD=41°，AB=27m.设CD=xm.在Rt△CBD中，tan∠CBD=BD,:BD=an/CBD=, D87(m).在R△CAD中，tan∠CAD=b:AD=C tan CAD-tan 26.(m).AD-BD-AB CD 31.731.7 =27m心0.0,8727，解得≈31.7.CD=31.7m.在R△CBD中，BC=sm∠CBDsin4T≈0.66 48(m).答：B,C之间的距离约为48m.6.解：连接DE并延长交CF于点G,易得DG⊥CF,则四边形DEBA 和四边形EGFB是矩形..DE=AB=30m,AD=BE=GF=1.6m.设CG=xm..'在Rt△CEG中，tan∠CEG =amg-器G=S0*mDG=DE+BG=(30i5)m:在RaCG中，am∠CG CG tana=DG'… -≈0.75，解得x≈60.85.∴.CF=CG十GF=60.85+1.6=62.45≈62.5(m).答：摩天轮 0+ CF的高度约为62.5m.7.207.68.解：(1)由题意，得AC⊥BC.,在Rt△ACB中，AB=5m,∠ABC=37°， ∴.AC=AB·sin37≈5×0.6=3(m).答：斜坡的高度AC约为3m.(2)过点A作AF⊥DE,垂足为F.由题意， 得AC=EF=3m,AF=CE.,在Rt△ACB中，AB=5m,∠ABC=37°，∴.BC=AB·cos37°≈5×0.8=4(m). 设BE=xm,.AF=CE=BC+BE=(x+4)m.,在Rt△BED中，∠DBE=51.1°，.DE=BE·tan51.1°≈ 1.239xm.,在Rt△ADF中，∠DAF=45°，.DF=AF·tan45°≈(x+4)m..DF+EF=DE,∴.x+4+3= 1.239x,解得x≈29.29..DE=1.239x≈36.3m.答：滕王阁的高度DE约为36.3m.9.解：(1).四边形 PQMN是矩形，∴.∠Q=∠P=90°.：在Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4m,∴.AQ=AB·sin∠ABQ= 275m,∠QAB=30.:四边形ABCD是矩形，·AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90. 10 ∠GBE-1m-∠AQ/ABC-:在RAE中.CE=1.6mC=m5 Hg m.AD)- 第5页（共42页） Rt△APD中，∠PAD=180°-∠QAB-∠BAD=60°，∴AP=AD·cos∠PAL 5 AP+AQ=35E≈6.1(m.(2)在R△BCE中，BE=mCE 10 sin∠CBE=3.2m.在Rt△ABQ中，BQ=AB· cos∠ABQ=2.7m.,该充电站有20个停车位，.QM=BQ十20BE=66.7m.,四边形PQMN是矩形，∴.PN =QM=66.7m. 第一章章末复习 思维导图 对边邻边对边斜边 邻边斜边号95马91马号 22322 22 考点整合 1B2.B3.D4.-125.26.1w5+3(2)60°7.135°8.D9.B10.解：(1)：∠C=90,tanB 10 -品至设AC=,则C=4,在R△AC中，AC+B=AB,8+4P=5,解得=-1 (舍去)，x2=1..AC=3,BC=4.BD=1,.CD=BC-BD=3.在Rt△ACD中，AD=√CD+AC=3√2. (2)过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=∠BED=90°.：在R△ABC中，AC=3,AB=5,sinB=AC=3. AB 5 :在R△BDE中，BD=1,DE=BD,5mB=手.在R△ADE中，AD=3V反，sina=R5=号1.180 12.1013.解：(1)由题意，得∠CBE=60°，∠CAF=30°，∠BDM=45°，BM⊥DM,BE∥AF∥DM,∴.∠BCM= ∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°..∠ACB=∠BCM-∠ACM=60°-30°=30°.(2)：∠CBE=60°， ∴.∠CBM=90°-∠CBE=90°-60°=30°.由(1)得∠ACB=30°，.∠CBM=∠ACB=30°.∴.AB=AC=800m. 在R△ACM中，sin∠ACM=cas∠ACM=0.AM=AC·sin∠ACM=80Xn30=800X合= MEAC·cos∠ACM=800Xcos30°=800X9=400V5(m).∴BM=BA+L 1200(m).,∠BDM=45°，BM⊥DM,∴.DM=BM=1200m.∴.DC=DM-CM=1200-400√3(m).答：景点 C与景点D之间的距离为(1200-400√3)m. 聚焦课标 14.解：设PH=x万千米.：在Rt△PHB中，∠PHB=90,∠ABP=89°25'37.43，BH=PH tan∠ABP an892537,4g≈16万千米.：在R△PHA中，∠PHA=90,∠BAP=892'38.0g,AH= PH tan∠BAP an97器.0g壶万千米.：AH+BH=AB≈0.8万千米，∴忘0+壶=0,8，解得x≈38，即PH≈38万千 米.答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米. 第二章二次函数 1二次函数 基础过关 1.D2.y=5.x2-5x5-53.34.C5.B6.y=5000(1-x)27.会8.解：(1)由题可知y=(x+ 2)(x+3)-2×3=x2+5x.(2)当x=1时，y=6;当x=√2时，y=5√2+2；当x=2时，y=14.故当矩形每边长都 增加1cmw2cm,2cm时，矩形的面积各增加6cm,(5√2+2)cm2和14cm2. 第6页（共42页）专题三 解直角三角 类型1单个直角三角形 基本模型 模型演变 模 人 现 已知∠ABC=a,BC= 已知∠B=a,BC=a,则 a,BD=b,则AE=b+ AC=a·tana a·tana 1.(2025·辽宁中考)如图，为了测量树AB的 高度，在水平地面上取一点C,在C处测得 ∠ACB=51°，BC=6m,则树AB的高约为 m.(结果精确到0.1m,参考数据： sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51≈1.23) 2.(江西中考改编)图①是世界第一“大 碗”一一景德镇昌南里文化艺术中心主体建 筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠 碗，寓意“万瓷之母”.如图②，“大碗”的主视 图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC 组成，已知AD∥EF,AM,DN是太阳光线， AM⊥MN,DN⊥MN,点M,E,F,N在同 一条直线上.经测量ME=FV=20.0m, EF=40.0m,BE=2.4m,∠ABE=152°. 则“大碗”的高度AM的长约为 m. (结果精确到0.1m,参考数据：sin62°≈ 0.88,cos62°≈0.47，tan62°≈1.88) 太阳光线 图① 图② 17第一章直角三角形的边角关系 形应用中的基本模型 类型2背靠背型 基本模型 模型演变 型呈现 特点：若三角形中有已知角，则通过在三角形内作 型 高构造两个直角三角形，其中公共边是解题关键 析 作高原则：不破坏题中所给定的角 3.（2025·内蒙古中考)如图，因地形原因，湖 泊两端A,B的距离不易测量，某科技小组需 要用无人机进行测量，他们将无人机上升并 飞行至距湖面90m的点C处，从点C测得 点A的俯角为60°，测得点B的俯角为30° （A,B,C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两 端A,B的距离为 m.（结果保留 根号) D 60° 30 4369 23.8 --->B Z71 B地面C (第3题图) (第4题图) 4.(2025·安徽中考改编)某公司为庆祝新产 品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带 营造喜庆气氛.如图，甲楼和乙楼分别用与 水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带 用线段AD表示.工作人员在点A处测得点 C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为 36.9°.已知AB=13.20m,则AD的长约为 m.（结果精确到0.1m,参考数据： sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈ 0.44,sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80， tan36.9°≈0.75) 类型3子母型 基本模型 模型演变 模型呈现 特点：若三角形中有已知角，则通过在三角形 型 外作高构造有公共直角的两个三角形，其中公 析 共边是解题的关键 5.如图，九年级某班的数学兴趣小组在操场上 进行测量活动，小刘在观察点A测得观察点 B在A的正北方向，小万在观察点B测得观 察点C在B的北偏西41的方向上，且A,B 间的距离为27m,小李在观察点C测得观察 点A在C的南偏东26.5°的方向上，请计算 观察点B,C之间的距离.（结果精确到1m, 参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈ 0.89,tan26.5°≈0.50，sin41°≈0.66， cos41°≈0.75，tan41°≈0.87) 北 西+东 26.5 南 41 6.(2025·遂宁中考)在综合实践活动中，为了测 得摩天轮的高度CF,在A处用高为1.6m的 测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α=37°， 再向摩天轮方向前进30m至B处，又测得 摩天轮顶端C的仰角B=50°.求摩天轮CF 的高度.（结果精确到0.1m,参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ 0.75,sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈ 1.19) 类型4拥抱型 基本模型 模型演变 模 现 B(F) C(E)B F C(F) 模 特点：若两个直角三角形有一条公共边，则分 分 别解两个直角三角形，其中公共边是解题关键 析 7.(2025·成都中考改编)在综合与实践活动 中，某学习小组用无人机测量校园西门A与 东门B之间的距离.如图，无人机从西门A 处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯 数学九年级下册配BSD版18 角为30°，然后沿AB方向飞行60m到达D 处，在D处测得西门A的俯角为63.4°.则校园 西门A与东门B之间的距离约为 m (结果精确到0.1m,参考数据：sin63.4°≈0.89， cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00√3≈1.73) C9A63.4 B 8.地域特色情境化滕王阁与湖南岳阳岳阳楼、 湖北武汉黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，世 称“西江第一楼”.为了计算滕王阁的高度 如图，滕王阁前有一斜坡AB,长为5m, ∠ABC=37°，高为AC,利用测角仪在斜坡 底的点B处测得塔尖点D的仰角为51.1°， 在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为 45°，其中点C,B,E在同一直线上 (1)求斜坡的高度AC; (2)求滕王阁的高度DE.（结果保留一位小 数，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈ 0.8,sin51.1°≈0.778，cos51.1°≈ 0.628,tan51.1°≈1.239) CB 19第一章直角三角形的边角关系 类型5生活中其他角度的应用（拓展视野） 9.我国新能源汽车为全球应对气候变化和绿 色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源 汽车的充电需求，某小区增设了充电站，矩 形充电站PQMN的平面示意图如图所示， 矩形ABCD是其中一个停车位.经测量， ∠ABQ=60°，AB=5.4m,CE=1.6m, GH⊥CD,GH是另一个车位的宽，所有车位 的长宽都相同，按图示并列划定， 根据以上信息解答下列问题（结果精确到0. 1m,参考数据：√3≈1.73)： (1)求PQ的长； (2)该充电站有20个停车位，求PN的长. PD G