专题12：解含括号的方程（计算专项训练）数学北师大版四年级下册

专题12：解含括号的方程 计算专项训练 一、含括号的方程的意义（衔接前文知识点） 1.：方程中含有小括号（如 、）的方程，叫做含括号的方程。它是在一步方程（加、减、乘、除）的基础上拓展而来，核心仍依托等式的性质1和性质2求解。 2.通俗理解：可将括号内的整体看作一个“新的未知数”（如把 看作一个整体），先利用等式性质2消去括号外的乘、除数，再利用等式性质1消去括号内的加、减数，逐步将复杂方程转化为一步方程，最终求出未知数 的值。 二、解含括号的方程的核心步骤 转化思想——将含括号的方程转化为已学的一步方程（乘、除、加、减），遵循“先处理括号外，再处理括号内”的顺序，逐步孤立未知数。 规范解题步骤（以 为例）： ① 写“解”字，标注方程：解：； ② 处理括号外的运算（利用等式性质2）：等式两边同时除以3（括号外是×3，反向操作是÷3），得 ，化简为 ； ③ 解一步方程（利用等式性质1）：等式两边同时减5，得 ，化简为 ； ④ 检验（必不可少，步骤与前文一致）：把 代入原方程，左边=，右边=18，左边=右边，所以 是原方程的解。 题型1：解括号外是乘法的含括号方程（基础题，核心考点） 典型例题：运用等式的性质，解下列含括号的方程，并检验。 （1） （2） （3） 解题思路：先将括号内的整体看作一个“新未知数”，第一步用等式性质2（两边同时除以括号外的乘数），消去括号外的乘法，转化为一步加法或减法方程；第二步用等式性质1，求出 的值，最后检验。 解题过程： （1）解： 等式两边同时除以4（括号外是×4，用等式性质2，两边同时除以同一个不为0的数4） 化简得： 等式两边同时减3（转化为一步加法方程，用等式性质1） 检验：把代入原方程，左边=，右边=20，左边=右边，所以是原方程的解。 （2）解： 等式两边同时除以5（括号外是×5，用等式性质2） 化简得： 等式两边同时加2（转化为一步减法方程，用等式性质1） 检验：把代入原方程，左边=，右边=15，左边=右边，所以是原方程的解。 （3）解： 等式两边同时除以2（括号外是×2，用等式性质2） 化简得： 等式两边同时减2.5（转化为一步小数加法方程，用等式性质1） 检验：把代入原方程，左边=，右边=9，左边=右边，所以是原方程的解。 跟踪训练： 解下列含括号的方程，并检验。 （1） （2） （3） （4） （5） 题型2：解括号外是除法的含括号方程 典型例题：运用等式的性质，解下列含括号的方程，并检验。 （1） （2） （3） 解题思路：与题型1思路一致，先将括号内的整体看作“新未知数”，第一步用等式性质2（两边同时乘括号外的除数），消去括号外的除法，转化为一步加法或减法方程；第二步用等式性质1求解，注意避免“第一步用除法”的错误。 解题过程： （1）解： 等式两边同时乘2（括号外是÷2，用等式性质2，两边同时乘同一个数2） 化简得： 等式两边同时减6（用等式性质1） 检验：把代入原方程，左边=，右边=7，左边=右边，所以是原方程的解。 （2）解： 等式两边同时乘3（括号外是÷3，用等式性质2） 化简得： 等式两边同时加4（用等式性质1） 检验：把代入原方程，左边=，右边=5，左边=右边，所以是原方程的解。 （3）解： 等式两边同时乘4（括号外是÷4，用等式性质2） 化简得： 等式两边同时减3.6（用等式性质1） 检验：把代入原方程，左边=，右边=2.5，左边=右边，所以是原方程的解。 易错提醒：括号外是除法时，第一步必须用“乘”（等式性质2），不能用“除”，如 ，错误做法：，会导致方程无法正确转化。 跟踪训练：解下列含括号的方程，并检验。 （1） （2） （3） （4） （5） 题型3：解括号在右边的含括号方程 典型例题：运用等式的性质，解下列含括号的方程，并检验（衔接前文题型，灵活运用性质）。 （1） （2） （3） 解题思路：与前两种题型核心一致，无论括号在左边还是右边，均先将括号内的整体看作“新未知数”，第一步用等式性质2处理括号外的乘、除法，再用等式性质1求解，步骤不变，重点培养灵活解题能力。 解题过程： （1）解： 等式两边同时除以3（括号外是×3，用等式性质2，两边同时除以3） 化简得： 等式两边同时减2（用等式性质1） 检验：把代入原方程，右边=，左边=18，左边=右边，所以是原方程的解。 （2）解： 等式两边同时除以4（括号外是×4，用等式性质2） 化简得： 等式两边同时加5（用等式性质1） 检验：把代入原方程，右边=，左边=12，左边=右边，所以是原方程的解。 （3）解： 等式两边同时除以2（括号外是×2，用等式性质2） 化简得： 等式两边同时减3.5（用等式性质1） 检验：把代入原方程，右边=，左边=14，左边=右边，所以是原方程的解。 跟踪训练：解下列含括号的方程，并检验 （1） （2） （3） （4） （5） 练习巩固 1．解方程。                                 2．解方程。                     3．解方程。 （x＋7.5）÷0.2＝45     3（x＋2.1）＝10.5     2.1x＋7.9x＝50.5 4．解方程。                          5．解方程。 （1）3.4x－48＝26.8     （2）12（x－1.5）＝24     （3）（100－2x）÷2＝8 6．解方程。 （1）3.6x－4.8＝6                               （2）（28＋x－12）÷5＝22 7．定义符号“☆”的意义是：a☆b＝（a＋1）×b，如果（x☆2）☆3＝27，那么x的值等于 。 8．在式子中，当( )时，式子的值是1；当( )时，式子的值是0。 9．在方框里填入同一个数，使等式93－（16×□－□÷）×3＝51成立。□里应填( )。 10．小明今年5岁，父亲31岁，再过( )年，父亲的年龄正好是小明年龄的2倍。 11．花园小学五年级开展篮球比赛。五（1）班投进15个球共得39分，投进的球有的得3分、有的得2分，3分球投进( )个、2分球投进( )个。 12．42名选手同时参加羽毛球单打或双打比赛，共分为15个赛场，其中进行单打比赛的有( )个赛场，参加双打比赛的有( )人。 13．甲、乙两艘船从两个港口同时相向开出，甲船顺流而下，乙船逆流而上，经过23小时相遇。 14．甲、乙两辆汽车同时从相距420千米的两地相对开出，经过3.5小时相遇，甲车每小时行58千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解） 15．高果、秦梨、李甜三人分别在朋友圈集赞。一段时问后，三人获得的点赞数为连续的偶数、它们的和是24，则最少的点赞数是多少？ 16．甲、乙两辆汽车分别从相距路程为700千米的两地同时出发，相向而行，经过4.5小时两车（未相遇）相距160千米。已知甲车比乙车每小时多行10千米，求甲、乙两车的速度。 17．甲、乙两辆汽车同时从南京开往上海，3小时后甲车落后于乙车48千米。已知乙车每小时行76千米，甲车每小时行多少千米？（列方程解答） 18．两个筑路队合筑一段长1400米的公路，两队同时开工，7天完工，已知甲队平均每天修110米，乙队平均每天修多少米？（列方程解答） 题型1：解括号外是乘法的含括号方程 答案： （1）解： → → ；检验：左边=，右边=18，成立； （2）解： → → ；检验：左边=，右边=24，成立； （3）解： → → ；检验：左边=，右边=14，成立； （4）解： → → ；检验：左边=，右边=36，成立； （5）解： → → ；检验：左边=，右边=22.4，成立。 题型2：解括号外是除法的含括号方程 答案： （1）解： → → ；检验：左边=，右边=6，成立； （2）解： → →；检验：左边=，右边=4，成立； （3）解： → → ；检验：左边=，右边=3.2，成立； （4）解： → → ；检验：左边=，右边=1.8，成立； （5）解： → → ；检验：左边=，右边=2.1，成立。 题型3：解括号在右边的含括号方程 答案： （1）解： → → ；检验：右边=，左边=20，成立； （2）解： → → ；检验：右边=，左边=16，成立； （3）解： → → ；检验：右边=，左边=25，成立； （4）解： → → ；检验：右边=，左边=18，成立； （5）解： → → ；检验：右边=，左边=30，成立。 练习巩固 1．；； 【分析】在方程两边同时减去3，再在方程两边同时除以6即可解方程； 在方程两边同时除以2，再在方程两边同时减去4.8即可解方程； 在方程两边同时乘2，在方程两边同时减去1.6，在方程两边同时加上，再在方程两边同时除以3即可解方程。 【详解】 解： 解： 解： 2．；； 【分析】解答这道题需明确等式的性质：等式的左右两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的左右两边同时乘同一个数或同时除以一个不为0的数，等式仍然成立。 （1）先利用乘法分配律将合并为，再利用等式的性质，左右两边同时除以0.28求解。 （2）利用等式的性质，左右两边同时乘0.5，再同时加上5.9，最后同时除以3求解。 （3）利用等式的性质，左右两边同时除以5，再同时加上3，最后同时除以6求解。 【详解】根据分析： （1） 解： （2） 解： （3） 解： 3．x＝1.5；x＝1.4；x＝5.05 【分析】（1）把括号看作一个整体，先利用等式的性质2，方程两边同时乘0.2，再利用等式的性质1，方程两边同时减去7.5； （2）把括号看作一个整体，先利用等式的性质2，方程两边同时除以3，再利用等式的性质1，方程两边同时减去2.1； （3）先化简方程左边含有未知数的式子，再利用等式的性质2，方程两边同时除以10。 【详解】（1）（x＋7.5）÷0.2＝45 解：（x＋7.5）÷0.2×0.2＝45×0.2 x＋7.5＝9 x＋7.5－7.5＝9－7.5 x＝1.5 （2）3（x＋2.1）＝10.5 解：3（x＋2.1）÷3＝10.5÷3 x＋2.1＝3.5 x＋2.1－2.1＝3.5－2.1 x＝1.4 （3）2.1x＋7.9x＝50.5 解：10x＝50.5 10x÷10＝50.5÷10 x＝5.05 4．x＝3.2；x＝0.864；x＝12 【分析】方程两边同时除以8，两边再同时加上12，最后两边再同时除以5； 根据等式的性质2，方程两边同时乘1.44； 方程两边同时乘2，得：100－3x＝64，两边再同时加上3x，然后两边再同时减去64，最后两边再同时除以3。 【详解】（5x－12）×8＝32 解：（5x－12）×8÷8＝32÷8 5x－12＝4 5x－12＋12＝4＋12 5x＝16 5x÷5＝16÷5 x＝3.2 x÷1.44＝0.6 解：x÷1.44×1.44＝0.6×1.44 x＝0.864 （100－3x）÷2＝32 解：（100－3x）÷2×2＝32×2 100－3x＝64 100－3x＋3x＝64＋3x 64＋3x＝100 64＋3x－64＝100－64 3x＝36 3x÷3＝36÷3 x＝12 5．（1）x＝22；（2）x＝3.5；（3）x＝42 【分析】（1）3.4x－48＝26.8，根据等式的性质1和2，两边同时加48，再同时除以3.4即可； （2）12（x－1.5）＝24，根据等式的性质1和2，两边同时除以12，再同时加1.5即可； （3）（100－2x）÷2＝8，根据等式的性质1和2，两边同时乘2，再同时加2x，然后同时减16，最后同时除以2即可。 【详解】（1）3.4x－48＝26.8 解：3.4x－48＋48＝26.8＋48 3.4x＝74.8 3.4x÷3.4＝74.8÷3.4 x＝22 （2）12（x－1.5）＝24 解：12（x－1.5）÷12＝24÷12 x－1.5＝2 x－1.5＋1.5＝2＋1.5 x＝3.5 （3）（100－2x）÷2＝8 解：（100－2x）÷2×2＝8×2 100－2x＝16 100－2x＋2x＝16＋2x 16＋2x＝100 16＋2x－16＝100－16 2x＝84 2x÷2＝84÷2 x＝42 6．x＝3；x＝94 【分析】（1）根据等式的性质，3.6x－4.8＝6先等式两边同时加上4.8，再同时除以3.6，即可求解x； （2）根据等式的性质，（28＋x－12）÷5＝22先将等式两边同时乘5，再同时加上12后，再同时减去28，即可求解x。 【详解】（1）3.6x－4.8＝6 解：3.6x－4.8＋4.8＝6＋4.8 3.6x＝10.8 3.6x÷3.6＝10.8÷3.6 x＝3 （2）（28＋x－12）÷5＝22 解：（28＋x－12）÷5×5＝22×5 28＋x－12＝110 28＋x－12＋12＝110＋12 28＋x ＝122 28＋x－28＝122－28 x＝94 7．3 【分析】根据新定义运算知道a☆b等于a与1的和乘b，由此把（x☆2）☆3＝27转化为关于x的方程[（x＋1）×2＋1]×3＝27，通过解该方程即可求得x的值。 【详解】[（x＋1）×2＋1]×3＝27 解：[2x＋2＋1]×3＝27 [2x＋3]×3＝27 [2x＋3]×3÷3＝27÷3 2x＋3＝9 2x＋3－3＝9－3 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 8． 3 2.5 【分析】根据题意，当式子的值是1，即，解方程可求出x的值，根据等式的性质，等式两边同时乘3，然后等式两边同时加上15，最后等式两边同时除以6；当式子的值是0，即，解方程可求出x的值，根据等式的性质，等式两边同时乘3，然后等式两边同时加上15，最后等式两边同时除以6；据此解答。 【详解】 解： 所以，在式子中，当x＝3时，式子的值是1； 解： 所以，在式子中，当x＝2.5时，式子的值是0。 9．2 【分析】将□看成未知数，解方程即可，将除法改写成乘法，再逆用乘法分配律，可以将等式转化成93－[（16－9）×□]×3＝51，根据等式的性质1和2，两边同时加[（16－9）×□]×3，再同时减51，然后同时除以3，最后同时除以（16－9）的差即可。 【详解】93－（16×□－□÷）×3＝51 解：93－（16×□－□×9）×3＝51 93－7×□×3＝51 93－21×□＝51 21×□＝93－51 21×□＝42 21×□÷21＝42÷21 □＝2 □里应填2。 【点睛】关键是将□看成未知数，灵活运用等式的性质解方程。 10．21 【分析】设再过x年，父亲年龄是小明的2倍，此时父亲年龄为（31＋x）岁，小明年龄为（5＋x）岁，根据x年后父亲年龄＝小明年龄×2，列出方程求出x的值即可。 【详解】解：设再过x年，父亲年龄是小明的2倍。 31＋x＝（5＋x）×2 31＋x＝10＋2x 31＋x－x ＝10＋2x－x 10＋x＝31 10＋x－10＝31－10 x＝21 再过21年，父亲的年龄正好是小明年龄的2倍。 11． 9 6 【分析】五（1）班投进15个球共得39分，设投进3分球x个，则投进2分球（15－x）个，3分球的得分加上2分球的得分是39分，由此列方程解答。 【详解】解：设投进3分球x个，投进2分球（15－x）个。 3x＋2×（15－x）＝39 3x＋30－2x＝39 x＋30＝39 x＋30－30＝39－30 x＝9 15－9＝6（个） 3分球投进9个，2分球投进6个。 12． 9 24 【分析】分析题目，设进行双打比赛的有x个赛场，则参加单打比赛的有（15－x）个赛场，根据等量关系式：双打比赛的赛场数量×4＋单打比赛的赛场数量×2＝42名，列出方程4x＋2（15－x）＝42，进一步解出方程即可得到进行双打的赛场数量，再用15减去进行双打的赛场数量求出进行单打的赛场数量，最后用进行双打的赛场数量乘4即可求出参加双打比赛的人数。 【详解】解：设进行双打比赛的有x个赛场，则参加单打比赛的有（15－x）个赛场。 4x＋2（15－x）＝42 4x＋30－2x＝42 4x－2x＝42－30 2x＝12 x＝12÷2 x＝6 15－6＝9（个） 6×4＝24（人） 42名选手同时参加羽毛球单打或双打比赛，共分为15个赛场，其中进行单打比赛的有9个赛场，参加双打比赛的有24人。 13．21千米 【分析】根据题意和相遇问题的公式可得出等量关系：（甲船的速度＋乙船的速度）×相遇时间＝两个港口的距离，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设乙船每小时行驶千米。 （28＋）×23＝1127 （28＋）×23÷23＝1127÷23 28＋＝49 28＋－28＝49－28 ＝21 答：乙船每小时行驶21千米。 14． 62千米 【分析】已知总路程为420千米，相遇时间为3.5小时，甲车每小时行58千米，设乙车每小时行x千米。根据“速度和×相遇时间＝路程和”列出方程为（58＋x）×3.5＝420，根据等式的性质，方程两边同时除以3.5，再同时减去58求解出x的值，即为乙车的速度。据此解答。 【详解】解：设乙车每小时行x千米。 （58＋x）×3.5＝420 （58＋x）×3.5÷3.5＝420÷3.5 58＋x＝120 58＋x－58＝120－58 x＝62 答：乙车每小时行62千米。 15．6个 【分析】可以设最少的点赞量为，因为三人获得的点赞数为连续的偶数，则另两人的点赞量为和，根据三人的点赞量和为24，列方程即可求解。 【详解】解：设最少的点赞量为，则另两人的点赞量为和。 答：最少的点赞数为6个。 16．65千米/小时；55千米/小时 【分析】设乙车每小时行千米，则甲车每小时行千米，路程＝速度×时间，4.5小时两车（未相遇）相距160千米，总路程等于甲乙两车行驶的路程加160千米，由此列方程即可解答。 【详解】解：设乙车每小时行千米，则甲车每小时行千米。 甲车：（千米/小时）。 答：甲车每小时行65千米，乙车每小时行55千米。 17．60千米 【分析】分析题目，设甲车每小时行x千米，根据等量关系式：（乙车的速度－甲车的速度）×时间＝48列出方程3（76－x）＝48，再进一步解出方程即可。 【详解】解：设甲车每小时行x千米。 3（76－x）＝48 3（76－x）÷3＝48÷3 76－x＝16 x＝76－16 x＝60 答：甲车每小时行60千米。 18．90米 【分析】根据题意可得出等量关系：（甲队平均每天修的长度＋乙队平均每天修的长度）×修的天数＝这条公路的全长，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设乙队平均每天修米。 （110＋）×7＝1400 （110＋）×7÷7＝1400÷7 110＋＝200 110＋－110＝200－110 ＝90 答：乙队平均每天修90米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $