专题12：倒数（计算专项训练）数学北师大版五年级下册

专题12：倒数 计算专项训练 一、倒数的核心定义 乘积是1的两个数互为倒数（重点强调“互为”，不能单独说某个数是倒数，如和互为倒数，不能说是倒数）。 1.核心特征：两个数的乘积必须是1，缺一不可；且两个数的分子、分母正好互相颠倒（0除外，因为0乘任何数都得0，无法得到1）。 2.特殊数的倒数： ① 1的倒数是它本身（1×1=1）； ② 0没有倒数（关键易错点，北师大版课堂重点强调）； ③ 整数的倒数：先把整数看作分母是1的分数，再颠倒分子、分母（如5的倒数是，即颠倒后为）； ④ 小数的倒数：先把小数化成分数（最简分数），再颠倒分子、分母（如0.5化成分数是，其倒数是2）； ⑤ 带分数的倒数：先把带分数化为假分数，再颠倒分子、分母（如化为假分数是，其倒数是）。 二、求倒数的核心法则 求一个数（0除外）倒数的通用步骤： ①统一形式：将这个数化为最简分数（整数→分母是1的分数，小数→分数，带分数→假分数）； ②颠倒分子、分母：交换最简分数的分子和分母的位置，得到的新分数就是原数的倒数； ③验证：用原数乘新分数，验证乘积是否为1（确保计算无误）。 题型1：求各类数的倒数（基础必练，覆盖所有考点） 典型例题：求下列各数的倒数（ （1） （2）7 （3）0.8 （4） （5）1 （6）0.125 解题思路：遵循“统一形式→颠倒分子分母→验证”三步法，根据数的类型灵活转化：分数直接颠倒，整数化成分母是1的分数，小数化最简分数，带分数化假分数，注意0没有倒数、1的倒数是本身。 解题过程（规范步骤，贴合课本讲解） 1. 求的倒数： ① 统一形式：已是最简分数； ② 颠倒分子分母：分子5和分母6交换位置，得； ③ 验证：； 结论：的倒数是。 2. 求7的倒数： ① 统一形式：7化为分母是1的分数，即； ② 颠倒分子分母：得； ③ 验证：； 结论：7的倒数是。 3. 求0.8的倒数： ① 统一形式：0.8化最简分数，； ② 颠倒分子分母：得（或1.25）； ③ 验证：； 结论：0.8的倒数是（或1.25）。 4. 求的倒数： ① 统一形式：带分数化为假分数，； ② 颠倒分子分母：得； ③ 验证：； 结论：的倒数是。 5. 求1的倒数： ① 统一形式：1化为； ② 颠倒分子分母：仍为； ③ 验证：； 结论：1的倒数是1。 6. 求0.125的倒数： ① 统一形式：0.125化最简分数，； ② 颠倒分子分母：得8； ③ 验证：； 结论：0.125的倒数是8。 跟踪训练：求下列各数的倒数 1. 2. 9 3. 0.6 4. 5. 0.375 6. 题型2：判断两个数是否互为倒数（基础易错，重点练概念） 典型例题：判断下列各组数是否互为倒数 （1）和 （2）0.5和2 （3）和 （4）6和 （5）和 （6）0.4和2.5 解题思路：核心判断标准：计算两个数的乘积，若乘积是1，则互为倒数；若乘积不是1，则不互为倒数；注意：若其中一个数是0，直接判断不互为倒数（0没有倒数）。 解题过程（规范格式，避免出错） 1. 判断和： 验证：； 结论：互为倒数。 2. 判断0.5和2： 验证：； 结论：互为倒数。 3. 判断和： 验证：； 结论：互为倒数。 4. 判断6和： 验证：； 结论：互为倒数。 5. 判断和： 验证：先将化为假分数，； 结论：互为倒数。 6. 判断0.4和2.5： 验证：； 结论：互为倒数。 补充错题示例（贴合易错点） 判断和是否互为倒数： 验证：； 结论：不互为倒数。 跟踪训练 判断下列各组数是否互为倒数（写出验证过程，明确结论）： 1. 和 2. 0.7和 3. 和3.5 4. 和 5. 8和0.125 6. 和 题型3：利用倒数特征进行基础计算（基础综合，简化计算） 典型例题：计算下列各题（利用倒数特征简化，写出关键步骤） （1） （2） （3） （4） （5） 解题思路：核心技巧：先观察算式中是否有“互为倒数”的两个数，优先计算这两个数的乘积（结果为1），再用1乘剩余的数，简化计算过程，避免繁琐运算。 解题过程（突出简化步骤，贴合课堂讲解） 1. ： 观察：和互为倒数，乘积为1； 计算：； 结果：1。 2. ： 观察：先将0.6化为，和互为倒数，乘积为1； 计算：； 结果：1。 3. ： 观察：先将化为，和互为倒数，乘积为1； 计算：； 结果：1。 4. ： 观察：和互为倒数，优先计算； 计算：； 结果：（或0.6）。 5. ： 观察：0.8和1.25互为倒数（0.8×1.25=1），优先计算； 计算：； 结果：。 跟踪训练 计算下列各题（利用倒数特征简化，写出关键步骤）： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 题型4：与倒数有关的混合计算（进阶提高，贴合课本拓展） 典型例题：计算下列各题（先找倒数简化，再计算，写出完整步骤） （1） （2） （3） （4） 解题思路：遵循“先找倒数→优先计算互为倒数的乘积→再算剩余部分”的顺序，混合计算中，无论互为倒数的数在哪个位置，都可优先结合计算（乘法交换律、结合律，北师大版五年级下册重点铺垫），简化运算。 解题过程（规范步骤，突出技巧） 1. ： 第一步：找互为倒数的数：和，乘积为1； 第二步：利用乘法交换律，调整顺序优先计算：； 第三步：计算：； 结果：。 2. ： 第一步：找互为倒数的数：和，乘积为1； 第二步：优先计算互为倒数的部分：； 第三步：计算：（或）； 结果：0.6（或）。 3. ： 第一步：找互为倒数的数：先将化为，和互为倒数，乘积为1； 第二步：优先计算：； 第三步：计算：； 结果：。 4. ： 第一步：找互为倒数的数：和，乘积为1； 第二步：调整顺序优先计算：； 第三步：计算：（或）； 结果：0.5（或）。 跟踪训练：计算下列各题（先找倒数简化，再计算，写出完整步骤） 1. 2. 3. 4. 5. 练习巩固 1．若a与b互为倒数，则的结果是( )。 2．( )( )( )( )。 3．与( )互为倒数，( )的倒数是1，0.5的倒数是( )。 4．的倒数是( )；0.25的倒数( )。 5．的倒数是( )；( )的倒数是它本身。 6．如果，那么a＋b＝( )。 7．一个数与的积是1，这个数的倒数是( )；一个数的倒数是2，这个数是( )。 8．( )的倒数是它本身，( )没有倒数。最小的质数的倒数是( )，最小的合数的倒数是( )。 9．已知x＞0，当x( )5时，的倒数大于它本身；当x( )5时，的倒数等于它本身；当x( )5时，的倒数小于它本身。（填“＞”“＜”或“＝”） 10．一个八位数，千万位上的数字是最小质数的平方，十万位上的数字是一位数中最大的合数，千位上的数字是0.5的倒数，其余各位都是0，这个数写作( )，省略万位后面的尾数约是( )万。 11．m和n互为倒数，且m＞n，m＋n＝4.25，m和n分别是多少？ 12．一个数和它的倒数的和是8.125，这个数是多少？ 13．若与互为倒数，则的结果是多少？ 14．两个自然数的倒数的和是，这两个自然数中较小的是几？ 15．已知两个不同自然数的倒数和是，这两个自然数分别是多少？ 16．一个真分数与它的倒数的和是5.2，这个真分数是多少？ 17．已知两个质数的倒数和是，求这两个质数是多少？ 题型1：求各类数的倒数 答案（步骤略，核心结果）： 1. （验证：） 2. （验证：） 3.（验证：） 4. （验证：） 5. （验证：） 6.（验证：） 解析：重点注意小数、带分数的转化，如0.375先化为，再求倒数；先化为，再求倒数。 题型2：判断两个数是否互为倒数 答案（验证过程略，核心结论）： 1. 互为倒数（乘积=1） 2. 互为倒数（0.7=，乘积=1） 3. 互为倒数（3.5=，） 4. 互为倒数（，乘积=1） 5. 互为倒数（乘积=1） 6. 互为倒数（乘积=1） 题型3：利用倒数特征进行基础计算 答案（步骤略，核心结果）： 1. 1 2. 1 3. 1 4. 5. 6. 0.9（或） 解析：优先计算互为倒数的两个数，乘积为1，再乘剩余数，如第4题，，。 题型4：与倒数有关的混合计算 答案（步骤略，核心结果）： 1. 2. 0.8（或） 3. 4. 0.36 5. 1.2（或） 解析：利用乘法交换律、结合律，优先计算互为倒数的部分，如第1题，，。 练习巩固 1．12 【分析】互为倒数的两个数的乘积是1，a与b互为倒数，则ab＝1，根据分数乘分数的计算方法，分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母，把化为，再把ab＝1代入即可解答。 【详解】a与b互为倒数，则ab＝1。 ＝＝＝＝12 所以若a与b互为倒数，则的结果是12。 2． 【分析】根据倒数的定义可知乘积为1的两个数互为倒数，分别求出各括号内的数。 【详解】 ， ， 所以。 3． //1.4 1 2 【分析】乘积为1的两个数互为倒数。求一个分数的倒数，只需要将分子、分母交换位置即可； 1的倒数还是1； 求一个小数的倒数，先把小数转化为分数，再按照分数求倒数的方法求解。 【详解】根据分析： 0.5＝，的倒数是2，所以0.5的倒数是2； 即与互为倒数，1的倒数是1，0.5的倒数是2。 4． 4 【分析】求带分数的倒数的方法：先将带分数转化成假分数，然后把分子和分母互换位置即可。 求小数倒数的方法：先将小数化成分数，再把分子和分母互换位置即可。 【详解】＝ 的倒数是， 即的倒数是； 0.25＝ 的倒数是4， 即0.25的倒数是4。 的倒数是；0.25的倒数是4。 5． / 1 【分析】乘积是1的两个数互为倒数；求一个真分数或假分数的倒数，只需要将分子、分母交换位置即可。1的倒数是它本身。 【详解】的倒数是，1的倒数是它本身。 6． 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，据此分别算出a、b的大小，即可算出的答案。 【详解】因为，即，， 的倒数是5，4的倒数是 所以, 所以如果，那么。 7． 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，据此可知：一个数与另一个数的乘积为1，则这两个数互为倒数；求一个数的倒数就是用1除以这个数，据此解答。 【详解】1÷2＝ 一个数与的积是1，这个数的倒数是；一个数的倒数是2，这个数是。 8． 1 0 【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数。因为1乘1等于1，所以1的倒数是它本身；因为0乘任何数都得0，所以0没有倒数；最小的质数是2，最小质数的倒数就是求2的倒数，用1除以2即可；最小的合数是4，最小合数的倒数就是求4的倒数，用1除以4即可。 【详解】由分析可知，1的倒数是它本身，0没有倒数。 ， 最小的质数的倒数是，最小的合数的倒数是。 9． ＜ ＝ ＞ 【分析】求一个分数的倒数就是把它的分子和分母交换位置。真分数的倒数大于它本身，假分数的倒数小于或等于它本身。 【详解】当时，的倒数是，当＞时，是真分数，；当＝时，＝1，；当＜时，是假分数，； 故答案为：＜；＝；＞ 10． 40902000 4090 【分析】质数是大于1的自然数，除了1和它本身之外，没有其他因数。合数是大于1的自然数，除了1和它本身之外，还有其他因数。最小的质数是2，其平方为4；一位数中最大的合数是9；0.5的倒数是2。根据题目要求：千万位上是4，十万位上是9，千位上是2，其余各位都是0。按数位写出这个八位数即可。省略万位后面的尾数，需要看这个数的千位，因千位上是2，直接将千位以后的数字全部舍去，同时在后面写上单位“万”字。据此解答。 【详解】最小的质数是2；224，千万位是4。 一位数中最大的合数是9，十万位是9。 0.5的倒数是2，千位是2。 所以这个八位数是：40902000 40902000≈4090万 这个数写作40902000，省略万位后面的尾数约是4090万。 11．4； 【分析】首先将m和n的和4.25转换为带分数，得到，又已知m和n互为倒数，所以mn等于1，将其拆分为4＋，再根据m＞n，即可得到m＝4，n＝。 【详解】4.25＝＝ 因为m＋n＝4.25，m和n互为倒数，mn＝1，且m＞n。 所以m＝4，n＝。 12．8或 【分析】根据倒数的定义可知，一个整数的倒数小于或等于1，根据它们的和大于1，可得出它们和的整数部分就是这个数，小数部分就是它的倒数。 【详解】，8和互为倒数，所以这个数是8或。 答：这个数是8或。 13． 【分析】根据倒数的定义可知，代入计算即可。 【详解】因为与互为倒数，所以 答：的结果是。 14．9 【详解】＝+ 所以这两个自然数中较小的是9。 15．3,8 【详解】＝＋＝＋　所以这两个自然数分别是3和8． 16． 【分析】把5.2化成带分数的形式是， 由此可以判断这个真分数是，它的倒数是5，它们的和是. 【详解】5.2=5=5+ 答：这个真分数是 ． 17．5和7 【分析】质数是大于1的自然数，除了1和它本身之外，没有其他因数。已知两个质数的倒数和是，首先要明确：两个质数的倒数相加时，通分后的分母是这两个质数的乘积，分子是这两个质数的和。因此我们可以先对分母35分解质因数，再验证分子是否符合两个质数的和的条件。 【详解】分解分母的质因数： 35＝5×7 验证分子是否匹配： 5＋7＝12，与倒数和的分子12一致。 验证5和7的倒数和： 结果与题目中两个质数的倒数和是一致。 答：这两个质数是5和7。 【点睛】“已知两个质数的倒数和求这两个质数”的问题，关键在于抓住分数加法的通分规律：两个质数的倒数相加，分母是两个质数的积，分子是两质数的和。解题时先对倒数和的分母分解质因数，再验证分解后的质数之和是否等于分子，即可快速确定答案。 1 学科网（北京）股份有限公司 $