培优01 锐角三角函数与直角三角形8种重难题型（专项训练）数学北师大版九年级下册

培优01 锐角三角函数的计算与直角三角形 题型1 求角的正弦、余弦、正切值 设在中，所对的边分别为，则有： 1．在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，如果把的各边都扩大到原来的3倍，则的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的2倍 D．不变 3．在平面直角坐标系内有一点，射线与轴正半轴的夹角为，下列结论正确的是（        ） A． B． C． D． 4．直线的向上方向与x轴正方向所夹的锐角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动了时，垂直高度下降了．则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么的值为（   ） A． B． C． D． 题型2 由正弦、余弦、正切值求边长 7．在中，，，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知，则点A的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ． 11．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 12．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．若，则的长为 ． 13．如图，在中，，平分交边于点D，点E在线段上，延长至点F，使得，连接． (1)四边形是菱形吗?请说明理由； (2)若，，，求的长． 题型3 含特殊角的三角函数值的混合运算 熟记特殊角的三角函数值，特指30°、45°、60°角的各种三角函数值： ①sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；②sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； ③sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； 14．已知是锐角，且，则的值为 ． 15．计算：． 16．计算： (1) (2) 17．计算： (1) (2) 18．计算： (1)； (2)． 19．已知是锐角，且．求的值． 题型4 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 20．在中，，都是锐角，且，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 21．在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 22．在中，，则是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 23．已知在中、都是锐角，，那么的形状是 ． 24．已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 题型5 锐角的三角函数中的新定义问题 25．如图1，在直角三角形中，．定义的对边与斜边的比叫作的正弦，记作，即定义的邻边与斜边的比叫作的余弦，记作，即如图2，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限，连接与x轴的正半轴的夹角为α，则点A的坐标可表示为（   ） A．（） B．（） C． D． 26．新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰为“格线三角形”，且，那么直线与直线的夹角的余弦值为 ． 27．定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为 ． 28．如果定义等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对，如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解决下列问题： (1)______． (2)若，则的正对值的取值范围是____． (3)如图②，已知中，，，求的值． 29．我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程） (1)的值为（     ）． A． B．1 C． D．2 (2)对于，的正对值的取值范围是 ． (3)如果，，其中为锐角，试求的值． 30．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，腰AB=AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一 一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题： (1)can30°＝　　，若canB＝1，则∠B＝　　°． (2)如图2，在△ABC中，AB=AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长． 题型6 同角的三角函数关系 同角的三角函数关系： （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 31．若A为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 32．若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 33．已知m为实数，且是关于x的方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D．1 34．同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则 ． 35．根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角，都有．如果关于的方程有实数根，那么锐角的取值范围是 ． 题型7 互余两角的三角函数关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 36．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 37．已知锐角满足，则 ． 38．若，则 ． 39．已知，若，则 ． 题型8 构造垂线解非直角三角形 40．在矩形中，点是边上一点，连接，过作于点，若，，，则矩形的面积是（   ） A． B． C． D． 41．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，设直线与y轴的交点为B，则 ． 42．已知中，，，，那么的长为 ． 43．在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为 ． 44．如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则 ． 45．如图，在中，，，是边上的中线，． (1)求的长． (2)求的值． 46．如图，是的中线，，，． (1)求； (2)求． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优01锐角三角函数的计算与直角三角形 》划重点·冲高分 题型1求角的正弦、余弦、正切值 题型2由正弦、余弦、正切值求边长 题型含特殊角的三角函数值的混合运算 锐角三角函数 题型4由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 的计算与直角 三角形 题型5锐角的三角函数中的新定义问题 题型6同角的三角函数关系 题型7互余两角的三角函数关系 题型8构造垂线解非直角三角形 题型1求角的正弦、 余弦、正切值 解 题大 设在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为abc,则有： a。A二，tanA三6；m2c3一p’力三、. a i:在R△ABC中，乙A仁90°，AB=3AC2,则sinC(-) 2W13 313 13 3 A·13 B.13 C.3 D.2 【答案】B 【详解】解：如下图 1/36 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠A=90°，AB=3,AC=2 :.BC=VAB2+AC2=V32+22=V3 sinC-4B=-333 BCI3=13, 故选B 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果把Rt△ABC的各边都扩大到原来的3倍，则sinA的值（) A B A.扩大到原来的3倍 B.缩小到原来的；C.扩大到原来的2倍D.不变 【答案】D 【分析) 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴.sinA= BC AB 如果把Rt△ABC的各边都扩大为原来的3倍， .sin A= 3BC BC 3AB AB' ∴.sinA的值不变. 故选：D 3.在平面直角坐标系内有一点P(8,6),射线OP与x轴正半轴的夹角为“，下列结论正确的是() 3 A.sina= B.sina=5 3 3 C.cosa= D.cosa= 【答案】B 2/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，过点P作PA上x轴于点A, P P8,6 OA=8,PA=6 OP=VO42+PA=10 0p10j,cosa=0184 “sina=P4-6_3 OP105 故选：B 4 4.直线y= -5的向上方向与x轴正方向所夹的锐角为a则sina的值为（） 4 B月 c 3 A·3 D.5 【答案】C 【详解】解：设直线与x、y轴相交于A、B,如图， A ,“是向上方向与x轴正方向所夹的锐角 ∴.∠OAB=a :当x=0时y=-5当，=0时、等x-5=0,解得=点 4 3/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(0,-5) :A0=15 4BO=5 B=VA02+B0=2 , :sina=sim∠OAB=OB_4 AB 5 故选：C. 5.如图，一个小球沿倾斜角为a的斜坡向下滚动了50cm时，垂直高度下降了30cm.则sina=()】 3 A·5 B·4 c D 【答案】A 【分析) 【详解】解：如图，记一个小球沿倾斜角为a的斜坡向下滚动了50cm,此时在点E处，则BE=50cm,过 点E作EF⊥BC于点F,则BF=30cm, B acA 由题意得，AC⊥BC, .EF∥AC .∠BEF=∠A= BF 3 ∴.sina= BE 5 故选：A· 6·如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在 4/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为（) B.4 c. D.5 【答案】C 【详解】解：在矩形1BC 中 AD=BC=5,AB=CD=3 ,矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处， \AF =AD=5,EF =DE 在Rt△ABF中，BF=VAF2-AB=4 则CF=BC-BF=1 设CE=x,则DE=EF=3-x, 在RtECF中，+P=(3-刘 解得：x=3 EF =3-x=5 3 ∴.sin∠EFC= CE 4 故选：C, 题型2由正弦、余弦、正切值求边长 7在R△ABC中，∠C=90°，ZB=a,AC=m,则边AB的长为() m m A·m:cos B.- cosa C·m.sina D.sina 【答案】D 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， ..sin B=4C AB 5/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠B=a,AC=m, .AB=AC m sin B sina' 故选：D 8.如图，已知cosa= 则点A的坐标可能是() A 4. 3,-4) B.(3,4 C.(3,5) D.（4,3) 【答案】B 【详解】过点A作AB⊥x轴于B,设OA=5· B .OA=5,cosa= 3 OB 5 OA OB=04.cosa=5x3 3 .AB=0A2-OB2 =4, :点A在第二象限， (-3,4) ∴点A的坐标是 故选：B, 9.如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕CB与键盘BA所成夹角为110°，若屏幕CB的长度为30Cm,则上 方边界C处到桌面的距离CD为() 6/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D--B A 30 A·30sin30cm B·30cos20°cm C.30tan30cm cos206cm D. 【答案】B 【详解】解：∠ABC=110°，∠BDC=90°， .∠BCD=∠ABC-∠BDC=20° CD=BC.cosC30cs2(em) 故选：B 10.如图.在aABc中.Ah是c边上的高.4C=9BC=4,osC-子 那么B的长是一 【答案】2 【分析) 【详解】解：AH是BC边上的高 ∴.∠H=90° '.cosC=CH=2 AC 3 CH 2 93' 解得CH=6 .BH=CH-BC=6-4=2. 故答案为：2 1,如图.Ra4BC中∠C=0P点n在AC上.∠DBC=∠A若AC-8Q1 5,则BD的长度为（ 7/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 15 15 B·2 C.4 D·4 【答案】B 【分析) 【详解】解： ×∠C=900:AC=8 AB 5 ∴.AB=10 .BC=AB2-AC2=6 ·.·∠DBC=∠A,∠C=∠C=90° .:△BAC∽△DBC BC AC BD AB 64 BD 5 ·BD=15 2 故选：B 12·如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成.在正方形ABCD中， AG=l0·若tan∠ADF=3 ,则F的长为一 E H B 【答案】4 【详解】解：由题意得：△DFA≌△AGB≌aCED 8/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AG=DF=10.DE=AF ,tan∠ADF= 3 AF 5 DF .AF=6 .∴.DE=AF=6 ∴.EF=DF-DE=10-6=4 故答案为：4 I3.如图，在△ABC中，BA=BC,BD平分∠ABC交AC边于点D,点E在线段BD上，延长ED至点 F,使得DF=DE,连接AE、CE、AF、CF. D (1)四边形AECF是菱形吗？请说明理由； (2)若BA⊥AF,AB=4,tan∠AFB=2,求AE的长. 【答案】(I)四边形AECF是菱形，理由见解析 (2)AE=2 【分析】 【详解】(1)解：四边形AECF是菱形，理由如下： :BA=BC,BD平分∠ABC ∴.BD⊥AC,AD=CD .DE=DF ,.四边形AECF是菱形： (2)解：四边形AECF是菱形 ∴.AF=AE .BA⊥AF 六在Rt4BF中，tan∠AFB= AB=2 AF ,AB=4 ∴.AE=AF=2. 9/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3 含特殊角的三角函数值的混合运算 题大招 熟记特殊角的三角函数值，特指30°、45°、60°角的各种三角函数值： √5 5 √ √2 ①sin30°=2，cos30°=2：tan30°=3；②sin45°=2：cos450=2:tan450=1; √阝 ③sin60°=2：cos60°=2：tan60°=V3 14.已知a是锐角，且2cos(a-159)=V5,则4sin2a+tam245°的值为_ 【答案】-1 【分析] 【详解】解：·2cos(a-15)=V3 :cos(a-15)= 2 :0是锐角 ∴.a-15°=30°，即a=45° .-4sin'a+tan?45 =-4sin245°+tan2459 =4×2 +12 1 =4×21 =-2+1 =-1 故答案为：-1 15.计算：2cos30°-tan45°.sin60°+cos60°. √5+1 【答案】2 10/36