专题1 利用设参法，等角转化法求锐角三角函数&专题2 构造直角三角形解直角三角形

专题一利用设参法、等角转化 类型1设参法 名师点拨：在直角三角形中，若已知两边长的比值或 倍数关系或某个三角函数值，不能直接求出三角函 数相应边的长，常用设参法来解题。 1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°.若AD= √2CD,AB=BD,则sinC的值为( A司 c. D26 5 (第1题图) (第2题图) 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，ADI BC于点D.若BD:CD=3:2,则tan∠CAD 的值为 A号 C.6 2 D.15 3 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC, DELAB-于点E.已知AE=8,mA=3 (1)求CD的长； (2)求tan∠CBD的值. 11第一章直角三角形的边角关系 法求锐角三角函数【通性通法】 类型2等角转换法 名师点拨：若要求的角的三角函数值不容易求出，可 采用转化法将其转化为易求角的三角函数值来计算. 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CDL AB于点D,AC:BC=2：3,则tan∠ACD 的值为 ( A号 B. c 6 0.5 D B (第4题图) (第5题图) 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为 AB的中点，连接CD.若BC=4,CD=3,则 sin∠ACD的值为 ) A号B是 C.6 3 0⑥ 2 6.如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=8,E 为AD边上一点，将△CDE沿CE折叠，使点 D恰好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE 的值. 专题二构造直角 类型1利用作高构造直角三角形 (一)不含特殊角的非直角三角形 1.如图，在△ABC中，AB=AC=5,sinB=4, 5, 则BC的长是 ( A.3 B.6 C.8 D.9 BV （第1题图) (第2题图) 2.如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点 上，则cosB的值为 (二)含特殊角的非直角三角形 名师点拨：对于含特殊角(30°，45°，60°，120°，135°， 150°)的非直角三角形，通过作高构造直角三角形时， 原则是“不破坏”特殊角，部分常见的构造形式如下： (第一个图中，∠BAC=120°或135°也适用) 145° 60B 4560 B 1509 B D 3.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°， BC=3√2，则AB的长为 A30° 459B 4.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠A=15°， AC=10,则BC的长为 15°A B45°6 5.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=120°，D 是BC上一点，∠ADC=45°.若CD=8,则 BD的长为 B∠30°4920 三角形解直角三角形 6.如图，CD是△ABC的中线，inB=2 2,tan A= 2AC=5. (1)求AB的长； (2)求tan∠CDB的值. 类型2利用已知直角构造直角三角形 7.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°， AB=6,BC=4,tanA=青，求AD的长. 类型3利用勾股定理的逆定理构造直角三角形 8.如图，在正方形网格中，每个小 正方形的边长均为1，每个小 正方形的顶点称为格点.已知 A,B,C三点都在格点上，则 sin∠ABC的值为 数学九年级下册配BSD版124解直角三角形 基础过关 1.C2.C3.解：在R△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB-BC=V(23)-3=3.:sinA=C AB 2台5习∠A=30出∠B=90°=∠A=90°-30=60.4D556.解：D8∠B=60,心∠A0 ∠B=90°-60°=303.a=8,c=2a=16.6=c·sin60°=16×5=85.(2)：∠C=90°，∠B=45°，∠A 2 =45°.∴∠A=∠B.而b=√6，∴.a=b=√6.根据勾股定理，得c2=a2+b,即c=2√5.7.88.1.8 能力提升 9A10.1.211.2712.解：I)在R△ABC中，cosC-C=三，AC=9,∴BC=15.点E是斜边BC的 中点AE=BC=号.2AD1BC,∠ADC=∠ADE=S0:在R1△ADC中，osC-0=号CD 三Xg-积：点E是BC的巾点CE-BC-号∴DE=CB-Cn-号-号-器 思维拓展 13.解：(1)在Rt△BOM中，∠BOM=18.17°，BM=3m,.OB= BM sin∠BOM≈0.37≈10(m).答：直吊臂OB的 3 36M 18.17 长约为10m.(2)如图②， 图② r记旋转后的点B,M的对应点为B,M,延长BM'交OM于点F, ∴.∠B'FO=90°.由题意，得B'M'=BM=3m,OB'=OB=10m,∠B=36°，在Rt△B'OF中，B'F=OB'·cosB ≈10×0.81=8.1(m),∴.M'F=B'F-B'M'=8.1-3=5.1≈5(m)..货物M上升了5m. 专题一利用没参法、等角转化法求锐角三角函数【通性通法】 1.B2.B3解：DE1AB,∴∠AED=90.在R△ADE中，sinA=恶=是设DE=3,则AD= 5.x.:DE2+AE=AD,.(3x)2十82=(5x)2,解得x=2(负值已舍去)..DE=6,AD=10.BD平分∠ABC, DE1AB,∠C=90CD=DE=62)南I得，AC=CD+AD=16amA=RE-Cg-SBC 12an∠CBD=品=宁4A5.A6:解：四边形ABCD是矩形∴∠B=∠D=90,AB=CD=1Q.由 折叠的性质，得∠EFC=∠D=90°，CF=CD=10,.∠AFE+∠BFC=180°-∠EFC=90°.，'∠B=90°， ∴.∠BCF+∠BFC=90°.∴.∠AFE=∠BCF..BC=8,∴.BF=√JCF-BC=6.∴.tan∠AFE=tan∠BCF= 既是 专题二构造直角三角形解直角三角形 1B2.青3.3+3F455-55.8万6.解：1过点C作CELAB-于点E.设CE=x在R△ACE中， ·tanA=CE=1 AE=2六AE=2x.心AC=CE+AE=√5x=5,解得x=1.∴.CE=1,AE=2.在R△BCE中， 7a4○。·《O)c一1d十HV三H/···x0B↓a··。￥ 第3页（共42页） 是DE=BDBE=∴an∠CDB=票=27.解：延长AD,BC,交于点E在R△ABE中，IamA= -专AB-6BE-ABnA-8AE-aB干E-10,CE-BE-BC-4osE--专在 R△CDE中，：CE=4DE=CE:6osE-S.AD=AE-DE=琴8号 5三角函数的应用 基础过关 1.C2.15√63.B4.解：由题意，得BD∥AE∥OC,∴.∠BCO=∠DBC=36.9°，∠ACO=∠EAC=30°..在 Rt△AOC中，AC=24m,∠AC0=30°，∴.0A=号AC=12m,0C=AC·cos∠AC0=125m.在R△BC0 中，OB=OC·tan∠BCO≈9√5m..AB=OB-OA=9√3-12≈3.6(m).答：无人机从点A到点B的上升高度 AB约为3.6m.5.C6.130 能力提升 7.208解，(I过点B作BMAD,垂足为MAC1AD,BM/AC△BDM△CDA器-8品： CD=号BD,AC=6km,-景六BM=号km在R△ABM中，∠BAD=37,sm∠BAD=AB =4km,答：岛A与港口B之间的距离为4km,(2)在R△ABM中，AM=AB:cas374X专-9(km.由 16 I.得△BDMn△CDA,B兴80=导AD=号AM=9km在R△ADC中，anC-0舌-品 AC=6=2 思维拓展 9解：1台兴 (2)如图， 作GN上AC于点N,交DE于点M,则四边形GFCN和四边形 31°D 45° ----日N 77777777 GFEM是矩形.设HC=xm.,在Rt△ACH中，∠AHC=45°，∴.AC=CH=xm.在矩形GFCN中，GN=CF= 30+50+x=80+x(m),CN=GF=1.5m,∴.AN=AC-CN=(x-1.5)m.:在Rt△AGN中，∠AGN=31°，. AN=GN·tam∠AGN≈0.6GN=0.6(80+),x-1.5=0.6(80+x),解得x=123.75.由(1)，得BC=号× 123.75=49.5m,AB=号×123.75=74.25≈74.3m.:四边形GFEM是矩形，GM=EF=30m,ME=GF= 1.5m..在Rt△DGM中，∠DGM=31°，.DM=GM·tan∠DGM≈30×0.6=18(m)..DE=DM+ME= 19.5m.答：房子DE的高度约为19.5m,塔AB的高度约为74.3m. 6利用三角函数测高 基础过关 1.A2.解：(1)由题意，得BC⊥CD.在Rt△BCD中，∠BDC=45°，CD=26m,∴.BC=CD·tan∠BDC=26m. 答：楼高BC为26m.(2)在Rt△ACD中，∠ADC=50°，CD=26m,∴.AC=CD·tan50°≈26×1.2=31.2(m). .AB=AC-BC=31.2-26≈5(m).答：旗杆的高度AB约为5m.3.解：由题意，得CG⊥AB,CD=EF=BG =1.7m.设EG=xm..CE=DF=5.5m,.CG=CE+EG=(x+5.5)m.在Rt△ACG中，∠ACG=16.7°， ∴.AG=CG·tan16.7°≈0.3(x+5.5)m.在Rt△AEG中，∠AEG=22°，∴.AG=EG·tan22°≈0.4xm.∴.0.4x 第4页（共42页）