专题13：解等号两边都有未知数的方程（计算专项训练）数学北师大版四年级下册

专题13：解等号两边都有未知数的方程 计算专项训练 一、等号两边都有未知数的方程的意义（衔接前文知识点） 1.定义：方程的等号两边都含有未知数（如 、），叫做等号两边都有未知数的方程。它是在一步方程、含括号方程的基础上拓展而来，核心仍依托等式的性质1和性质2求解。 2.通俗理解：等号两边都有时，不能直接孤立单个，需先通过等式性质1，将等号一边的“移”到另一边（本质是两边同时加、减同一个含的式子），把方程转化为我们已学的一步方程或含括号方程，再逐步求解。 二、解等号两边都有未知数的方程的核心步骤 1.核心思路：转化思想——通过等式性质1，消去等号一边的未知数，将方程转化为一步方程（如 ）或含括号方程，再遵循前文步骤求解，最后检验。 2.规范解题步骤（以 为例）： ① 写“解”字，标注方程：解：； ② 消去一边的未知数（优先消去系数小的，利用等式性质1）：等式两边同时减，得 ； ③ 化简方程，转化为一步方程：（可调整为 ，贴合习惯）； ④ 解一步方程（利用等式性质1和2）：两边同时加2，得 ；两边同时除以2，得 ； ⑤ 检验（必不可少，步骤与前文一致）：把 代入原方程，左边=，右边=，左边=右边，所以 是原方程的解。 题型1：两边均为“未知数×数 ± 0”（基础题，核心考点） 典型例题：运用等式的性质，解下列方程，并检验 （1） （2） （3） 解题思路：此类方程不含常数项（或常数项在一边），重点运用等式性质1，两边同时减“系数较小的未知数”，直接消去一边的，转化为一步方程求解，步骤最简。 解题过程： （1）解： 等式两边同时减（消去右边的，遵循等式性质1，两边同时减同一个含的式子） 化简得： 检验：把代入原方程，左边=，右边=，左边=右边，所以是原方程的解。 （2）解： 等式两边同时减（消去右边的，系数较小） 化简得： 等式两边同时加4（利用等式性质1） 化简得： 等式两边同时除以2（利用等式性质2） 检验：把代入原方程，左边=，右边=，左边=右边，所以是原方程的解。 （3）解： 等式两边同时减（消去右边的，系数较小） 化简得： 等式两边同时除以4（利用等式性质2） 检验：把代入原方程，左边=，右边=，左边=右边，所以是原方程的解。 跟踪训练：解下列方程，并检验 （1） （2） （3） （4） （5） 题型2：两边均为“未知数×数 ± 不同常数”（提升题，重点难点） 典型例题：运用等式的性质，解下列方程，并检验 （1） （2） （3） 解题思路：此类方程两边既有未知数，又有不同的常数项，步骤分两步：① 用等式性质1消去一边的未知数（系数较小的）；② 用等式性质1、2处理常数项，转化为一步方程求解，注意符号规范。 解题过程： （1）解： 等式两边同时减（消去左边的，系数小于5x） 化简得：（调整为习惯形式：） 等式两边同时加2（利用等式性质1，消去左边的-2） 化简得： 等式两边同时除以2（利用等式性质2） 检验：把代入原方程，左边=，右边=，左边=右边，所以是原方程的解。 （2）解： 等式两边同时减（消去右边的，系数较小） 化简得： 等式两边同时加3（利用等式性质1） 化简得： 等式两边同时除以2（利用等式性质2） 检验：把代入原方程，左边=，右边=，左边=右边，所以是原方程的解。 （3）解： 等式两边同时减（消去左边的，系数较小） 化简得：（调整为习惯形式：） 等式两边同时加4（利用等式性质1） 化简得： 等式两边同时除以3（利用等式性质2） 检验：把代入原方程，左边=，右边=，左边=右边，所以是原方程的解。 易错提醒：消去未知数后，常数项的符号容易出错，如 ，化简后是 ，不可写成（漏变-2的符号）；也不可跳过“两边同时减3x”的步骤，直接移项。 跟踪训练：解下列方程，并检验 （1） （2） （3） （4） （5） 题型3：含括号的两边有未知数的方程（拓展题，衔接前文） 典型例题：运用等式的性质，解下列方程，并检验 （1） （2） （3） 解题思路：此类方程结合了“含括号”和“两边有未知数”两个特点，步骤分三步：① 先去括号（衔接前文含括号方程的去括号方法，括号外的数乘括号内的每一项）；② 用等式性质1消去一边的未知数；③ 处理常数项，求解并检验。 解题过程： （1）解： 第一步：去括号（括号外的2乘括号内的和3，注意漏乘） 第二步：消去未知数（两边同时减，系数较小） 化简得： 第三步：解一步方程（两边同时减2） 检验：把代入原方程，左边=，右边=，左边=右边，所以是原方程的解。 （2）解： 第一步：去括号（括号外的2乘括号内的和6） 第二步：消去未知数（两边同时减，系数较小） 化简得： 第三步：解一步方程（两边同时减8，再除以2） 检验：把代入原方程，左边=，右边=，左边=右边，所以是原方程的解。 （3）解： 第一步：去括号（括号外的3乘括号内的和-2，注意符号） 第二步：消去未知数（两边同时减，系数较小） 化简得：（调整为习惯形式：） 第三步：解一步方程（两边同时加10，再除以2） 检验：把代入原方程，左边=，右边=，左边=右边，所以是原方程的解。 易错提醒：去括号时，括号外的数要乘括号内的每一项，不可漏乘（如 错误写成 ）；括号内是减法时，去括号后符号要保持不变（如 正确写成 ）。 跟踪训练：解下列方程，并检验 （1） （2） （3） （4） （5） 练习巩固 1．解方程。 9（2x－3）－2＝5（2x－1）         5÷2x＋0.5＝1.5 2．解下列方程。 （10－2x）÷0.3＝5.4            9.5（x－8）＝7.5x÷5 3．解方程。 3.2x－4×3＝52           5x＝3×（x＋4） 4．解方程。（带的写出检验过程） 40（0.85－x）＝2.4       0.3x＋2.4＝0.5x－1.2       2.3x＝4x－4.25 5．解方程。 （x＋12）×0.8＝42−x 6．解方程。（带★的要写出检验过程） （1）x－97＝34.2          （2）★2x＋1.5x＝17.5          （3）（57－3x）÷2＝8x 7．十年前母亲的年龄是女儿的7倍，十年后母亲的年龄是女儿的2倍。现在母亲的年龄是 岁。 8．学校羽毛球队女生原来占，后来有4名女生加入，这样女生人数就占羽毛球队总人数的，现在羽毛球队有女生( )人。 9．用绳子测井的深度，四折而入，则余9米，把绳子剪去18米后，三折而入，则余12米。由此可计算出井的深度为( )米。 10．我校六年级去西湖坐船游玩，每船坐8人，则会余下6人；如果每船坐9人，则余1条船，该年级共有( )人，共有( )条船。 11．妈妈在小红过生日时送给她一本新相册。小红准备把她的照片全部装入相册。如果每页装3张，空3页；如果每页装5张，空9页。小红有 张照片。 12．甲、乙两人在一栋十几层楼的高楼中的某一层，甲向上走，每秒走2级楼梯，乙向下走，每秒走3级楼梯，两人同时出发，结果两人同时到达顶层和底层。已知这栋高楼的每一层之间的楼梯都是18级，他们在这栋楼的第( )层出发。 13．已知小丽父亲今年是她年龄的5倍，6年后她父亲的年龄将是她年龄的3倍，小丽父亲今年的年龄是多少岁？ 14．饲养场养了一些黄牛和奶牛，黄牛的头数是奶牛的2.5倍。奶牛的头数比黄牛少180头。奶牛和黄牛各有多少头？ 15．幼儿园老师给小朋友分苹果，如果每人分4个，那么就多出10个苹果；如果每人分6个，那么有2个小朋友未分到苹果。一共有几个小朋友？苹果共有几个？（列方程解决问题） 16．大货车时速88千米，小货车时速64千米，两车同地出发，同向而行。已知小货车先行驶1.5小时后大货车再开出，大货车经过多久能追上小货车？ 17．淘气有230元零花钱，笑笑有310元零花钱。从这个月开始，淘气每个月攒20元，笑笑每个月攒15元。淘气几个月后的零花钱能和笑笑一样多？ 18．五年级学生做操排队。如果每行站11人，则多3人；如果每行站12人，则少7人。请问排了多少行？一共有多少人？（列方程解题） 题型1：两边均为“未知数×数 ± 0”（基础题） 答案： （1）解： → → → ；检验：左边=，右边=，成立； （2）解： → → → ；检验：左边=，右边=，成立； （3）解： → → → ；检验：左边=，右边=，成立； （4）解： → → → ；检验：左边=，右边=，成立； （5）解： → → → ；检验：左边=，右边=，成立。 题型2：两边均为“未知数×数 ± 不同常数”（提升题） 答案： （1）解： → → → ；检验：左边=，右边=，成立； （2）解： → → → ；检验：左边=，右边=，成立； （3）解： → → → ；检验：左边=，右边=，成立； （4）解： → → → ；检验：左边=，右边=，成立； （5）解： → → → ；检验：左边=，右边=，成立。 题型3：含括号的两边有未知数的方程（拓展题） 答案： （1）解： → → → ；检验：左边=，右边=，成立； （2）解： → → → → ；检验：左边=，右边=，成立； （3）解： → → → → ；检验：左边=，右边=，成立； （4）解： → → → ；检验：左边=，右边=，成立； （5）解： → → → → ；检验：左边=，右边=，成立。 练习巩固 1．x＝3；x＝2.5 【分析】（1）先根据乘法分配律将括号去掉，然后能计算的先计算化简。接下来根据等式的基本性质在方程的两边同时加上29，此方程就可以化简为18x＝10x＋24，再在方程的两边同时减去10x，将此方程化简为8x＝24，最后方程两边同时除以8即可解出x等于多少。 （2）根据等式的基本性质在方程的两边同时乘2x，即方程的每一项都乘2x，将此方程转化为5＋x＝3x，再在方程的两边同时减去x，将此方程化简为5＝2x，最后方程两边同时除以2即可解出x等于多少。 【详解】（1）9（2x－3）－2＝5（2x－1） 解：18x－27－2＝10x－5 18x－29＝10x－5 18x－29＋29＝10x－5＋29 18x＝10x＋24 18x－10x＝10x＋24－10x 8x＝24 8x÷8＝24÷8 x＝3 （2）5÷2x＋0.5＝1.5 解： 5÷2x×2x＋0.5×2x＝1.5×2x 5＋x＝3x 5＋x－x＝3x－x 5＝2x 5÷2＝2x÷2 2.5＝x x＝2.5 2．x＝4.19；x＝9.5 【分析】（1）根据等式的性质，方程的两边先同时乘0.3，再同时加上2x，把方程变为1.62＋2x＝10，然后方程的两边先同时减去1.62，再同时除以2，求出方程的解； （2）先把方程化简成9.5x－76＝1.5x，然后根据等式的性质，方程的两边先同时减去1.5x，把方程化为8x－76＝0，然后方程的两边先同时加上76，再除以8，求出方程的解。 【详解】（1）（10－2x）÷0.3＝5.4 解：（10－2x）÷0.3×0.3＝5.4×0.3 10－2x＝1.62 10－2x＋2x＝1.62＋2x 1.62＋2x＝10 1.62＋2x－1.62＝10－1.62 2x＝8.38 2x÷2＝8.38÷2 x＝4.19 （2）9.5（x－8）＝7.5x÷5 解：9.5x－76＝1.5x 9.5x－76－1.5x＝1.5x－1.5x 8x－76＝0 8x－76＋76＝0＋76 8x＝76 8x÷8＝76÷8 x＝9.5 3．x＝20；x＝6 【分析】（1）先将原式化简为3.2x－12＝52，再根据等式的性质1，方程两边同时加上12，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以3.2，即可求解。 （2）先将原式改写为5x＝3x＋12，再根据等式的性质1，方程两边同时减去3x，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以2，即可求解。 【详解】（1）3.2x－4×3＝52 解：3.2x－12＝52 3.2x－12＋12＝52＋12 3.2x＝64 3.2x÷3.2＝64÷3.2 x＝20 （2）5x＝3×（x＋4） 解：5x＝3x＋12 5x－3x＝3x＋12－3x 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 4．x＝0.79；x＝18；x＝2.5 【分析】（1）方程两边先同时除以40，再同时加上x，把方程变成0.06 ＋x＝0.85，最后方程两边同时减去0.06 即可； （2）方程两边先同时加上1.2，再同时减去0.3x，把方程变成3.6＝0.2x，最后方程两边同时除以0.2即可； （3）方程两边先同时加上4.25，再同时减去2.3x，把方程变成4.25＝1.7x，最后方程两边同时除以1.7即可； 方程的检验：把x的值代入原方程，看左边是否等于右边，如果左边等于右边，说明是方程的解，如果左边不等于右边，说明不是方程的解。 【详解】（1）40（0.85－x）＝2.4 解：40（0.85－x）÷40＝2.4÷40 0.85－x＝0.06 0.85－x＋x＝0.06 ＋x 0.06 ＋x＝0.85 0.06 ＋x－0.06＝0.85－0.06    x＝0.79   （2）0.3x＋2.4＝0.5x－1.2 解：0.3x＋2.4＋1.2＝0.5x－1.2＋1.2 0.3x＋3.6＝0.5x 0.3x＋3.6－0.3x＝0.5x－0.3x 3.6＝0.2x 0.2x÷0.2＝3.6÷0.2    x＝18   （3）*2.3x＝4x－4.25        解：2.3x＋4.25＝4x－4.25＋4.25 2.3x＋4.25＝4x 2.3x＋4.25－2.3x＝4x－2.3x 4.25＝1.7x 1.7x÷1.7＝4.25÷1.7         x＝2.5 检验：把x＝2.5代入原方程； 方程左边＝2.3x＝2.3×2.5＝5.75 方程右边＝4x－4.25＝4×2.5－4.25＝5.75 因为左边＝右边 所以x＝2.5是原方程的解。 5．x＝18 【分析】先根据乘法分配律计算等式左边，再根据等式性质1，方程左右两边同时加上x，再同时减去12×0.8的积，最后再根据等式性质2，两边同时除以1.8即可。 【详解】（x＋12）×0.8＝42−x 解：0.8x＋12×0.8＝42－x 0.8x＋9.6＝42－x 0.8x＋9.6－9.6＝42－x－9.6 0.8x＝32.4－x 0.8x＋x＝32.4－x＋x 1.8x＝32.4 1.8x÷1.8＝32.4÷1.8 x＝18 【点睛】解答此题是的关键是根据乘法分配律计算出方程左边，再根据等式的性质解方程。 6．（1）x＝131.2；（2）x＝5；（3）x＝3 【分析】（1）根据等式的性质1，两边同时加上97即可； （2）首先将左边合并为3.5x，然后根据等式的性质2，两边同时除以3.5，最后把求出的方程的解代入原方程，看看等式左边是否等于右边即可； （3）首先根据等式的性质1和2，两边同时乘2，然后两边再同时加上3x，再两边同时除以19，最后交换左右两边的位置即可。 【详解】（1）x－97＝34.2 解：x－97＋97＝34.2＋97 x＝131.2 （2）2x＋1.5x＝17.5 解：3.5x＝17.5 3.5x÷3.5＝17.5÷3.5 x＝5 检验：当x＝5时， 左边 ＝2×5＋1.5×5 ＝10＋7.5 ＝17.5 ＝右边 因为左边＝右边，所以x＝5是方程2x＋1.5x＝17.5的解。 （3）（57－3x）÷2＝8x 解：（57－3x）÷2×2＝8x×2 57－3x＝16x 57－3x＋3x＝16x＋3x 57＝19x 57÷19＝19x÷19 3＝x x＝3 7．38 【分析】根据“十年前母亲的年龄是女儿的7倍”，可以设十年前女儿是岁，则十年前母亲是7岁； 十年后与十年前相差10＋10＝20年，即十年后两人的年龄都要增加20岁；根据“十年后母亲的年龄是女儿的2倍”可得出等量关系：十年前母亲的年龄＋20＝（十年前女儿的年龄＋20）×2，据此列出方程，并求出方程的解，即十年前女儿的年龄； 用十年前女儿的年龄乘7，求出十年前母亲的年龄，现加上10，即是现在母亲的年龄。 【详解】解：设十年前女儿是岁，则十年前母亲是7岁。 7＋20＝2（＋20） 7＋20＝2＋40 7－2＝40－20 5＝20 ＝20÷5 ＝4 十年前母亲的年龄：4×7＝28（岁） 现在母亲的年龄：28＋10＝38（岁） 所以，现在母亲的年龄是38岁。 8．24 【分析】由题意可知，设羽毛球队总人数有x人，则原来女生有x人，后来有4名女生加入，则总人数变为了（x＋4）人，此时女生人数为（x＋4）×，根据等量关系：原来的女生人数＋4＝现在女生的人数，据此列方程解答求出总人数，再用总人数加上4的和乘即可求解。 【详解】解：设羽毛球队原来的总人数有x人。 x＋4＝（x＋4）× x＋4＝x＋4× x＋4＝x＋ x＋4＝x＋ x－x＝4－ x＝ x÷＝÷ x＝ x＝50 （50＋4）× ＝54× ＝24（人） 则现在羽毛球队有女生24人。 【点睛】本题主要考查用方程解决实际问题，理清4名女生加入前后的人数变化是解题的关键。 9．18 【分析】根据题意，设井的深度为x米，四折而入，则余9米，那么绳长4（x＋9）米；把绳子剪去18米后，三折而入，则余12米，那么绳长3（x＋12）＋18米；根据绳子的全长不变，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设井的深度为x米。 4（x＋9）＝3（x＋12）＋18 4x＋36＝3x＋36＋18 4x＋36＝3x＋54 4x－3x＝54－36 x＝18 井的深度为18米。 10． 126 15 【分析】根据题意，设共有条船；如果每船坐8人，则会余下6人，那么一共有（8＋6）人；如果每船坐9人，则余1条船，即少了9人，那么一共有（9－9）人；两种坐船方式不同，但总人数不变，据此列出方程，并求出方程的解，也就是船的总数量；然后用每船坐的8人乘船的数量，再加上余下的6人，即是该年级的总人数。 【详解】解：设共有条船。 8＋6＝9－9 8＋6－8＝9－9－8 6＝－9 －9＋9＝6＋9 ＝15 15×8＋6 ＝120＋6 ＝126（人） 该年级共有126人，共有15条船。 11．45 【分析】可以设这本新相册有x页，若每页装3张，空3页，照片装了（x－3）页，则照片的总张数＝每页的张数×页数＝3（x－3）。若每页装5张，空9页，照片装了（x－9）页，则照片的总张数＝每页的张数×页数＝5（x－9）。两种装入照片的方式照片的张数是不变的，列出方程。 【详解】解：设这本新相册有x页。 3（x－3）＝5（x－9） 3x－9＝5x－45 3x－9－3x＝5x－45－3x 2x－45＋45＝45－9 2x＝36 2x÷2＝36÷2 x＝18 3×（18－3） ＝3×15 ＝45（张） 则小红有45张照片。 12．7或10 【分析】根据时间相等列出方程，利用总台阶数÷每秒走楼梯级数＝所用时间，则甲到顶层所用时间＝（总楼层数－出发楼层数）×每一层之间的楼梯级数÷甲每秒走楼梯级数；乙到底层所用时间＝（出发楼层数－1）×每一层之间的楼梯级数÷乙每秒走楼梯级数，整理出总楼层数和出发楼层数的关系，通过两者皆为整数，并且楼层数在11—19之间即可求出结果。 【详解】设出发楼层数为层，楼一共有层，题中描述这栋楼为十几层楼的高楼，则； 甲到顶层需走楼梯级数为，时间为； 乙到底层需走楼梯级数为，时间为； 两人所花时间相同则，化简为，即（层）； 因为和均为整数，且，那么： 当时，（层），即他们在这栋楼的第7层出发； 或当时，（层），即他们在这栋楼的第10层出发。 综上可知，他们在这栋楼的第7或10层出发。 【点睛】涉及到这种两人在多层建筑中同时出发，一个向上走，一个向下走，最终同时到达顶层或是底层，需要结合楼层间隔数，每层楼梯层数等信息，通过时间相等或是其他等量关系求出出发楼层数。 13．30岁 【分析】根据题意，今年小丽父亲的年龄是小丽年龄的5倍，设小丽今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为5x岁，那么6年后小丽的年龄为（x＋6）岁，父亲的年龄为（5x＋6）岁，再根据6年后父亲的年龄是小丽年龄的3倍，则6年后父亲的年龄＝小丽年龄×3，根据等量关系列方程求解即可。 【详解】解：设小丽今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为5x岁。 5x＋6＝3（x＋6） 5x＋6＝3x＋18 5x＋6－3x＝3x＋18－3x 2x＋6＝18 2x＋6－6＝18－6 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 5×6＝30（岁） 答：小丽父亲今年的年龄是30岁。 14．奶牛有120头，黄牛有300头。 【分析】由题意知：黄牛的头数是奶牛的2.5倍，则奶牛的数量×2.5＝黄牛的数量，设奶牛有头，则黄牛有头。又知：奶牛的头数比黄牛少180头，则黄牛的数量－180头＝奶牛的数量，根据等量关系列方程求解即可。 【详解】解：设奶牛有头，则黄牛有头。 答：奶牛有120头，黄牛有300头。 15．小朋友11个；苹果54个 【分析】根据题意，设一共有x个小朋友；如果每人分4个，那么就多出10个苹果，则一共有（4x＋10）个苹果；如果每人分6个，那么有2个小朋友未分到苹果，则一共有6（x－2）个苹果；因为苹果的数量不变，据此列出方程并求解，即求出小朋友的人数，进而求出苹果的总数。 【详解】解：设一共有x个小朋友。 4x＋10＝6（x－2） 4x＋10＝6x－12 6x－4x＝10＋12          2x＝22 x＝22÷2       x＝11                  苹果有： 4×11＋10 ＝44＋10 ＝54（个） 答：一共有11个小朋友，苹果有54个。 16．4小时 【分析】设大货车经过x小时追上小货车；根据路程＝速度×时间，大货车时速88千米，大货车x小时行驶88x千米；用64×1.5，先求出小货车1.5小时行驶的路程，小货车x小时行驶64x千米，再求出小货车x小时行驶的路程。根据等量关系式：小货车1.5小时行驶的路程＋x小时行驶的路程＝大货车行驶的路程，列出方程：88x＝64x＋64×1.5，解方程，即可解答。 【详解】解：设大货车经过x小时追上小货车。 88x＝64x＋64×1.5 88x＝64x＋96 88x－64x＝96 24x＝96 x＝96÷24 x＝4 答：大货车经过4小时追上小货车。 17．16个月 【分析】假设淘气x月后的零花钱能和笑笑一样多，可知淘气攒了20x元，再加上淘气本来的零花钱数，淘气一共有（230＋20x）元。同样的，笑笑攒了15x元，再加上笑笑本来的零花钱数，笑笑一共有（310＋15x）元。据此列出方程为230＋20x＝310＋15x，再解方程即可。 【详解】解：设淘气x月后的零花钱能和笑笑一样多。 230＋20x＝310＋15x 230＋20x－230＝310＋15x－230 20x＝80＋15x 20x－15x＝80＋15x－15x 5x＝80 5x÷5＝80÷5 x＝16 答：淘气16月后的零花钱能和笑笑一样多。 18．10行；113人 【分析】分析题目，设排了x行，根据等量关系式：排的行数×12－7人＝排的行数×11＋3人，据此列出方程12x－7＝11x＋3，再进一步解方程求出排的行数；最后用排的行数乘11再加上3即可求出总人数。 【详解】解：设排了x行。 12x－7＝11x＋3 12x－7＋7＝11x＋3＋7 12x＝11x＋10 12x－11x＝11x＋10－11x x＝10 11×10＋3 ＝110＋3 ＝113（人） 答：排了10行，一共有113人。 1 学科网（北京）股份有限公司 $