专题06：组合体的表面积（长方形、正方形）（计算专项训练）数学北师大版五年级下册

专题06：组合体的表面积（长方形、正方形） 计算专项训练 一、基础回顾（组合体必备前提） 组合体的表面积计算，核心是“先算单一长方体、正方体表面积总和，再减去重叠（贴合）部分的面积”，需先熟练掌握单一图形的表面积公式，明确组合体的构成特点（无重叠、单处重叠、多处重叠）。 1.正方体特征与表面积公式：正方体有6个完全相同的正方形面，12条长度相等的棱，用字母表示棱长； 完整正方体表面积：（6个正方形面的面积和）。 2.长方体特征与表面积公式：长方体有3组相对的完全相同的长方形面，12条棱分3组（长、宽、高）； 完整长方体表面积：。 二、组合体表面积的核心解题原则（重中之重） 1.核心公式：组合体表面积 = 所有单一图形表面积总和 - 2×重叠面面积（关键提醒：两个图形贴合，会有2个相同的面被遮住，需减去2倍重叠面面积，而非1倍）； 2.关键步骤：① 确定组合体由几个长方体、正方体组成；② 计算每个单一图形的完整表面积，求和；③ 找到所有重叠面，计算重叠面总面积（每个重叠处算1个面的面积，再乘2）；④ 用总和减去重叠面总面积，得到组合体表面积。 题型1：正方体与正方体组合（单处重叠，最基础） 典型例题：两个棱长为5厘米的正方体，将它们的一个面完全贴合，拼成一个大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？ 解题思路：先判断组合方式：2个正方体单处重叠（1个面贴合），步骤为：① 算2个正方体的表面积总和；② 找到重叠面（正方形，面积）；③ 用总和减去2×重叠面面积（2个面被遮住）。 解题过程 步骤1：计算1个正方体的表面积； （平方厘米）； 步骤2：计算2个正方体的表面积总和； （平方厘米）； 步骤3：计算重叠面面积及需减去的面积； 重叠面是边长5厘米的正方形，面积（平方厘米）； 被遮住的总面积（2个面）：（平方厘米）； 步骤4：计算组合体（大长方体）的表面积； （平方厘米）； 答：这个大长方体的表面积是250平方厘米。 跟踪训练 1. 两个棱长为4分米的正方体，将它们的一个面完全贴合，拼成一个大长方体，求大长方体的表面积。 2. 三个棱长为3厘米的正方体，依次将每个正方体的一个面与前一个正方体贴合（单处重叠两次），拼成一个大长方体，求大长方体的表面积。 题型2：长方体与长方体组合（单处重叠，不同面重叠） 典型例题：一个长方体长10厘米、宽6厘米、高4厘米，另一个长方体长8厘米、宽6厘米、高3厘米，将它们的宽×高的面完全贴合（单处重叠），拼成一个大组合体，求这个组合体的表面积。 解题思路：关键：先确定重叠面的形状和面积（本题重叠面是“宽×高”，需先确认两个长方体贴合的面尺寸一致：6×4和6×3？不，贴合面需完全重合，因此实际重叠面为6×3，贴合后大组合体的长为10+8=18厘米，宽6厘米，高3厘米，也可按“总和减2×重叠面面积”计算，两种方法验证）。 解题过程 方法一：总和减重叠面面积（通用方法）； 步骤1：计算第一个长方体表面积； （平方厘米）； 步骤2：计算第二个长方体表面积； （平方厘米）； 步骤3：表面积总和； （平方厘米）； 步骤4：计算重叠面面积及需减去的面积（重叠面：6×3，2个面被遮住）； （平方厘米）； 步骤5：组合体表面积； （平方厘米）； 方法二：直接算大组合体表面积（验证）； 贴合后大组合体：长10+8=18cm，宽6cm，高3cm； （平方厘米）？ 修正：贴合面需完全重合，因此调整贴合方式：两个长方体的“6×4”和“6×4”贴合（假设第二个长方体高为4厘米，贴合后长10+8=18cm，宽6cm，高4cm）； （平方厘米），对应总和减重叠面：248 + 2×(8×6+8×4+6×4)=248+208=456，456-2×(6×4)=456-48=408（平方厘米）； 答：这个组合体的表面积是408平方厘米。 跟踪训练 1. 一个长方体长9厘米、宽5厘米、高3厘米，另一个长方体长7厘米、宽5厘米、高3厘米，将它们的长×宽的面完全贴合，求组合体的表面积。 2. 一个长方体长12分米、宽8分米、高5分米，另一个长方体长8分米、宽8分米、高5分米，将它们的宽×高的面完全贴合，求组合体的表面积。 题型3：长方体与正方体组合（单处重叠，高频考点） 典型例题：一个棱长为6厘米的正方体，放在一个长12厘米、宽8厘米、高7厘米的长方体的上面，将正方体的一个面与长方体的上面完全贴合（贴合面完全重合），求这个组合体的表面积。 解题思路：组合方式：正方体放在长方体上面，单处重叠（正方体的一个面与长方体的上面部分重叠，重叠面为正方体的一个面，面积），核心：总和减2×重叠面面积（正方体1个面、长方体1个面被遮住，共2个面）。 解题过程 步骤1：计算正方体的表面积； （平方厘米）； 步骤2：计算长方体的表面积； （平方厘米）； 步骤3：计算表面积总和； （平方厘米）； 步骤4：计算重叠面面积及需减去的面积（重叠面：6×6，2个面被遮住）； （平方厘米）； 步骤5：计算组合体的表面积； （平方厘米）； 答：这个组合体的表面积是616平方厘米。 跟踪训练 1. 一个棱长为5分米的正方体，放在一个长10分米、宽7分米、高6分米的长方体上面，将正方体的一个面与长方体上面完全贴合，求组合体的表面积。 2. 一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体，放在一个棱长为7厘米的正方体上面，将长方体的长×宽的面与正方体上面完全贴合，求组合体的表面积。 题型4：有凹陷的组合体（挖去小长方体/正方体，易错题型） 典型例题：一个长10厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体，在它的上面正中间挖去一个棱长为3厘米的正方体（挖穿上面，不挖穿整个长方体），求挖去后组合体的表面积。 解题思路：易错点：挖去正方体后，不是“长方体表面积减正方体2个面的面积”，而是“长方体表面积 - 正方体1个上面的面积 + 正方体4个侧面的面积”（挖去后，上面少1个正方形面，但内部多了4个正方形侧面）；核心：凹陷处，减少1个面，增加4个面。 解题过程 步骤1：计算原长方体的表面积； （平方厘米）； 步骤2：分析挖去正方体后的面积变化； - 减少的面积：长方体上面被挖去的1个正方形面（3×3）； - 增加的面积：正方体的4个侧面（挖去后露出的内部面，每个面3×3）； 步骤3：计算变化后的总面积； 增加的总面积：（平方厘米）； 减少的总面积：（平方厘米）； 组合体表面积：（平方厘米）； 答：挖去后组合体的表面积是403平方厘米。 跟踪训练 1. 一个棱长为10分米的正方体，在它的一个面正中间挖去一个棱长为4分米的正方体（不挖穿整个正方体），求挖去后组合体的表面积。 2. 一个长12厘米、宽9厘米、高7厘米的长方体，在它的前面正中间挖去一个长4厘米、宽3厘米、高5厘米的小长方体（不挖穿），求挖去后组合体的表面积。 练习巩固 1．计算下面图形的表面积。（单位：cm） 2．如下图，一个物体摆放在地面上，露在外面的面积是多少？（单位：dm） 3．计算下面图形的表面积。 4．求下图的表面积。（单位：cm） 5．求出下面放在地面上的物体露在外面的面积。（单位：cm） 6．计算下面图形的表面积。（单位：cm） 7．由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为( )。 8．4个棱长为2cm的正方体木箱放在墙角处（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )cm2。 9．李老师把棱长为3分米的正方体纸箱放在墙角处（下图），一共放了( )个纸箱，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方分米。 10．如下图，一个棱长为3厘米的正方体，在它的6个面的正中心各挖去一个边长1厘米的正方形的孔和对面打通，做成一个零件，它的表面积是( )。 11．小正方体棱长是8厘米，求外露面的面积。 12．下面是由6个棱长均为3cm的小正方体拼成的物体，它有几个面露在外面？露在外面的面积是多少？ 13．6个棱长都是20厘米的正方体纸箱堆放在墙角处（如下图），露出多少个面？露在外面的面积是多少平方厘米？ 14．下图是一个左右对称、前后一致的立体零件。该零件上下底面是正方形，高为8厘米，正面凹陷处为腰长5厘米的等腰三角形，底边对应的高为3厘米，请你尝试计算这个立体图形的表面积。 15．某超市的仓库里有6个棱长为20cm的正方形纸箱，如下图。 （1）一共有（    ）个面露在外面。 （2）李阿姨想给露在外面的面贴上防潮膜，她至少要买多少平方厘米的防潮膜？ （3）改变摆法，露在外面的面积会发生变化吗？为什么？ 16．如下图，将棱长为2cm的正方体按以下方式摆放在桌子上，你发现了什么规律？ （1）找规律，填一填。 正方体个数 1 2 3 4 5 … 露在外面的面/个 露在外面的面积/cm2 我发现：每增加1个正方体就增加（    ）个露在外面的面。当摆放n个正方体时，有（    ）个面露在外面。 （2）将7个按上面的方式摆放在桌面上，有（    ）个面露在外面，露在外面的面积是（    ）cm2。 题型1：正方体与正方体组合 答案：（1）192平方分米；（2）126平方厘米 解析：（1）1个正方体表面积，2个总和，重叠面面积，组合体表面积？ 修正：（1）平方分米；（2）3个正方体总和，重叠2次，减去，表面积平方厘米。 题型2：长方体与长方体组合 答案：（1）286平方厘米；（2）552平方分米 解析：（1）两个长方体表面积总和，重叠面，减去，？ 修正：（1）贴合后长9+7=16cm，宽5cm，高3cm，表面积平方厘米。 题型3：长方体与正方体组合 答案：（1）470平方分米；（2）374平方厘米 解析：（1）正方体表面积，长方体表面积，总和，减去，？ 修正：（1）平方分米；（2）长方体表面积，正方体表面积，总和，减去，平方厘米。 题型4：有凹陷的组合体 答案：（1）664平方分米；（2）494平方厘米 解析：（1）原正方体表面积，挖去后增加，减少，？ 修正：（1）平方分米；（2）原长方体表面积，增加，减少，平方厘米。 练习巩固 1．376平方厘米 【分析】看图可知，在长方体的顶点挖去一个长方体，看上去表面积少了3个面，里面又出现了同样的3个面，因此这个立体图形的表面积就是完整的长方体表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【详解】 （平方厘米） 它的表面积是376平方厘米。 2．200dm² 【分析】物体的上面是两个长方形组成，一个长为10分米，宽为2分米，另一个长为10分米，宽为6分米，根据长方形的面积＝长×宽，分别计算它们的面积再相加； 物体的侧面是两个相同的长方形组成，一个长为10分米，宽为分米，根据长方形的面积＝长×宽，计算一个长方形的面积再乘2； 物体的前面和后面是两个相同的组合图形组成，可看作由一个长为4分米，宽为2分米，另一个长为6分米，宽为2分米的长方形组成的组合图形，根据长方形的面积＝长×宽，先计算一个组合图形的面积再乘2； 将所有露在外面的面的面积相加起来，即可解答。 【详解】 （平方分米） 露在外面的面积是200平方分米。 3．2400cm2 【分析】观察可知，在长方体的顶点处切去一个正方体，看上去表面积减少了3个正方形的面，里面又出现了同样的3个正方形的面，因此这个图形的表面积＝长方体的表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【详解】（30×20＋30×12＋20×12）×2 ＝（600＋360＋240）×2 ＝1200×2 ＝2400（cm2） 这个图形的表面积是2400cm2。 4．252平方厘米 【分析】观察图形可知，这个立体图形的表面积比长方体和正方体的表面积之和少了2个小正方形的面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此解答。 【详解】（10×6＋6×3＋10×3）×2＋3×3×（6－2） ＝（60＋18＋30）×2＋3×3×4 ＝108×2＋36 ＝216＋36 ＝252（平方厘米） 则这个图形的表面积是252平方厘米。 5．148cm2 【分析】观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体露在外面的面积是上面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”即可求出这5个面的面积之和； 而正方体露在外面的面积只有4个面（前后面和左右面）的面积，根据“棱长×棱长×4” 即可求出这4个面的面积之和； 最后把长方体露在外面的面积加上正方体露在外面的面积，即是放在地面上的物体露在外面的面积。 【详解】8×3＋8×4×2＋3×4×2＋3×3×4 ＝24＋64＋24＋36 ＝148（cm2） 放在地面上的物体露在外面的面积是148cm2。 6．134cm2 【分析】认真观察此图形，可以将图形理解为上边一个小长方体，下边一个大长方体。把上边小长方体的上面下移到大长方体的上面，由此我们就可以分析出组合图形的表面积为一个长宽高分别为5cm、（4＋1）cm、3cm大长方体的表面积与一个长宽高分别为5cm、1cm、2cm的小长方体前后、左右四个面的面积之和。 【详解】4＋1＝5（cm） （5×5＋5×3＋5×3）×2＋5×2×2＋2×1×2 ＝（25＋15＋15）×2＋10×2＋2×2 ＝55×2＋20＋4 ＝110＋20＋4 ＝134（cm2） 7．50 【分析】首先数出露出的面的数量，前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。那么露出的面一共是50个，再根据正方形的面积计算公式正方形的面积＝边长边长，求出边长为1的正方形的面积，再乘50即可解答。 【详解】前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。 （个） （） 由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积是50。 8． 8 32 【分析】放在墙角处的正方体，有三个面靠墙（分别是与墙面、地面接触的面），需要从不同方向（正面、上面、侧面）观察露在外面的面，从上面看有2个面露在外面，从正面看有4个面露在外面，从侧面看有2个面露在外面。然后把这些面相加即可得到露在外面的面的总数。然后根据正方形面积公式S＝a2（a为正方体棱长）算出一个面的面积，再乘面的个数得到总面积。 【详解】2＋4＋2＝8（个） 22＝2×2＝4（cm2） 4×8＝32（cm2） 有8个面露在外面，露在外面的面积是32cm2。 9． 9 16 144 【分析】根据题意，先数纸箱个数：分层数，最上层1个，中间层3个，最下层5个，将各层个数相加得到总纸箱数；再数露在外面的面：从正面、侧面、上面三个方向分别计数，正面数出一定数量的面，侧面数出对应数量的面，上面数出对应数量的面，三者相加得到露在外面的总面数；最后计算露在外面的面积：先根据正方形面积公式“面积＝边长×边长”算出一个面的面积，再用一个面的面积乘露在外面的总面数，据此解答。 【详解】数纸箱个数：1＋3＋5＝9（个） 数露在外面的面：正面5个＋侧面6个＋上面5个＝16（个） 计算露在外面的面积：3×3×16＝9×16＝144（平方分米） 综上所述可得，一共放了9个纸箱，有16个面露在外面，露在外面的面积是144平方分米。 10．72平方厘米/72cm2 【分析】根据题干分析可得，这个零件的表面积＝棱长3厘米的正方体的表面积＋正方体内部6个长、宽、高分别为1厘米、1厘米、（3－1）÷2厘米的长方体的侧面积的和，再减去6个正方体面上的边长为1厘米的6个面的面积，据此列式计算。 【详解】（3－1）×2 ＝2÷2 ＝1（厘米） 3×3×6＋1×1×4×6－1×1×6 ＝54＋24－6 ＝72（平方厘米） 它的表面积是72平方厘米。 【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用正方体和长方体表面积公式。 11．2112平方厘米 【分析】观察图形，从正面观察，最上层是1个小正方形，中间是2个小正方形，下层是3个小正方形，一共有1＋2＋3个小正方形，一共4个面，再乘4，求出侧面一共有多少个小正方形，即（1＋2＋3）×4；再从上面观察，有9个小正方形，一共有（1＋2＋3）×4＋9个小正方形；再根据正方形面积公式：边长×边长，代入数据，求出一个小正方形面积，再乘求出小正方形的个数，即可解答。 【详解】（1＋2＋3）×4＋9 ＝（3＋3）×4＋9 ＝6×4＋9 ＝24＋9 ＝33（个） 8×8×33 ＝64×33 ＝2112（平方厘米） 答：露面的面积是2112平方厘米。 【点睛】解答本题的关键是数出露在外面的小正方形的面的个数，利用三视图看到的图形，进行解答；要仔细认真。 12．21个面；189cm² 【详解】3×3×(6×2+3×3)=189（cm²） 13．13个；5200平方厘米 【分析】观察图形可知，从正面看露在外面的正方形有4个，从右面看露在外面的正方形有4个，从上面看露在外面的正方形有5个，所以露在外面的正方形共有4＋4＋5＝13个。根据正方形的面积＝边长×边长，据此求出正方形的面积；最后用一个正方形的面积乘正方形的个数即可。 【详解】4＋4＋5＝13（个） 20×20×13 ＝400×13 ＝5200（平方厘米） 答：露出13个面，露在外面的面积是5200平方厘米。 14．512平方厘米 【分析】根据题意可知，这个立体图形的表面积＝上下2个边长为10厘米的正方形面积＋左右4个长为10厘米，宽为5厘米的长方形面积＋前后两个（长为10厘米，宽为8厘米的正方形面积－2个底为8厘米，高为3厘米的三角形面积）的图形的面积；根据正方形面积＝边长×边长；长方形面积＝长×宽；三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】10×10×2＋10×5×4＋（10×8－8×3÷2×2）×2 ＝100×2＋50×4＋（80－24÷2×2）×2 ＝200＋200＋（80－12×2）×2 ＝200＋200＋（80－24）×2 ＝200＋200＋56×2 ＝200＋200＋112 ＝400＋112 ＝512（平方厘米） 答：这个立体图形的表面积是512平方厘米。 15．（1）11     （2）20×20×11＝4400（cm2） （3）改变摆法，露在外面的面积可能不变，也可能会发生变化，因为露在外面的面数不确定。 【分析】（1）分别从正面，上面，右面数露在外面的面数，再分别相加； （2）先求出每个小正方形面的面积，据此再乘11就是露在外面的总面积； （3）改变摆法，露在外面的面积可能不变，也可能会发生变化，因为露在外面的面数不确定。 【详解】（1）正面3个正方形，右面4个正方形，上面4个正方形 （个） （2）（平方厘米） 答：露在外面的面积是4400平方厘米。 （3）改变摆法，露在外面的面积可能不变，也可能会发生变化，因为露在外面的面数不确定. 16．（1）5；8；11；14；17；20；32；44；56；68；3；3n＋2；（2）23；92 【分析】（1）观察图形，小正方体的个数为1时，露在外面的面有5个面，小正方体的个数为2时，露在外面的面有个面，小正方体的个数为3 时，露在外面的面有个面，小正方体的个数为4时，露在外面的面有个面。依次类推，小正方体的个数为n时，露在外面的面有个面；正方体一个面的面积是正方体的棱长乘棱长，再乘露在外面的面的个数，即可求出露在外面的面积； （2）当时，把数据代入，即可求出有多少个露在外面的面；再用正方体一个面的面积乘露在外面的面的个数，即可求出露在外面的面积。据此解答。 【详解】（1）正方体一个面的面积是（cm） 正方体个数为1时，露在外面的面的个数为5个，露在外面的面积（cm） 正方体个数为2时，露在外面的面的个数为（个），露在外面的面积（cm） 正方体个数为3时，露在外面的面的个数为（个），露在外面的面积（cm） 正方体个数为4时，露在外面的面的个数为（个），露在外面的面积（cm） 正方体个数为5时，露在外面的面的个数为（个），露在外面的面积（cm） 正方体个数为n时，露在外面的面的个数为（个） 正方体个数 1 2 3 4 5 露在外面的面/个 5 8 11 14 17 露在外面的面积/cm 20 32 44 56 68 我发现：每增加1个正方体就增加（ 3 ）个露在外面的面。当摆放n个正方体时，有（）个面露在外面。 （2）当时，                           （cm） 将7个按上面的方式摆放在桌面上，有23个面露在外面，露在外面的面积是92cm2 1 学科网（北京）股份有限公司 $